NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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TRIANGLES

 

Débutants

Triangle

Résolution

 

Glossaire

Triangle

 

 

INDEX

 

Résolution

 

Triangle

 

Résolution

Trois côtés (LLL)

Deux côtés (LAL)

Un côté (ALA)

Formules

Trois angles (AAA)

Deux côtés (LLA)

Un côté (AAL)

Formules avancées

T 13 14 15

Terminale

 

Sommaire de cette page

>>> Trigo dans le triangle quelconque (1)

>>> Trigo dans le triangle quelconque (2)

>>> Trigo dans le triangle quelconque (2bis)

>>> Trigo dans le triangle quelconque (3)

 

 

 

 

 

Formules avancées dans

le TRIANGLE QUELCONQUE

 

Plusieurs formules démontrées.

La première permet la démonstration de la seconde, et la seconde montre que tout triangle quelconque recèle le nombre 2.

 

 

Forme texte: (cos(A))/(sin(B)×sin(C))+(cos(B))/(sin(C)×sin(A))+(cos(C))/(sin(A)×sin(B))=2

 

 

Trigo dans le triangle quelconque (1)

Prouvez que dans un triangle quelconque:

Formules d'addition.

Avec x = 2A et y = 2B

Avec 2C =:

Angles du triangle.

Angles supplémentaires.

Revenons à T:

Mise en facteurs:

Angles du triangle.

Formules d'addition

(somme des deux formules).

Finalement:

 

 

 

 

Trigo dans le triangle quelconque (2)

Prouvez que dans un triangle quelconque:

Premier terme multiplié par sinA.

Formule angle double.

Remplacement:

Idem pour les deux autres termes et remplacement dans E.

On s'intéresse à F pour démontrer qu'il vaut 2G.

Formule déjà démontrée.

Finalement:

 

 

Trigo dans le triangle quelconque (2 bis)

Démonstration avec les mesures des côtés

Prouvez que dans un triangle quelconque:

Démarche

Calcul des sinus et cosinus en fonction des côtés et de R.

Calcul de R en fonction de S, puis de S en fonction des côtés.

Formule des sinus

avec R rayon du cercle circonscrit

Expression des sinus (écriture simplifié)

Expression des cosinus

Expression des dénominateurs

Expression de E

Passage à l'aire S

Retour à E réduite

Retour à E développée (tous calculs faits et profitant de a²b²c² au numérateur)

 

Avec la valeur de l'aire, on calcule S²

S² développé (tous calculs faits)

Cette valeur dans E

Pour les formules de bases voir: Relations dans le triangle quelconque / Formules trigonométriques

 

 

Trigo dans le triangle quelconque (3)

Prouvez que dans un triangle quelconque:

Formule d'addition.

Angle dans le triangle (180°).

Angle moitié.

Mise en facteur:

Angle dans le triangle.

Angles complémentaires.

Addition trigo.

avec x = (a-b)/2

et      y = (a+b)/2:

Finalement:

 

 

Merci à Michel S.  pour l'idée de cette page

 

 

Retour

*    Relations fondamentales dans le triangle quelconque

Suite

*    Résolution du triangle LLL  (trois côtés connus)

*    Formule de Héron

*    Aire de la projection des triangles

*   Relations trigonométriques – Formulaire

Voir

*    Cercle

*    Géométrie

*    Polygone

*    Triangle - Index

*    Triangle – Introduction

*    Trigonométrie

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Calcul/RelQuelA.htm