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TRIANGLES

 

Débutants

Triangle

Résolution

 

Glossaire

Triangle

 

 

INDEX

 

Triangle

 

Types de triangles

Résolution

Hauteur

Aire (Héron)

Construction

Formules

Projection

 

Sommaire de cette page

>>> Projection d'un segment

>>> Projection d'un triangle avec côté parallèle …

>>> Projection d'un triangle quelconque

 

 

 

 

Aire de la PROJECTION des triangles

 

Comment calculer l'aire projetée d'un triangle, d'un polygone.

Formules et détails du calcul.

 

 

 

 

Projection d'un segment

Projection orthogonale du segment AB sur le plan P. Quelle est la longueur du segment résultant, le segment projeté A'B'.

Des points A et B on descend des perpendiculaires au plan P qui prennent pied en A' et B'. Le plan ABB'A' est orthogonal au plan P.

On trace A'C, la parallèle à AB qui passe par A'. Elle fait un angle alpha avec la droite

Dans le triangle A'B'C

a'  = a cos

 

Projection d'un triangle

dont un côté est parallèle au plan de projection

 

Cas du triangle ABC dont le côté AB est parallèle au plan de projection.

Une de ses hauteurs CH.

 

Ces quatre points ABCH sont projetés sur le plan en A'B'C'H'. Le triangle A'B'C" (pointillés bleus) est parallèle et congruent au triangle ABC initial. Il sert à définir l'angle alpha.

 

La projection conserve les perpendiculaires et C'H' est une hauteur du triangle A'B'C'.  Elle conserve également la longueur a pour A'B' parallèle à AB.

 

Aire du triangle ABC

A = ½ h . a

Aire du triangle A'B'C', avec a = a'

A' = ½ h' . a' = ½ h' . a

Le segment CH est projeté en C'H'

h' = h cos

En remplaçant

A' = ½ h . a cos

A' = A cos

 

Imaginez ABC comme une porte avec une charnière en AB.

Voir Relativité – Image de la porte entrebâillée

 

L'aire de la porte vue par un obsevateur fixe (la projection de ABC) varie comme le cosinus de l'angle d'ouverture.

 

 

 

Projection d'un triangle quelconque

Un triangle ABC quelconque par rapport au plan de projection P, lequel à été translaté pour contenir le point A.

Le plan du triangle fait un angle alpha avec le plan P (angle du dièdre).

Le triangle ABC se projette en AB'C'.

Triangle ABD: il fait un angle alpha avec le plan P

AAB'D = AABD cos

Triangle ACD: il fait un angle alpha avec le plan P

AAC'D = AACD cos

Triangle AB'C' = différence entre les deux

AAB'C' = (AACD – AABD) cos

Finalement

AAB'C' = AABC cos

 

Dans tous les cas, l'aire de la projection d'un triangle est égale au produit de l'aire du triangle par le cosinus de l'angle du dièdre formé par les deux plans (le plan de projection et celui du triangle).

 

Un polygone se décompose en triangles. Ainsi l'aire de la projection d'un polyone suit la même loi en cosinus.

 

Un figure courbe plane (un disque, une ellipse …) peut etre vue comme un polygone à une infinité de côté. L'aire de sa projection suit la même loi en cosinus.

 

Le carré de l'aire d'une figure plane est égal à la somme des carrés des aires des trois projections de la figure sur trois plans orthogonaux.

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Formules pour résoudre les triangles

*    Résolution des triangles LLL

*    Constructions élémentaires: les triangles

Voir

*    Projection cartographique

*    Triangles héroniens

*    Triangle – Introduction

*    TriangleIndex

*    Volume du tétraèdre

*    Formule de Héron pour le trapèze

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