NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Analyse

 

Débutants

Général

TRIGONOMÉTRIE

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Trigonométrie

 

Analyse

 

Débutant

Introduction

Angles

Valeurs

Formules

Calculs

Pi/5 = 36°

Cosécante

Cours première

Euler–Moivre

Pi / n

Linéarisation

 

Sommaire de cette page

>>> Formules en 1

>>> Angle moitié

>>> Angle    double

>>> Angle         triple

>>> Angle             multiple

>>> Puissances

>>> Addition d'angles

>>> Addition de valeurs trigonométriques

>>> Produits de valeurs trigonométriques

>>> Identités trigonométriques dans le triangle

>>> Calcul de sin(a + b + c)

>>> Angle en Pi/7

 

 

 

 

 

 

RELATIONS TRIGONOMÉTRIQUES

 

Formules classiques et moins classiques.

 

  

Formules en 1

Produits

sin A . cosec A

sec A . cos A

tg A . cotg A

= 1

Carrés

     sinus & cosinus

sin² A + cos² A

= 1      Autre forme >>>

     tangente & sécante

sec² A – tg² A

= 1 

 

cosec² A – cotg² A

= 1 

Notez: tangente abrégé en français en tg et tan en anglais; cotangente en cotg et cot

 

 

Angle moitié

Sinus cosinus

2 sin² A/2

= 1 – cos A

sin A/2

2 cos² A/2

= 1 + cos A

Tangente

tg A/2

= (1 – cos A) / sin A

 

tg² A/2

= (1 – cos A) / (1 + cos A)

 

cotg A/2

= (1 + cos A) / sin A

Voir Exemple d'applications (calcul de sinus Pi/8)

 

 

 

Angle double

 Sinus

sin 2A

= 2 sin A . cos A

= 2 tg A / (1 + tg² A)

 

2 sin² A

= 1 – cos 2A

 Cosinus

cos 2A

= cos² A – sin² A

= 1 – 2 sin² A

= 2 cos² A – 1

= (1 – tg² A) / (1 + tg² A)  

À noter

sin² A + cos² A

sin² A – cos² A

= 1

= – cos 2A      

 

2 cos² A

cos A

= 1 + cos 2A

= ½  (2 cos (2A) + 2) >>>

 Tangente

tg 2A

= 2 tg A / (1 – tg² A)

Voir Caractérisation du triangle isocèle

 

 

 

Angle Triple

 Sinus

sin 3A

=     3 sin A  – 4 sin3 A

 Cosinus

cos 3A

=  – 3 cos A + 4 cos3 A

 Tangente

tg 3A

   

 

Angle Multiple (avec relation avec A = sin(x))

Voir Calcul avec Pi / 5   

 

 

 

Puissances

     Linéarisation

              

 Suite >>>

 

 

 

Addition d'angles

 Sinus

sin (A + B)

sin (A B)

= sin A . cos B + cos A . sin B

= sin A . cos B cos A . sin B

 Cosinus

cos (A + B)

cos (A B)

= cos A . cos B sin A . sin B

= cos A . cos B + sin A . sin B

 Produits

sin (A + B) . sin (A – B)

= sin² A – sin² B

= cos²B – cos² A  

 

cos (A + B) . cos (A – B)

= cos² A – sin² B

= cos²B – sin² A  

 Tangente

tg (A + B)

 

tg (A B)

 

tg (A + B + C)

Voir Multiplication de nombres complexes

 

 

A sin(x) + B cos(x)

Il est possible de transformer cette somme en un seul cosinus.

On pose A et B en termes de lignes trigonométriques comme suit.

