NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Analyse

 

Débutants

Général

TRIGONOMÉTRIE

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Analyse

 

Débutant

Introduction

Angles

Valeurs

Formules

Cours de première

Exemple expliqué

Équations

 

Sommaire de cette page

>>> Trigonométrie – Index

>>> Approche

>>> Les trois références

>>> Quand utiliser les valeurs de références

>>> Trente degrés

>>> Pythagore retrouvé

>>> Historique

 

 

 

 

 

 

TRIGONOMÉTRIE

 

Pourquoi avoir inventé cette branche des maths ?

Comment s'en servir ?

 

Les noms compliqués de sinus, cosinus, tangente

sont des noms de baptême qui ne doivent pas effrayer!

Ils donnent le moyen de calculer la longueur d'un côté

d'un triangle rectangle.
Ce sont les rapports entre les côtés et l'hypoténuse en fonction de l'angle.

 

 

 

Cité par Bruno Winckler

Voir Pensées & humour

 

 

Index TRIGONOMÉTRIE

 

Général

*    Trigonométrie – Débutant

*    TrigonométrieIntroduction

*    Terrain de jeu: le cercle trigonométrique

*    Sinus, cosinus et Pythagore

*    Amusements trigonométriques avec un chat et une chèvre

*    Historique

*    Mnémotechnique

 

Angles

*    Angles – Définition

*    Angles – Types 

*    Angles – Index des valeurs numériques des angles

*    Pi/6 = 30°   Construction facile de cet angle

*    Pi/5 = 36°   Calculs des valeurs trigonométriques

*    Pi/4 = 45°   Calcul du sinus

*    Pi/3 = 60°   Calcul du sinus

*    Pi/2 =  90°  Angle droit

*      Angles orientés

*    Angles solides

*    Mesure principale d'un angle et 2k près (modulo)

 

Unités

*    Unités d'angles

*    Radians

 

Lignes trigonométriques

 

         

*    Construction du tableau des sinus des angles essentiels

*    Table de valeurs trigonométriques

*    Valeurs pour certaines fractions de Pi

*    Valeurs trigonométriques essentielles

 

Outils trigonométriques

*    Cercle trigonométrique

*    Courbes sinus et cosinus

*    Sinus et cosinus d'une somme d'angles

*    Sinus ²  + cosinus ² = 1

*    Identités trigonométriques – Formulaire

 

Calculs niveau Première

*    Calculs en trigonométrie (simples)

*    Cours de première

*    Équations trigonométriques

*    Exemple de calcul avec sin²  + cos² = 1

*    Exemple simple expliqué


Calculs avancés

*    Calculs en trigonométrie (avancés)

*    Exemple de calcul trigonométrique en somme de cosinus

*    Calcul de l'aire du cercle (intégrale)

 

Usage

*    Nombres complexes, forme polaire

*    Radio et télévision

*    Transformée de Fourier

 

Géométrie

*    Sinus et aire du triangle isocèle

*    Tangente et pente

*    Triangles héroniens et trigonométrie

*    Trigonométrie du pentagone

*    Trigonométrie et nombre d'or

 

 

 

 

Introduction à la trigonométrie

 

 

APPROCHE

 

*    La trigonométrie permet la mesure des côtés et angles du triangle rectangle.

*    Les valeurs trigonométriques données par des tables ou mieux aujourd'hui par les calculettes ou les ordinateurs sont des RÉFÉRENCES qui permettent de faire des calculs dans tous les cas.

 

 

 

Prendre la tangente …

 

Données

*    Prenons un triangle rectangle avec un angle de 74°.

*    Avec un côté de longueur égale à l'unité.

 

Question

*    Quelle est la mesure de l'autre côté de l'angle droit?

 

Réponse

*    Un dessin avec règle et rapporteur, vous donnera une valeur proche de 3,5.

