NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Analyse

 

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TRIGONOMÉTRIE

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Trigonométrie

 

Analyse

 

Débutant

Introduction

Angles

Valeurs

Formules

Calculs

Pi/5 = 36°

Cosécante

Cours première

 

Sommaire de cette page

>>> Formules en 1

>>> Angle moitié

>>> Angle    double

>>> Angle         triple

>>> Angle             multiple

>>> Puissances

>>> Addition d'angles

>>> Addition de valeurs trigonométriques

>>> Produits de valeurs trigonométriques

>>> Identités trigonométriques dans le triangle

 

 

 

 

 

 

RELATIONS TRIGONOMÉTRIQUES

 

Formules classiques et moins classiques.

 

  

Formules en 1

Produits

sin A . cosec A

sec A . cos A

tg A . cotg A

= 1

Carrés

     sinus & cosinus

sin² A + cos² A

= 1

     tangente & sécante

sec² A – tg² A

= 1 

 

cosec² A – cotg² A

= 1 

Notez: tangente abrégé en français en tg et tan en anglais; cotangente en cotg et cot

 

 

Angle moitié

Sinus cosinus

2 sin² A/2

= 1 – cos A

2 cos² A/2

= 1 + cos A

Tangente

tg A/2

= (1 – cos A) / sin A

 

tg² A/2

= (1 – cos A) / (1 + cos A)

 

cotg A/2

= (1 + cos A) / sin A

 

 

Angle double

 Sinus

sin 2A

= 2 sin A . cos A

= 2 tg A / (1 + tg² A)

 

2 sin² A

= 1 – cos 2A

 Cosinus

cos 2A

= cos² A – sin² A

= 1 – 2 sin² A

= 2 cos² A – 1

= (1 – tg² A) / (1 + tg² A)  

À noter

sin² A + cos² A

sin² A – cos² A

= 1

= – cos 2A      

 

2 cos² A

cos A

= 1 + cos 2A

= ½  (2 cos (2A) + 2) >>>

 Tangente

tg 2A

= 2 tg A / (1 – tg² A)

 

 

Angle Triple

 Sinus

sin 3A

=     3 sin A  – 4 sin3 A

 Cosinus

cos 3A

=  – 3 cos A + 4 cos3 A

 Tangente

tg 3A

   

 

 

Angle Multiple (avec relation avec A = sin(x))

Sinus

sin (2x)

 

sin (3x)

 

sin (4x)

 

sin (5x)

Voir Calcul avec Pi / 5

 

sin (6x)

 

sin (7x)

 

sin (8x)

Cosinus

cos (2x)

 

cos (3x)

 

cos (4x)

 

cos (5x)

 

cos (6x)

 

cos (7x)

 

cos (8x)

Tangente

tg (2x)

 

 

tg (3x)

 

tg (4x)

   

 

Puissances

Sinus

sin2 (x)

 

sin3 (x)

 

sin4 (x)

 

sin5 (x)

 

sin6 (x)

 

sin7 (x)

 

sin8 (x)

 

sin9 (x)

 

sin10 (x)

Cosinus

cos1 (2x)

 

cos2 (2x)

 

cos3 (2x)

 

cos4 (2x)

 

cos5 (2x)

Tangente

tg2 (x)

 

 

tg3 (x)

 

tg4 (x)

 

tg5 (x)

 

 

Addition d'angles

 Sinus

sin (A + B)

sin (A B)

= sin A . cos B + cos A . sin B

= sin A . cos B cos A . sin B

 Cosinus

cos (A + B)

cos (A B)

= cos A . cos B sin A . sin B

= cos A . cos B + sin A . sin B

 Produits

sin (A + B) . sin (A – B)

= sin² A – sin² B

= cos²B – cos² A  

 

cos (A + B) . cos (A – B)

= cos² A – sin² B

= cos²B – sin² A  

 Tangente

tg (A + B)

 

tg (A B)

 

tg (A + B + C)

Voir Multiplication de nombres complexes

 

 

 

Addition de valeurs trigonométriques

Sinus

sin A + sin B

= 2 sin ½ (A + B) . cos ½ (A B)

 

sin A – sin B

= 2 sin ½ (A B) . cos ½ (A + B)

 Cosinus

cos A + cos B

= 2 cos ½ (A + B) . cos ½ (A B)

 

cos A cos B

= 2 sin ½ (A B) . sin ½ (A + B)

 Tangente

tg A + tg A

tg A – tg B 

= sin (A + B) / cos A . cos B

= sin (A – B) / cos A . cos B

 

 

Produits de valeurs trigonométriques

Sinus et cosinus

2  sin A .  sin B

2 cos A . cos B

= cos (A – B) – cos (A + B)

= cos (A + B) + cos (A – B)

 

2  sin A . cos B

2 cos A .  sin B

= sin  (A + B) +  sin (A – B)

= sin  (A + B) –  sin (A – B)

 

 

 

Identités

Cas où A + B + C =

Comme les trois angles du triangle

Simple

sin A

cos A

tg A

cotg A 

=      sin (B + C)

= –  cos (B + C)  

= –     tg (B + C)

= – cotg (B + C) 

 Demi

sin A/2

cos A/2

tg A/2

cotg A/2 

= cos  ½ (B + C)

= sin   ½ (B + C)

= cotg ½ (B + C)

= tg      ½ (B + C)

 Sommes

sin A +  sin B +  sin C

cos A + cos B + cos C

=       4 cos A/2 . cos B/2 . cos C/2

= 1 + 4 sin A/2 . sin B/2 . sin C/2

 Produits

sin A .  sin B .  sin C

cos A . cos B . cos C

 

=     ¼ ( sin 2A +  sin 2B +  sin 2C)

= –  ¼ (cos 2A + cos 2B + cos 2C + 1)

= –  ½ (cos²  A + cos ² B + cos²  C – 1)

 

tg A . tg B . tg C

cotg A/2 . cotg B/2 . cotg C/2 

=                   tg A    +    tg B +   tg C

= cotg A/2 + cotg B/2 + cotg C/2 

 Unité

cotg A . cotg B + cotg B . cotg C + cotg C . cotg A

= 1

 

tg A/2 . tg B/2 + tg B/2 . tg C/2 + tg C/2 . tg A/2

= 1

 

 

 

 

Bases

*    Trigonométrie – Débutant

*    Trigonométrie – Tables

Voir

*    Angles

*    Sinus et aire du triangle isocèle

*    Calculs en trigonométrie (simples)

*    Calculs en trigonométrie (avancés)

Aussi

*    Triangle

*    Pentagone

*    Identités remarquables

Maple

Avec ce logiciel, l'instruction  trigsubs (tan (x/2) ), par exemple, vous donne toutes les identités connues pour tangente (x/2).

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