Voir Application à la résolution d'une équation

 

 

 

 

Addition de valeurs trigonométriques

Sinus

sin A + sin B

= 2 sin ½ (A + B) . cos ½ (A B)

 

sin A – sin B

= 2 sin ½ (A B) . cos ½ (A + B)

 Cosinus

cos A + cos B

= 2 cos ½ (A + B) . cos ½ (A B)

 

cos A cos B

= 2 sin ½ (A B) . sin ½ (A + B)

 Tangente

tg A + tg A

tg A – tg B 

= sin (A + B) / cos A . cos B

= sin (A – B) / cos A . cos B

 

 

Produits de valeurs trigonométriques

Sinus et cosinus

2  sin A .  sin B

2 cos A . cos B

= cos (A – B) – cos (A + B)

= cos (A + B) + cos (A – B)

 

2  sin A . cos B

2 cos A .  sin B

= sin  (A + B) +  sin (A – B)

= sin  (A + B) –  sin (A – B)

Voir Application au triangle isocèle

 

 

 

 

Identités

Cas où A + B + C =

Comme les trois angles du triangle quelconque

Simple

sin A

cos A

tg A

cotg A 

=      sin (B + C)

= –  cos (B + C)  

= –     tg (B + C)

= – cotg (B + C) 

 Demi

sin A/2

cos A/2

tg A/2

cotg A/2 

= cos  ½ (B + C)

= sin   ½ (B + C)

= cotg ½ (B + C)

= tg      ½ (B + C)

 Sommes

sin A +  sin B +  sin C

cos A + cos B + cos C

=       4 cos A/2 . cos B/2 . cos C/2

= 1 + 4 sin A/2 . sin B/2 . sin C/2     >>>

 Produits

sin A .  sin B .  sin C

cos A . cos B . cos C

 

=     ¼ ( sin 2A +  sin 2B +  sin 2C)

= –  ¼ (cos 2A + cos 2B + cos 2C + 1)

= –  ½ (cos²  A + cos ² B + cos²  C – 1)

 

tg A . tg B . tg C

cotg A/2 . cotg B/2 . cotg C/2 

=                   tg A    +    tg B +   tg C

= cotg A/2 + cotg B/2 + cotg C/2 

 Unité

cotg A . cotg B + cotg B . cotg C + cotg C . cotg A

= 1

 

tg A/2 . tg B/2 + tg B/2 . tg C/2 + tg C/2 . tg A/2

= 1

Voir Autres en triangle quelconque / Relations avancées

 

  

 

Calcul de sin(a + b + c)

Pour a + b

 

Pour (a+b) + c

Pour a+b+c

Développement

Mise en facteur  commun des cosinus au prix d'une division de chaque terme

Voir Formule d'addition des  cosinus de trois angles

 

 

 

Angle en Pi / 7

La trigonométrie des angles en Pi/7 n'est pas simple. Le nombre 7 est le premier nombre "non-constructible" et l'heptagone n'est pas constructible à la règle et au compas.

 

Pour ces angles, les fonctions trigonométriques ne peuvent pas s'exprimer classiquement par des sommes, produits ou radicaux. Les calculs sont possibles en recourant aux expressions complexes.

Dans ce cas la formule fondamentale est la suivante:

 

Voir Calculs avec les angles en pi / n

 

Par exemple

 

 

Curiosités (avec a = 2 Pi/7)

Malgré cette étrange formule, il existe quelques relations simples:

cos a + cos 2a + cos 3a = –1/2

cos a  cos 2a  cos 3a =   1/8

sec a + sec 2a + sec 3a = – 4

Ou encore les formules de Ramanujan telle que celle-ci:

 

 

 

 

 

Bases

*    Trigonométrie – Débutant

*    Trigonométrie – Tables

Voir

*    Angles

*    Faire le tour du cercle (relations de base)

*    Sinus et aire du triangle isocèle

*    Calculs en trigonométrie (simples)

*    Calculs en trigonométrie (avancés)

*    Linéarisation: puissances des fonctions trigonométriques

*    Relations trigonométriques dans le triangle quelconque

Aussi

*    Triangle

*    Pentagone

*    Identités remarquables

Maple

Avec ce logiciel, l'instruction  trigsubs (tan (x/2) ), par exemple, vous donne toutes les identités connues pour tangente (x/2).

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http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Trigonom/aaaBases/Relation.htm