NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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TRIANGLES

 

Débutants

Triangle

Résolution

 

Glossaire

Triangle

 

 

INDEX

 

Résolution

 

Triangle

 

Résolution

Trois côtés (LLL)

Deux côtés (LAL)

Un côté (ALA)

Formules

Trois angles (AAA)

Deux côtés (LLA)

Un côté (AAL)

 

Sommaire de cette page

>>> Méthode pour le triangle quelconque

>>> Exemple

>>> Résolution LLL en coordonnées cartésiennes

>>> Triangles rectangle

>>> Triangle isocèle

>>> Triangle équilatéral

>>> Deux longueurs ajoutées = la troisième

>>> Triangle avec côtés en nombres consécutifs

>>> Tableau d'exemples

>>> Exemple algébrique

 

 

 

 

 

Résolution LLL des triangles

 

Cas où la longueur des trois côtés est connue.

La loi des cosinus permet de calculer la valeur des angles.

Exemples de calculs. 

 

 

Méthode pour le triangle quelconque

*    La loi des cosinus, appliquée deux fois, nous donne la mesure de deux des trois angles.

*    Le troisième est déduit de la somme égale à 180°.

 

 

Exemple: LLL = {14, 12, 10}

*    Le triangle est connu par la longueur de ses trois côtés: 14, 12, 10 carreaux.

*    Loi des cosinus
pour l'angle en A

 

 

A = Arccos (0,714 ) = 44, 415… °

 

*    Loi des cosinus
pour l'angle en B

 

 

B = Arccos (0,844 ) = 57, 122… °

 

*    Le troisième angle

 

 

*    Le calcul ave la loi des cosinus donnerait le même résultat

 

C = 180 – 44,415 – 57,122 = 78,463 … °

 

 

B = Arccos (0,2 ) = 78,463… °

 

 

*    Utilisation de la calculatrice de votre ordinateur.

*        48/240 donne 0,2.

*        Appuyer sur Inv, puis sur cos pour avoir l'arccos (ou cos-1).

*        Ayant sélectionné le mode degré, le résultat est directement affiché en degrés.

*    Calcul de l'aire avec la formule de Héron, s étant le demi-périmètre.

Notez la beauté du carré (3456).

 

s    = ½ (10 + 12 + 14) = 18

A² = s (s – a) (s – b) (s – c)

A² = 18 x 8 x 6 x 4 = 3 456

A   = 58,787

 

 

 

Résolution LLL en coordonnées cartésiennes

 

Problème

Le triangle ABC est connu par la longueur des trois côtés (a = 3,6; b = 6,4 et c = 7.07).

Il est positionné dans le plan par la données de deux de ses sommets A (-3, 1) et B (4, 2).

Trouvez les coordonnées du troisième sommet C.

 

Figure

Elle est construite a priori, en connaissant les coordonnés des trois points. On a calculé les longueurs a, b et c avec le théorème de Pythagore. Ceci, afin de pouvoir vérifier les résultats du calcul.

 

Méthode

1.   On calcule l'angle A, composé de deux angles dont l'un est un angle du triangle.  On le calcul à l'aide de la loi des cosinus.

2.   AC est la diagonale d'un rectangle dont on calcule les dimensions. Ce sont les coordonnées de C par rapport au point A.

3.   Calcul des coordonnées de C à partir de l'origine des axes.

 

Calculs

*    Loi des cosinus pour l'angle CAB = A1

cos A1 = (b2 + c2 − a2) / 2bc

             = (6,4²+7,07²-3,6²) / 2 x 6,4 x 7,07

             = 0,862…

      A1  = 0,532… rad = 30,48…°

*    Angle BACx = A2

tan A2 = 1/7 = 0,1428…

       A2 = 0,1419… = 8,13 °

*    Angle CACx = A

A = A1 + A2 = 0,674… = 38,62…°

*    Longueur de CCy

CCy = b cos(A) = 6,4 x 0,781 … = 5,00…

*    Abscisse du point C

x de C = 5 + (-3) = 2

*    Longueur de CCx

CCx = b sin(A) = 6,4 x 0,624 … = 3,99..

