NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 25/02/2024

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Actualités                       M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique        Références      Brèves de Maths

             

Analyse

 

Débutants

Général

TRIGONOMÉTRIE

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Outils de trigo

 

Trigonométrie

 

Analyse

 

Identités

 

Analyse

 

Débutant

Introduction

Angles

Valeurs

En pratique

Lignes trigonométriques en bref

Cours de première

Formules

Tangente

Équations

Arctan

Calculs simples

Angles orientés

Pi/5 = 36°

Sin x / x et tan x / x

Calculs avancés

Cosécante

Pi/2 =  90°

Exemple expliqué

Calculs avancés

Hauteur de l'église

Bissectrice (1 ± cos a + i.sin a)

 

Sommaire de cette page

>>> Trigonométrie – Index

>>> Approche

>>> Les trois références

>>> Quand utiliser les valeurs de références

>>> Trente degrés

>>> Théorème de Niven

>>> Pythagore retrouvé

>>> Largeur de la rivière

>>> Historique

 

 

 

 

Le point animé sur le cercle et relations avec le sinus et le cosinus

https://qph.cf2.quoracdn.net/main-qimg-db84227e82abdcd815c61069955e3210

 

 

 

TRIGONOMÉTRIE

Pourquoi avoir inventé cette branche des maths ? Comment s'en servir ?

 

Les noms compliqués de sinus, cosinus, tangente sont des noms de baptême qui ne doivent pas effrayer!

Ils donnent le moyen de calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle.

Ce sont les rapports entre les côtés et l'hypoténuse en fonction de l'angle.

 

Voir Mnémotechnique /  Les trois lignes: sinus; cosinus et tangente

 

 

Cité par Bruno Winckler

Voir Pensées & humour

 

Index TRIGONOMÉTRIE

 

Général

*    TrigonométrieCalcul de sinus et cosinus sans connaissance en trigonométrie

*    Trigonométrie – Débutant

*    TrigonométrieIntroduction

*    TrigonométrieValeurs principales

*    TrigonométrieEn pratique (calcul)

*    TrigonométrieFonctions, les connaitre et le mémoriser

*    TrigonométrieToutes les identités simples ou plus recherchées

 

*    Trigonométrie hyperbolique

*    Trigonométrie – Fonctions réciproques

*    Trigonométrie rationnelle (triple quad)

*    Terrain de jeu: le cercle trigonométrique

*    Sinus, cosinus et Pythagore

*    Amusements trigonométriques avec un chat et une chèvre

*    Historique

*    Mnémotechnique

 

Angles

*    Angles – Définition

*    Angles – Types 

*    Angles – Index des valeurs numériques des angles, dont:

*    Pi/9 = 20°    Calcul du sinus

*    Pi/8 = 22,5°   Construction de cet angle par pliage

*    Pi/7 = 25,71 …° – Calcul du cosinus

*    Pi/10 = 18° Calcul du sinus

*    Pi/6 = 30°   Construction facile de cet angle

*    Pi/5 = 36°   Calculs des valeurs trigonométriques

*    Pi/4 = 45°   Calcul du sinus

*    Pi/3 = 60°   Calcul du sinus

*    Pi/2 =  90°  Angle droit

*    Pi/n – Propriétés

*    Fractions de Pi de 1 à 12 – Valeurs trigo.

