NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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TRIGONOMÉTRIE

 

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Général

 

 

INDEX

 

Outils de trigo

 

Trigonométrie

 

Analyse

 

Identités

 

Débutant

Introduction

Angles

Valeurs

Identités générales

Angles multiples

Addition d'angles

Linéarisation

Tangente

Cosécante

Calculs

Cours première

Angles A, B et C

Euler–Moivre

Pi/5 = 36°

Démonstrations des identités

Calculs particuliers

Pi / n

Pi / 7

 

Sommaire de cette page

>>> Définitions

>>> Lignes trigonométriques entre elles

>>> Relations entre angles cousins

>>> Relations d'Euler

>>> Formules en 1

>>> Angle moitié

>>> Angle    double

>>> Angle         triple

>>> Addition d'angles

>>> Addition converties en produits

>>> Produits de valeurs trigonométriques

 

 

 

 

 

IDENTITÉS TRIGONOMÉTRIQUES

Formulaire

 

Formules classiques (lycée) et moins classiques (pages suivantes), avec leurs démonstrations.

 

sin² A + cos² A = 1

Voir Pensées & humour

 

 

Définitions

Le COsinus est à té de l'angle

 

 

Notez: tangente abrégée en français en tg, et tan en anglais; cotangente en cotg et cot.

La normalisation internationale irait vers tan et cot.

 

 

Théorème de Pythagore

        +      =  = 1

cos²  + sin²       = 1

Voir Valeurs des lignes trigonométriques selon l'angle

 

 

Lignes trigonométriques entre elles

 

 

Relations entre angles cousins

 

Aide à la mémoire: cosXinus en x et sYnus en y

Remarque: inutile d'apprendre ce genre de tableau par cœur, un petit dessin suffit à retrouver les valeurs.

 

 

Relations d'Euler

Avec a = x + i y =>

Voir Nombres complexes / Forme exponentielle des nombres complexes

 

 

 Formules en 1 – Relations pythagoriennes

Produits

sin A . cosec A

sec A .    cos A

tan A .  cot A

= 1

Carrés

     Sinus & cosinus

sin² A + cos² A

= 1      Autre forme >>>

Tangente et cotangente

= 1 + tan2 A

 

= 1 + cotan2 A

    

sec² A + cosec² A

= 2 + tan² A + cot² A

 

 

Angle moitié

Sinus

2 sin² A/2

= 1 – cos A

Cosinus

2 cos² A/2

= 1 + cos A

Tangente

tan A/2

 

Pour les angles de 0 à Pi

et

avec  t = tan (Pi/2)

sin(A)

cos(A)

tan(A)

Tableau complet >>>

 

 

 

Angle double

 Sinus

sin 2A

= 2 sin A . cos A

sin² A

 Cosinus

cos 2A

= cos² A – sin² A

= 1 – 2 sin² A  =  2 cos² A – 1  

cos² A

 Tangente

tan 2A

Tableau complet >>>

 

 

Angle Triple

 Sinus

sin 3A

=     3 sin A  – 4 sin3 A

Voir Démo

 Cosinus

cos 3A

=  – 3 cos A + 4 cos3 A

 Tangente

tan 3A

Tableau complet >>>

Angles ntuples >>>

 

Addition d'angles

 Sinus

sin (A + B)

sin (A B)

= sin A . cos B + cos A . sin B

= sin A . cos B cos A . sin B

Voir Démo

 Cosinus

cos (A + B)

cos (A B)

= cos A . cos B sin A . sin B

= cos A . cos B + sin A . sin B

 Produits

sin (A + B) . sin (A – B)

= sin² A – sin² B

= cos²B – cos² A  

 

cos (A + B) . cos (A – B)

= cos² A – sin² B

= cos²B – sin² A  

 Tangente

tan (A + B)

 

tan (A B)

Tableau complet >>>

 

Cas où A + B + C = Pi >>>

 

 

Additions converties en produits – Factorisation

Formules de Prosthaphaeresis ou de Simpson

Sinus

sin A + sin B

= 2 sin ½ (A + B) . cos ½ (A B)

Voir Démo

 

sin A – sin B

= 2 sin ½ (A B) . cos ½ (A + B)

Cosinus

cos A + cos B

= 2 cos ½ (A + B) . cos ½ (A B)

 

cos A cos B

=    2 sin ½ (B – A) . sin ½ (A + B)

= 2 sin ½ (A – B) . sin ½ (A + B)

Tangente

tan A + tan A

tan A – tan B 

= sin (A + B) / cos A . cos B

= sin (A – B) / cos A . cos B

Tableau complet >>>

 

 

Produits de valeurs trigonométriques – Linéarisation 

Sinus et cosinus

2  sin A .  sin B

2 cos A . cos B

= cos (A – B) – cos (A + B)

= cos (A – B) + cos (A + B)

 Mixte

2  sin A . cos B

2 cos A .  sin B

= sin  (A + B) +  sin (A – B)

= sin  (A + B) –  sin (A – B)

Voir Application au triangle isocèle / Multiplication avec ces identités (Prosthaphaeresis)

 

Puissances et linéarisation >>>

 

 

 

Bases

*    Trigonométrie – Débutant

*    Trigonométrie – Tables

*    Relations dans le triangle quelconque

*    Relations dans le triangle rectangle

Suite

*    Angle en Pi/7

*    Formules avancées

*    Angle multiple 

*    Puissances

Voir

*    Angles et informations concernant un angle particulier

*    Faire le tour du cercle (relations de base)

*    Sinus et aire du triangle isocèle

*    Calculs en trigonométrie (simples)

*    Calculs en trigonométrie (avancés)

*    FormulairesIndex

*    Linéarisation: puissances des fonctions trigonométriques

*    Relations trigonométriques dans le triangle quelconque

Aussi

*    Triangle

*    Pentagone

*    Identités remarquables

Maple

Avec ce logiciel, l'instruction  trigsubs (tan (x/2) ), par exemple, vous donne toutes les identités connues pour tangente (x/2).

Sites

*      Identité trigonométrique – Wikipédia

*      List of trigonometric identities – Wikipedia

*      Proofs of trigonometric identities – Wikipedia

*      Trigonométrie circulaire – Jean-Louis Rouget – les formules du lycée à savoir pour aborder le supérieur.

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Trigonom/aaaBases/Relation.htm