*    Ordonnée du point C

y de C = 4 + 1 = 5

 

 

 

Triangle rectangle

 

Seule la connaissance de deux côtés suffit puisque nous connaissons un des angles, l'angle droit.

 

Ce cas est un cas particulier des cas LAL ou LLA.

 

Dans le cas où trois côtés seraient donnés, il faudrait vérifier que a² + b² = c² pour être sur que le triangle est rectangle.

 

 

Dans le cas de ce triangle rectangle, un côté est le double de l'hypoténuse. Les deux autres angles sont égaux à 30° et 60°.

On vérifie que 10² – 5² = 75 et sa racine vaut 8,66025…

Aire = 21,6506…

 

 

 

Triangle isocèle

Cas particulier de notre cas LLL avec deux côtés de même longueur. La loi des cosinus n'est à appliquer qu'une seule fois.

 

 

 

 

 

 

 

Notez comment se simplifie la formulation de la loi du cosinus.

 

 

 

 

 

A = B =  Arccos (0,75 ) = 41, 4096… °

Aire = 49,6078…

 

Voir Triangle 456 avec angle de 41,41°

 

 

 

Triangle équilatéral

 

Dans ce cas, il suffit d'une seule mesure: la longueur du côté.

 

Aire = 15,5884…

 

 

Deux longueurs ajoutées = la troisième

 

Exemple avec triangle 347

 

L'inégalité triangulaire nous apprend que la somme de deux longueurs ne peut pas être inférieure à la troisième.

Si la somme est égale au troisième côté, le triangle est réduit à un segment de longueur égale à 7.

 

Cas du triangle 123.

La somme de deux côté est égale au troisième. Le triangle est réduit à un segment de longueur égale à 3.

 

 

 

C'est un triangle dégénéré en segment.

L'angle en C est un angle plat et les deux autres sont nuls.

 

 

 

Trois côtés de longueurs consécutives

 

On connaît le triangle rectangle remarquable de côté 3, 4 & 5.

 

Ici, on cherche, un triangle

*    dont les côtés sont des nombres entiers consécutifs (a – 1, a et a + 1) et

*    dont un angle est le double du plus petit (alpha).

 

Résolution

Loi des sinus

Calcul

Identité trigonométrique

Bilan

Loi des cosinus

Calcul

Égalité entre les deux valeurs du cosinus

Calculs

 (a + 1)²

a² + 2a + 1

2a + 1

a

= (a + 4) (a – 1)

= a² + 4a – a – 4

= 4a - a - 4

= 5

Solution

b = a – 1

a

c = a + 1

= 4

= 5

= 6

Extraordinaire

Le triangle 4, 5 & 6 est remarquable.

Il a un angle double de l'autre. Quelle est sa valeur ?

Valeur des angles

et calcul de l'aire

 = Arccos (0,75) = 41,4096… °

 = 82,8192 …°

Aire = 9,92156…

 

Quelques exemples

 

 

Exemple algébrique – 120°

*    Célèbre exemple où l'on donne les longueurs des côtés sous forme algébrique.

 

a = x² + x + 1

b =        2x + 1

c = x²          – 1

  

*    Démontrer que l'un des angles vaut 120°

*    Nous allons appliquer la loi des cosinus

cos 120° = -1/2

*    Commençons par le premier angle

 

*    Les deux autres

Ces formes conduisent à des angles non remarquables

*    Variations avec x

 

 

 

 

 

Suite

*    Résolution du triangle LAL (deux côtés et un angle)

Voir

*    Cercle

*    Géométrie

*    Polygone

*    Triangle - Index

*    Triangle – Introduction

*    Trigonométrie

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Calcul/RslQuel.htm