*    Autres valeurs d'angles

*      Angles orientés

*    Angles solides

*    Arcsin et arccos – Définitions, calculs

*    Arctan 1/2 et 1/3

*    Mesure principale d'un angle et 2k près (modulo)

*    Angles et nombre d'or

 

Unités

*    Unités d'angles

*    Radians

 

Lignes trigonométriques – Définitions et valeurs

 

         

*    Arc et corde dans le cercle

*    Arsinh et son expression en logarithme

*    Calcul de l'angle via le sinus et le produit vectoriel

*    Courbe sinusoïdale

*    Construction du tableau des sinus des angles essentiels

*    Table de valeurs trigonométriques

*    Valeurs pour certaines fractions de Pi

*    Valeurs trigonométriques essentielles

 

Outils trigonométriques – Identités, formules

*   Cercle trigonométrique

*   Congruence avec trigonométrie: a mod b  = f (tangente)

*    Courbes sinus et cosinus

*    Démonstration des identités

*    Formules d'Euler – Moivre

*    Identités trigonométriques – Addition des angles ou des lignes trigonométriques

*    Identités trigonométriques – Angles multiples

*    Identités trigonométriques – Angles multiples (moitiés, doubles, triples)

*    Identités trigonométriquesFormulaire général

*    Linéarisation: puissances des fonctions trigonométriques

*    Relations de bases dans le cercle trigonométrique

*    Sinus ²  + cosinus ² = 1

*    Sinus et cosinus d'une somme d'angles

*    Théorème de Ptolémée (quatre angles)

 

Calculs niveau Troisième

*    Calculs trigo et géométrie

 

Calculs niveau Première

*    Calculs autour de Pi/8

*    Calculs en trigonométrie (simples)

*    Cours de première

*    Équations trigonométriques

*    Exemple de calcul avec sin²  + cos² = 1

*    Exemple simple expliqué

*    Exemples – Exercices de calculs en trigo.

*      Hauteur du donjon (Brève 577)

*    Limite de sin x / x et de tangente x / x

*    Multiplication utilisant la trigonométrie


Calculs avancés

*    Calculs en trigonométrie (avancés)

*    Exemple de calcul trigonométrique en somme de cosinus

*    Calcul de l'aire du cercle (intégrale)

*    Arcsin et arccos – Exemples de calculs

 

Usage

*    Calculer un produit en utilisant la trigonométrie

*    Nombres complexes, forme polaire

*    Radio et télévision

*    Transformée de Fourier

 

Géométrie

*    Loi des sinus (cosinus, tangentes …) dans le triangle quelconque

*    Sinus et aire du triangle isocèle

*    Tangente et pente

*    Triangles héroniens et trigonométrie

*    Trigonométrie du pentagone

*    Trigonométrie et nombre d'or

 

 

 

 

Introduction à la trigonométrie

 

 

APPROCHE

 

*    La trigonométrie permet la mesure des côtés et angles du triangle rectangle.

*    Les valeurs trigonométriques données par des tables ou mieux aujourd'hui par les calculettes ou les ordinateurs sont des RÉFÉRENCES qui permettent de faire des calculs dans tous les cas.

 

 

 

Prendre la tangente …

 

Données

*    Prenons un triangle rectangle avec un angle de 74°.

*    Avec un côté de longueur égale à l'unité.

 

Question

*    Quelle est la mesure de l'autre côté de l'angle droit?

 

Réponse

*    Un dessin avec règle et rapporteur, vous donnera une valeur proche de 3,5.

*    Une table de trigonométrie, ou la calculette, vous donne le résultat précis

b = 3,487 414 44 …

*    Encore mieux avec un ordinateur

b = 3,487 414 443 840 908 650 4…

 

En pratique

*    Les mathématiciens, pour s'y retrouver, ont donné un nom à la valeur de b:

C'est la tangente.

*    Autrement dit, en généralisant:

*    en clair:     tangente () = b / a

*    en abrégé:          tg () = b / a

 

Exemple de calcul

Prenons 74°

Sa tangente est 3,487…

C'est le modèle de référence, avec a = 1

Si a est dilaté par 15

Le côté b le sera aussi

a = 15 => b = 3,487 x 15 = 52,305…

 

 

 

 

 

 

 

 

Voir Initiation aux dérivées / Angle apparent de la Lune

 

 

Professeur nimbus… et l'hypoténuse?

 

Données

*    Prenons un triangle rectangle avec un angle de 74°.