*    Une table de trigonométrie, ou la calculette, vous donne le résultat précis

b = 3,487 414 44 …

*    Encore mieux avec un ordinateur

b = 3,487 414 443 840 908 650 4…

 

En pratique

*    Les mathématiciens, pour s'y retrouver, ont donné un nom à la valeur de b:

C'est la tangente.

*    Autrement dit, en généralisant:

*    en clair:     tangente () = b / a

*    en abrégé:          tg () = b / a

 

Exemple de calcul

Prenons 74°

Sa tangente est 3,487…

C'est le modèle de référence, avec a = 1

Si a est dilaté par 15

Le côté b le sera aussi

a = 15 => b = 3,487 x 15 = 52,305…

 

 

 

 

 

 

 

 

Voir Initiation aux dérivées / Angle apparent de la Lune

 

 

Professeur nimbus… et l'hypoténuse?

 

Données

*    Prenons un triangle rectangle avec un angle de 74°.

*    Avec un côté de longueur égale à l'unité.

 

Question

*    Quelle est la mesure de l'hypoténuse?

Réponse

*    Là aussi, les mathématiciens nous ont facilité la tâche.

*    Ils ont tabulé les valeurs pour tous les angles, ce sera notre référence pour tous les calculs.

*    En l'occurrence, ils ont introduit un nouvel individu trigonométrique:

*    en clair:     cosinus (a) = a / h

*    en abrégé:       cos(a) = a / h

 

Exemple de calcul

Prenons 74°

cos (74°) =  0,2756 ...

Si a vaut 1,

alors h = a / cos (74°) = 1 / 0,2756 = 3,628…

Si a est dilaté par 15

L'hypoténuse le sera aussi:

a = 15 => h = 3,628 x 15 = 54,42

 

 

 

 

LES TROIS RÉFÉRENCES principales

 

COSINUS

*    Rapport entre un côté et l'hypoténuse; le numérateur étant le côté COmmun avec angle:

 

cos (a) = a / h

 

 

SINUS

*    Rapport entre un côté et l'hypoténuse; le numérateur étant le côté éloigné de l'angle:

 

sin (a) = b / h

 

 

TANGENTE

*    Rapport entre les deux côtes de l'angle droit.

La tangente est aussi le rapport du sinus au cosinus; donc le côté éloigné est au numérateur:

 

tan (a) = b / a

 

 

COTANGENTE

*    Inverse de la tangente:

 

cotan (a) = a / b

 

 

*    Avec la valeur d'un angle, nous venons de définir quatre valeurs trigonométriques.

*    Si nous connaissons la valeur trigonométrique du sinus par exemple, nous pouvons nous demander à quel angle elle correspond. On écrit:  

Arcsin(x) = angle

Arcsin(1) = Pi/2 = 90°

 

Voir  Valeurs principales  /  Tables et graphique / Arctangente

 

 

Danger triangle et point d'exclamation.gif On rappelle que la trigonométrie s'applique exclusivement aux triangles rectangles. Cependant, tout triangle quelconque peut se partager en deux triangles rectangles, via la construction d'une hauteur.

 

 

 

 

Quand utiliser les valeurs de références?

 

Avec notre triangle rectangle dont l'angle vaut 74 °

 

Si je connais                

a

b

h

 

 

 

 

Je peux calculer avec

tangente

b = 3,487 a

 

 

 

 

 

 

 

sinus

 

b = 0,961 h

 

 

 

 

 

 

cosinus

a = 0,2756 h

 

 

Exemples

a = 15 => b = 3,487 x 15   = 52,31…

h = 15 => b = 0,961 x 15   = 14,415…

h = 15 => a = 0,2756 x 15  =   4,134 …

 

Il est possible d'utiliser les formules à l'envers

b = 15 => a = 15 / 3,487    = 4,30…

b = 15 => h = 15 / 0,961    = 15,60…

a = 15 => h = 15 / 0,2756   = 54,42…

 

