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Sommaire de cette page

>>> Les huit solutions

>>> Théorème de Descartes

>>> Baderne d'Apollonius

>>> Baderne en nombres entiers

 

 

 

 

 

  

Le problème d'Apollonius

ou problème des contacts

ou problème des trois cercles

 

Trois cercles quelconques. Combien de cercles peut-on dessiner au contact simultané de ces trois cercles? Quelle est la quantité de cercles tangents aux trois cercles.

Les huit solutions sont constructibles avec règle et compas, quoique bien difficilement.

Avec trois points ou trois droites, la solution est unique (par trois points passent un cercle et un seul). Cas reportés dans les Éléments d'Euclide.

Anglais: Apollonius' Problem

Given three objects (points, lines, or circles) draw a circle that is tangent to each.

 

 

Historique

Ce problème est mentionné par Apollonius (environ -262 à – 190) dans son livre perdu Traité des contacts (Tangences). 

C'est de dixième problème et le plus difficile selon Pappus (environ 290-350).

Adriaan van Roomen (1561-1615) arrive à tracer les solutions avec des intersections d'hyperboles.

En 1600, François Viète est le premier construire les huit solutions avec règle et compas.

En 1643, René Descartes généralise le problème.

Aujourd'hui, les solutions sont calculées analytiquement. Les méthodes de constructions ont été améliorées; et le problème a été généralisé à trois dimensions. La recherche itérative de cercles tangents conduit à une fractale dite baderne d'Apollonius.

Cette question des cercles tangents trouve des applications dans la conception des systèmes de communications (LORAN).

 

 

 

 

Les huit solutions

 

*    Soit trois cercles quelconques de rayons différents. Trouvez tous les cercles tangents aux trois cercles initiaux..

*    Les huit cercles en bleu sont solutions. Chacun est tangent aux trois autres. Le dénombrement est simple en tenant compte de la quantité de cercles  initiaux à l'extérieur (jaunes) et à l'intérieur (verts) du cercle tangent (bleu).

 

 



 

 

Théorème de Descartes


Avec C = 1/R, C = 1/R' et C" = 1/ R" = courbures des cercles initiaux

Et c = 1/R, la courbure des cercles ajoutés:

 

 

La courbure est positive pour ce qui a trait à l'extérieur du cercle et négative pour l'intérieur.

 

 

 

Avec les rayons la formule devient:

 

 

Exemple avec R = - 1  et R' = R" = 1/2.

 

 

Sur cette figure

si R  = 1 alors r  = 1/3.

Voir Construction de 1/3

 

 

 

 

 

Baderne d'Apollonius

 

*    Baderne: grosse tresse de marine qui sert à garnir les endroits à préserver du frottement ou de l'humidité.

Ici, il s'agit d'une figure fractale construite en répétant sans fin le problème des contacts d'Apollonius.

L'esthétique de la figure est adaptée en choisissant judicieusement les cercles de départ (trois, quatre …)

 

*    En haut en bleu les trois cercles de départ; en ocre les deux seuls cercles tangent possibles; puis, les six possibles (en jaune) à la troisième génération.

 

*    Une des figures les plus classiques, en bas, consiste à prendre trois cercles initiaux tangents et de même rayon (en bleu clair).

 

Anglais: Apollonian Gasket, Apollonian Net, Apollonius' Gasket, Curvilinear Sierpinsky Gasket,

Soddy Circles, Kissing Circles, Apollonian circle packing

Voir Cercle de Poincaré

 

Une baderne dans le cas général

 

 

Baderne entière

 

Quatre cercles en configuration de Descartes

Avec trois cercles quelconques et le cercle tangent intérieur. Ou dit autrement, quatre cercles tangents mutuellement  dont l'un est tangent intérieurement aux trois autres:

 

Si la courbure de chacun de ces quatre cercles est un nombre entier, alors la courbure de chacun des cercles de la baderne est un nombre entier.

 

Formule pour quatre cercles en configuration de Descartes:

 

Si c est l'inconnu, alors deux valeurs possibles pour cette équation du second degré. Elles sont telles que:

c1 + c2 = 2 (C + C' + C")

 

Cette relation montre que les rayons de courbure c1 et c2 sont des nombres entiers si a, b et c le sont. Le cercle qui contient les autres sera associé à une courbure négative.

 

 

Sur cette image en jaune, les quatre cercles initiaux sont particuliers: deux cercles avec une courbure égale à 1 et deux cercles avec courbure égale à 0, soit deux droites (cercle de rayon infini).

 

 

Les nombres entiers qui figurent ici sont les valeurs de la courbure (inverse du rayon) de chacun des cercles. La courbure du plus grand cercle étant égale à 1.

 

 

Cette baderne a été obtenue avec quatre cercles mutuellement tangents dont eux sont des cercles de rayon infini, soit les deux droites parallèles en haut et en bas.

 

 

 

Galerie

Sources: Voir les sites indiqués ci-dessous.

Pour ces images complètes et d'autres mettre "Apollonian gasket" dans un moteur de recherche

 

 

 

 

 

Suite

*  Puissance d'un point

*  Trois cercles de Monge

Voir

*  Les trois cercles et le théorème de Miquel

*  CercleIndex

*  GéométrieIndex

Sites

*  Problèmes de contact : construction de cercles – Descartes et les Mathématiques – Construction de ces badernes

*  Apollonius' Problem – Wolfram – Solutions analytiques

*  Baderne d'Apollonius – Robert Ferréol et Alain Esculier

*  Apollony Fractal – Paul Bourke – Construction, belles images

*  Apollonian Circles with Integer Curvatures – Steven Finch

*  A Tisket, a Tasket, an Apollonian Gasket – Dana Mackenzie

*  Fractal Science Kit – Fractal Generator – Ross Hilbert

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/Apollo3.htm