*    Avec un côté de longueur égale à l'unité.

 

Question

*    Quelle est la mesure de l'hypoténuse?

Réponse

*    Là aussi, les mathématiciens nous ont facilité la tâche.

*    Ils ont tabulé les valeurs pour tous les angles, ce sera notre référence pour tous les calculs.

*    En l'occurrence, ils ont introduit un nouvel individu trigonométrique:

*    en clair:     cosinus (a) = a / h

*    en abrégé:       cos(a) = a / h

 

Exemple de calcul

Prenons 74°

cos (74°) =  0,2756 ...

Si a vaut 1,

alors h = a / cos (74°) = 1 / 0,2756 = 3,628…

Si a est dilaté par 15

L'hypoténuse le sera aussi:

a = 15 => h = 3,628 x 15 = 54,42

 

 

 

 

LES TROIS RÉFÉRENCES principales

 

COSINUS et cosécante

*    Rapport entre un côté et l'hypoténuse; le numérateur étant le côté COmmun avec angle:

 

 

SINUS et sécante

*    Rapport entre un côté et l'hypoténuse; le numérateur étant le côté éloigné de l'angle:

 

 

 

TANGENTE

*    Rapport entre les deux côtes de l'angle droit.

La tangente est aussi le rapport du sinus au cosinus; donc le côté éloigné est au numérateur:

 

 

 

COTANGENTE

*    Inverse de la tangente:

 

 

 

ARCSIN, ARCCOS

*    Avec la valeur d'un angle, nous venons de définir quatre valeurs trigonométriques.

*    Si nous connaissons la valeur trigonométrique du sinus par exemple, nous pouvons nous demander à quel angle elle correspond.

On écrit:  

Arcsin(x) = angle

Arcsin(1) = Pi/2 = 90°

 

Accès avec la calculette,

en cliquant sue la touche 2nd

 

Accès aux valeurs trigonométriques par la calculette

Vous pouvez aussi taper simplement sin(50) dans le moteur de recherche et la réponse sera 0,766

Voir  Valeurs principales  /  Tables et graphique / Arctangente

 

 

Danger triangle et point d'exclamation.gif On rappelle que la trigonométrie s'applique exclusivement aux triangles rectangles. Cependant, tout triangle quelconque peut se partager en deux triangles rectangles, via la construction d'une hauteur.

 

 

 

 

Quand utiliser les valeurs de références?

 

Avec notre triangle rectangle dont l'angle vaut 74 °

 

Si je connais                

a

b

h

 

 

 

 

Je peux calculer avec

tangente

b = 3,487 a

 

 

 

 

 

 

 

sinus

 

b = 0,961 h

 

 

 

 

 

 

cosinus

a = 0,2756 h

 

 

Exemples

a = 15 => b = 3,487 x 15   = 52,31…

h = 15 => b = 0,961 x 15   = 14,415…

h = 15 => a = 0,2756 x 15  =   4,134 …

 

Il est possible d'utiliser les formules à l'envers

b = 15 => a = 15 / 3,487    = 4,30…

b = 15 => h = 15 / 0,961    = 15,60…

a = 15 => h = 15 / 0,2756   = 54,42…

 

De base, vous l'avez compris, il est possible de calculer l'angle

b = 15  et a = 52, 31 => tan() = 3, 48 &  = 74°

 

 

 

Pour le fun, les valeurs ci-dessus avec 20 chiffres

 

Valeurs trigonométriques pures                 Valeurs des exemples (avec 15)

tangente  3, 4874144438409086504                52, 311216657613629756

sinus        0, 9612616959383188619                14, 418925439074782929

cosinus    0, 2756373558169991856                 4, 134560337254987785

1 / tg        0, 2867453857588079400                   4, 301180786382119101

1 / sin      1, 0402994358616020971                 15, 604491537924031456

1 / cos     3, 6279552785433000973                 54, 419329178149501460

 

 

 

Pour les petits angles (< 1°)

 

Arad  sin(A)  tan (A)

Exemples

A = 0,1 radian:   sin(A) = 0,0998;       tan(A) = 0,1003

A = 0,01 radian: sin(A) = 0,0099998; tan(A) = 0,0100003

Voir Angle apparent de la Lune / Radian

 

 

 

 

TRENTE degrés - Construction

*    Pour construire un angle de 30°
Rien de plus facile!