De base, vous l'avez compris, il est possible de calculer l'angle

b = 15  et a = 52, 31 => tan() = 3, 48 &  = 74°

 

 

 

Pour le fun, les valeurs ci-dessus avec 20 chiffres

 

Valeurs trigonométriques pures                 Valeurs des exemples (avec 15)

tangente  3, 4874144438409086504                52, 311216657613629756

sinus        0, 9612616959383188619                14, 418925439074782929

cosinus    0, 2756373558169991856                 4, 134560337254987785

1 / tg        0, 2867453857588079400                   4, 301180786382119101

1 / sin      1, 0402994358616020971                 15, 604491537924031456

1 / cos     3, 6279552785433000973                 54, 419329178149501460

 

 

 

Pour les petits angles (< 1°)

 

Arad  sin(A)  tan (A)

Exemples

A = 0,1 radian:   sin(A) = 0,0998;       tan(A) = 0,1003

A = 0,01 radian: sin(A) = 0,0099998; tan(A) = 0,0100003

Voir Angle apparent de la Lune / Radian

 

 

 

 

TRENTE degrés - Construction

*    Pour construire un angle de 30°
Rien de plus facile!

 

sinus      30° = ½

cosinus 60° = ½

 

Notez que
cosinus 30° =

sinus      60° =

 

*    Construire les droites perpendiculaires aux axes qui coupent le rayon du cercle en deux (en bleu).

*    Les droites en rouge partagent l'angle droit en trois angles de 30° chacun.

Voir Autres valeurs / Secteurs de disque / Constructions géométriques des nombres / Partage du cercle

 

 

Pythagore … on le retrouve!

 

*    En appliquant le théorème de Pythagore, il résulte que:

 

La somme des carrés du sinus et du cosinus vaut 1.


 

Voir  Exemple de calcul avec cette identité

 

 

HISTORIQUE

 

*    2 000 ans avant notre ère: Égypte et Mésopotamie, notamment construction des pyramides.

*    Dans les années 100 avant notre ère: Grecs, Hipparque d’Alexandrie calcule la longueur de la corde pour un angle donné.

 

 

Claude Ptolémée (v. 100 – v. 170)

Savant grec. Auteur d'Almageste.

 

 

*    Ptolémée publie dans son manuel astronomique l’Almageste la première table trigonométrique de l’histoire, pour des angles compris entre 0° et 180°, par intervalle de 0,75°. Ptolémée employait les longueurs des cordes des arcs de cercle.

 

*    À la même époque, les Indiens utilisent un autre système qui introduit un paramètre proche du sinus actuel. L'invention des tables trigonométriques est indienne. La trigonométrie indienne s'est transmise aux astronomes arabes. Comme d'ailleurs aux astronomes chinois:

*    En 724, le moine bouddhiste I-Hsing utilise une table indienne de sinus;

*    Il la convertit en table de tangentes;

*    Pour analyser les mesures de l'ombre du soleil à midi en divers points de Chine.

 

*    Fin du Xe siècle: à partir des idées grecques et indiennes, les mathématiciens arabes définissent les lignes trigonométriques.  Notamment: Nasir al-Din al-Tusi avec son Traité du quadrilatère complet.

 

*    XVe siècle: l’astronome et mathématicien allemand Regiomontanus fait connaître ces notions aux Européens.

 

*    XVIe siècle: l’astronome allemand Rheticus définit le sinus sous sa forme actuelle et le mathématicien français Viète introduit les coordonnées polaires en trigonométrie sphérique.

 

*    Au XVIIIe siècle, Euler établit les relations entre exponentielles complexes et fonctions trigonométriques, ces dernières pouvant être, dès lors, considérées comme des cas particuliers d’exponentielles.

 

 

 

 

 

Suite

*    Cours de première

*      TrigonométrieIndex

Voir

*    Angles

*    Sinus et aire du triangle isocèle

*    Nombres complexes, forme polaire

*    Ondes

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