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Édition du: 15/07/2022 M'écrire Brèves de Maths

INDEX Polygones Constructions Géométrie	PENTAGONES
	Pentagone	Mesures	Aire de l'étoile
	Nombre d'or	Angles	Constructions
	Pentacle	Segments	Pavage
	Aire à partir de ses triangles		Énigmes

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Aire du PENTAGONE quelconque à partir de ses triangles Nous nous intéressons à l'aire du pentagone convexe quelconque connaissant l'aire des triangles formés avec les diagonales du pentagone. Un théorème de Gauss nous dit comment calculer l'aire d'un pentagone en connaissant l'aire de chacun des six triangles issus d'un sommet. La formule du pentagone de Gauss est, en fait, équivalente à la formule de Monge qui est équivalente à la formule de Ptolémée. Occasion d'aborder cette énigme (illustration) qui semble bien difficile ! Le pentagone est régulier, mais le point F est quelconque.
Et supérieur	Sommaire de cette page >>> Aire du pentagone convexe quelconque – Monge >>> Aire du pentagone convexe quelconque – Gauss >>> Aire du pentagone régulier avec trois triangles	Débutants Géométrie Glossaire Géométrie

Polygones quelconques: contexte

L e calcul de l'aire des polygones réguliers est bien connu >>>

La connaissance de l'aire des polygones convexes quelconques est plus délicate:

Triangle: formule de Héron >>>

Quadrilatère: formule de Brahmagupta ou celle de Bretschneider >>>

Pentagone: pas de formule en fonction de la longueur des côtés.

Il existe des formules impliquant l'aire de triangles internes au polygone: Monge et Gauss (objet de cette page).

Aire du pentagone convexe quelconque – Monge

haut

Formule de Monge pour le sommet A

La formule est valable pour chacun des cinq sommets par permutations circulaires.

Exemple (relevés avec GeoGebra)

Triangle	Aire	Produit	Somme
ABC	0,5	0,62
ADE	1,24
ABE	0,7	0,658	1,278
ACD	0,94
ADB	0,9	1,278	1,278
AEC	1,42

Pour le pentagone régulier

Il n'existe que deux types de triangles et la formule se simplifie:

Triangle	Aire	Produit	Somme
ABC	0,4755	0,2261
ADE	0,4755
ABE	0,4755	0,3659	0,5919
ACD	0,7694
ADB	0,7694	0,5919	0,5919
AEC	0,7694

Aire du pentagone convexe quelconque – Gauss				haut
Notations Somme des aires de tous les triangles de type ABC. Produit de toutes les paires du type indiqué. La flèche ronde indique: faire la permutation circulaire.
Formule de Gauss pour le sommet A L'aire A du pentagone convexe quelconque est la racine positive de cette équation du second degré.		A^2 – S · A + P = 0
Pour le pentagone régulier Tous les triangles sont identiques. Avec l'aire nommée T: S = 5T et P = 5T². Cas du pentagone unité: alors T = 0,47553… Aire de ce pentagone de côté unité: 1,72048…			A^2 – 5T · A + 5T^2 = 0

Aire du pentagone régulier avec trois triangles		haut
Problème On connait l'aire des trois triangles A, B et C. Donner l'aire S du pentagone régulier. Solution L'internaute EylemGercek, connu pour ses énigmes mathématiques avancées, propose la formule impliquant le nombre d'or (phi): Vérification	Exemple de situation numérique Il est possible de calculer l'aire du pentagone par la seule connaissance des aires des triangles A, B et C.
Explications Il existe diverses pistes pour tenter de résoudre cette énigme. Celle utilisant les théorèmes précédents me semble une impasse. En revanche, passer par le truchement des branches de l'étoile construite sur ce pentagone est une solution. Voir Aire de l'étoile à cinq branches et énigmes.

Voir Théorème de Viviani / Brève 913

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Retour	Pentagone – Généralités Aire de l'étoile à cinq branches Énigme de l'aire du polygone à partir de l'aire de trois triangles Énigme des quatre parcelles Énigme du sixième segment Théorème de Viviani
Suite	Aire du polygone avec la formule du laçage Angles du pentagone Centre de gravité du pentagone Construction étonnante du pentagone Pentagone et carré – Calcul d'angles Pentagone et le nombre d'or Pentagones de Dürer Hexagone
Voir	Calcul de Pi Construction géométrique des nombres Dodécagone Géométrie – Index Pentagone et racines de 1 Polygone Hexagone – Généralités
Sites	Identité aréolaires du pentagone et de l'hexagone – Paul Rotaru Pentagons – Herman Tulleken Geometry of pentagons from Gauss to Robins – Dragutin Svrtan et als.
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Polygone/PentaTrg.htm

Renvois de liens

Aire du polygone régulier avec trois triangles >>>

Avec quatre triangles – Comparaison >>>