NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 03/02/2024

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Actualités                       M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique        Références      Brèves de Maths                      

            

Analyse

 

Débutants

Général

TRIGONOMÉTRIE

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Outils de trigo

 

Trigonométrie

 

Analyse

 

Identités

 

Débutant

Introduction

En pratique

Angles

Valeurs

IDENTITÉS GÉNÉRALES

Angle triple

Angles multiples

Addition d'angles

Linéarisation

Tangente

Cosécante

Calculs

Cours première

Angles A, B et C

Euler–Moivre

Pi/5 = 36°

Démonstrations des identités

Calculs particuliers

Pi / n

Nbs transformés

Pi / 8 = 22,5°

Pi / 9

Pi / 7

Réciproques – arcsin, arccos, arctan

 

Sommaire de cette page

>>> Définitions

>>> Lignes trigonométriques entre elles

>>> Relations entre angles cousins

>>> Relations d'Euler

>>> Formules en 1

>>> Angle moitié

>>> Angle    double

>>> Angle         triple

>>> Addition d'angles

>>> Addition converties en produits

>>> Produits de valeurs trigonométriques

>>> Arcsin et arccos

 

 

 

 

 

IDENTITÉS TRIGONOMÉTRIQUES

Formulaire

 

Formules classiques (lycée) et moins classiques (pages suivantes), avec leurs démonstrations.

Voir Table des valeurs trigonométriques / Les angles particuliers un par un

 

 

sin² A + cos² A = 1

Voir Pensées & humour

 

 

Définitions

Le COsinus est à té de l'angle

 

 

Notez: tangente abrégée en français en tg, et tan en anglais; cotangente en cotg et cot.

La normalisation internationale irait vers tan et cot.

 

 

Théorème de Pythagore

        +      =  = 1

cos²  + sin²       = 1

 

Voir Démonstration de cette relation sans Pythagore

Voir Valeurs des lignes trigonométriques selon l'angle

 

Représentation graphique

Voir Mémorisation avec l'hexagone magique

 

 

 

Lignes trigonométriques entre elles

Merci à Nicolas Bocquel pour ses remarques

 

 

Relations entre angles cousins

 

Aide à la mémoire: cosXinus en x et sYnus en y

Remarque: inutile d'apprendre ce genre de tableau par cœur, un petit dessin suffit à retrouver les valeurs.

Voir Application en Brève 786

 

 

 

Relations d'Euler

Avec a = x + i y =>

Voir Nombres complexes / Forme exponentielle des nombres complexes

 

 

 Formules en 1 – Relations pythagoriennes

Produits

sin A . cosec A

sec A .    cos A

tan A .  cot A

= 1

Carrés

     Sinus & cosinus

sin² A + cos² A

= 1      Autre forme >>>

Tangente et cotangente

= 1 + tan2 A

 

= 1 + cotan2 A

    

sec² A + cosec² A

= 2 + tan² A + cot² A

 

 

Angle moitié

Sinus

2 sin² A/2

= 1 – cos A

Cosinus

2 cos² A/2

= 1 + cos A

Tangente

tan A/2

 

Pour les angles de 0 à Pi

et

avec  t = tan (A/2)

sin(A)

cos(A)

tan(A)

Tableau complet >>>

 

 Merci Bernard P.

 

Angle double

 Sinus

sin 2A

= 2 sin A . cos A

sin² A

1 + sin 2A

= (cos A + sin A)2  

1 – sin 2A

= (cos A - sin A)2        >>>

 Cosinus

cos 2A

= cos² A – sin² A

= 1 – 2 sin² A  =  2 cos² A – 1  

cos² A

 Tangente

tan 2A

Tableau complet >>>

 

 

Angle Triple

 Sinus

sin 3A

=     3 sin A  – 4 sin3 A

Voir Démo

 Cosinus

cos 3A

=  – 3 cos A + 4 cos3 A

Voir Démo

 Tangente

tan 3A

Tableau complet >>>

Angles ntuples >>>

 

Addition d'angles

 Sinus

sin (A + B)

sin (A B)

= sin A . cos B + cos A . sin B

= sin A . cos B cos A . sin B

Voir Démo

 Cosinus

cos (A + B)

cos (A B)

= cos A . cos B sin A . sin B

= cos A . cos B + sin A . sin B

 Produits

sin (A + B) . sin (A – B)

= sin² A – sin² B

= cos²B – cos² A  

 

cos (A + B) . cos (A – B)

= cos² A – sin² B

= cos²B – sin² A  

 Tangente

tan (A + B)

 

tan (A B)

Tableau complet >>>

Cas où A + B + C = Pi >>>

 

 

 

Additions converties en produits – Factorisation

Formules de Prosthaphaeresis ou de Simpson

Sinus

sin A + sin B

= 2 sin ½ (A + B) . cos ½ (A B)

Voir Démo

 

sin A – sin B

= 2 sin ½ (A B) . cos ½ (A + B)

Cosinus

cos A + cos B

= 2 cos ½ (A + B) . cos ½ (A B)

 

cos A cos B

=    2 sin ½ (B – A) . sin ½ (A + B)

= 2 sin ½ (A – B) . sin ½ (A + B)

Tangente

tan A + tan B

tan A – tan B 

= sin (A + B) / cos A . cos B

= sin (A – B) / cos A . cos B

Tableau complet >>>

 

 

Produits de valeurs trigonométriques – Linéarisation 

Sinus et cosinus

2  sin A .  sin B

2 cos A . cos B

= cos (A – B) – cos (A + B)

= cos (A – B) + cos (A + B)

 Mixte

2  sin A . cos B

2 cos A .  sin B

= sin  (A + B) +  sin (A – B)

= sin  (A + B) –  sin (A – B)

Voir Application au triangle isocèle / Multiplication avec ces identités (Prosthaphaeresis)

 

Puissances et linéarisation >>>

 

 

 

"Pour la route": quand 3 se transforme en 2 avec la trigo …

Voir  Nombres entiers transformés

 

 

Arcsin et Arccos – Quelques sommes 

 

 

Voir Fonctions réciproques – Formulaire /  Calculs avec arcsin et arccos

 

 

 

 

Bases

*      Trigonométrie – Débutant

*      Trigonométrie – Tables

*      Relations dans le triangle quelconque

*      Relations dans le triangle rectangle

Suite

*      Angle en Pi/7

*      Formules avancées

*      Angle multiple 

*      Puissances

*      Trigonométrie sphérique

Voir

*      Angles et informations concernant un angle particulier

*      Faire le tour du cercle (relations de base)

*      Sinus et aire du triangle isocèle

*      Calculs en trigonométrie (simples)

*      Calculs en trigonométrie (avancés)

*      FormulairesIndex

*      Linéarisation: puissances des fonctions trigonométriques

*      Relations trigonométriques dans le triangle quelconque

Aussi

*      Triangle

*      Pentagone

*      Identités remarquables

Maple

Avec ce logiciel, l'instruction  trigsubs (tan (x/2) ), par exemple, vous donne toutes les identités connues pour tangente (x/2).

Sites

*      Identité trigonométrique – Wikipédia

*      List of trigonometric identities – Wikipedia

*      Proofs of trigonometric identities – Wikipedia

*      Trigonométrie circulaire – Jean-Louis Rouget – les formules du lycée à savoir pour aborder le supérieur.

*      Introduction to trigonometric functions – Wolfram Research – Pour experts !

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Trigonom/aaaBases/Relation.htm