NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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CERCLE

 

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Cercle

 

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Cercle d'Apollonius

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Baderne d'Apollonius

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Trois cercles de Monge

 

Sommaire de cette page

>>> Les dix sous-problèmes et leur notation

>>> Théorème de Descartes

>>> Baderne d'Apollonius

>>> Baderne en nombres entiers

 

 

 

 

   

Le problème d'Apollonius

ou problème des contacts

ou problème des trois cercles

 

Problèmes particuliers

Combien de cercles peut-on dessiner au contact simultané de trois cercles disjoints?

Il existe huit solutions qui sont constructibles avec règle et compas, quoique bien difficilement.

Avec trois points, le cercle au contact est le cercle circonscrit.

Avec trois droites, le cercle au contact est le cercle inscrit.

 

Problème général

Apollonius a dénombré dix problèmes de contacts: construire des cercles tangents à trois objets donnés parmi des points, des droites et/ou des cercles.

Les problèmes des trois points ou des trois droites sont les plus simples à résoudre.

Le problème des trois cercles, le dixième, est le plus difficile à résoudre.

Anglais: Apollonius' Problem

Given three objects (points, lines, or circles) draw a circle that is tangent to each.

 

 

Les dix sous-problèmes et leur notation

 

Le problème général d'Apollonius, formulé dans son ouvrage, s'énonce come suit :

Soit trois entités parmi le point, la droite et le cercle, comment construire un cercle qui passe par les points et qui est tangent aux droites et aux cercles ?

 

Nom

P

L

C

Français / Anglais

Sol

Lien

1

PPP

3

 

 

Trois points (cercle circonscrit)

Three points

1

>>>

2

PPD

PPL

2

1

 

Deux points et une droite

Two points and one line

2

>>>

8

PPC

2

 

1

Deux points et un cercle

Two points and one circle

2

>>>

4

PDD

PLL

1

2

 

Un point et deux droites

One point and two lines

2

>>>

6

PDC

PLC

1

1

1

Un point, une droite et un cercle

One point, one line, and one circle

4

>>>

9

PCC

1

 

2

Un point et deux cercles

One point and two circles

4

>>>

3

DDD

LLL

 

3

 

Trois droites (cercles inscrit et exinscrits)

Three lines

4

>>>

>>>

5

DDC

LLC

 

2

1

Deux droites et un cercle

Two lines and one circle

4

>>>

7

DCC

LCC

 

1

2

Une droite et deux cercles

One line and two circles

4

>>>

10

CCC

 

 

3

Trois cercles

Three circles

8

>>>

 

Légende

Numéro: celui du problème d'Apollonius selon

Nom: Sigle des objets de consigne (D pour droite et, en anglais, L pour Line).

Noms complet en français et en anglais.

Sol: quantité de cercles tangents, solutions du problème.

Lien vers la page où est traité ce problème.

 

Voir Les 21 problèmes de Karp et autres types de problèmes

 

 

Historique

Ce problème du cercle tangent à trois cercles (CCC) est mentionné par Apollonius de Pergame (environ -262 à – 190) dans son livre perdu Traité des contacts (Tangences). 

C'est le dixième problème et le plus difficile selon Pappus (environ 290-350).

 

Adriaan van Roomen (1561-1615) arrive à tracer les solutions avec des intersections d'hyperboles.

 

En 1600, François Viète (1540-1603) est le premier à construire les huit solutions CCC avec règle et compas.

En fait, il a résolu les dix problèmes de contact en déduisant certains à partir des résultats précédents. Par exemple, pour résoudre CCC(10), il ramène ce cas au cas PCC(9), puis PPC(8) et enfin à LLL(1). En 1597, il fait connaitre sa solution à Adrien Romain et la fait imprimer en 1600. Il y réfute la solution faisant intervenir des coniques (intersection de deux hyperboles).

 

En 1643, René Descartes généralise le problème et commente les cas: faisabilité, quantité se solutions pour chacun des cas.

Ce sont Gauss, Gergonne et Peresen qui vont résoudre le problème général. Euler, Monge et bien d'autres ont également travaillé sur ce sujet.

On cherche alors des solutions analytiques et trigonométriques faisant appel notamment à la loi des cosinus. Si les coordonnées du centre du cercle sont connues par l'algèbre, la méthode de construction n'est généralement pas décrite. Les solutions proposant des constructions géométriques élégantes feront appel au principe de l'inversion.

Aujourd'hui, les solutions sont effectivement calculées analytiquement. Les méthodes de constructions ont été améliorées; et le problème a été généralisé à trois dimensions.

 

La recherche itérative de cercles tangents conduit à une fractale dite Baderne.htm d'Apollonius.

Cette question des cercles tangents trouve des applications dans la conception des systèmes de communications (LORAN).

Voir Équation du 45e degré résolue par Viète.

 

 

 

 

 

Suite

*  Apollonius CCC (trois cercles)

*  Puissance d'un point

*  Trois cercles de Monge

*  Croissant avec trois cercles

Voir

*  Les trois cercles et le théorème de Miquel

*  Résolution du triangle

*  CercleIndex

*  GéométrieIndex

Sites

*   Problème des contacts – Wikipédia

*   Construction de cercles – Descartes et les Mathématiques – Patrice Debart – Les solutions des dix problèmes – pdf de 18 pages

*   Problèmes de contact : construction de cercles – Descartes et les Mathématiques – Construction de ces badernes

*   L'Apollonius Gallus et le problème des trois cercles – Thèse d'Anne Boyé – 1998 – pdf 214 pages

*   Special cases of Apollonius' problem – Wikipedia

*   The Problem of Apollonius – Cut-The-Knot

*   Apollonius problem – Paris Pamfilos

*   Apollonius' Problem – Wolfram – Solutions analytiques

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/Apollo3.htm