 

sinus      30° = ½

cosinus 60° = ½

 

Notez que
cosinus 30° =

sinus      60° =

 

*    Construire les droites perpendiculaires aux axes qui coupent le rayon du cercle en deux (en bleu).

*    Les droites en rouge partagent l'angle droit en trois angles de 30° chacun.

Voir Construction des angles de 30° et 60° / Autres valeurs / Secteurs de disque /

Constructions géométriques des nombres / Partage du cercle

 

Théorème de Niven (1915-1999)

Les seules valeurs rationnelles des angles du premier quadrant telles que le sinus soit aussi rationnel sont: 0°, 30° et 90°.

Voir Nombre 0,5

 

Pythagore … on le retrouve!

 

*    En appliquant le théorème de Pythagore, il résulte que:

 

La somme des carrés du sinus et du cosinus vaut 1.


 

 

Application:  calculer E

 

Voir Formulaire / Exemple de calcul avec cette identité / Cas en 3D

 

 

Largeur de la rivière – Exemple d'application

 

Énoncé

Rivière de largeur inconnue x.

Relevé au sol selon le croquis.

Largeur de la rivière ?

 

Calculs


 

Calcul exact

 

Vérification avec le
logiciel Geogebra

 

 

 

HISTORIQUE

 

*    2 500 ans avant notre ère: Égypte et Mésopotamie, aptitude à la géométrie; notamment construction des pyramides .

 

*    Plimpton 322
Résultat de recherche d'images pour "Plimpton 322"1800 ans avec av. J.-C., les Babyloniens ont découvert la trigonométrie mille ans avant les Grecs. La tablette babylonienne Plimpton 322 (photo) est la plus ancienne et la plus précise des tables trigonométriques.

Tablette découverte au début des années 1900 dans le sud de l'Irak par Edgar Banks, un archéologue et diplomate qui a inspiré le personnage d'Indiana Jones.

*      4 colonnes et 15 lignes de nombres écrites en cunéiforme.

*      Système de base 60 sexagésimale.

*      Elle contient des nombres connus comme les triplets de Pythagore. Sur la première ligne on trouve le triplet: 119, 120, 169.

*      Il n’y a aucune notion d’angle dans ce texte-là ni de façon générale dans les mathématiques de cette époque-là (Christine Proust – Chercheuse au CNRS)

Voir D; Knuth découvre l'aspect algorithmique des calculs babyloniens

 

*    Si. 427

Sans doute antérieure à Plimpton 322, mais déchiffrée plus tard (publication en 2021).
Vieille de 3700 ans (-1900 à -1600)
Découverte à la fin du 19e siècle (1894) Dans le centre de l’Irak actuel (environs de Bagdad).
Exposé dans un musée d'Istanbul, retrouvée par un scientifique de l’École de mathématiques et de statistiques de l’UNSW (sydney – Australie): Dr Daniel Mansfield

Publication en 2022 dans Fondements des sciences.

Relative à l'arpentage: plans utilisés par les géomètres pour définir les limites des terres.

Détermination des angles droits à l'aide de triplets de Pythagore, mille ans avant la naissance de Pythagore.



*    Dans les années 100 avant notre ère: Grecs, dont Hipparque d’Alexandrie, considéré comme le père de la trigonométrie, qui calcule la longueur de la corde pour un angle donné.

*    Ptolémée (v.100 – v. 170), savant grec, publie dans son manuel astronomique l’Almageste la première table trigonométrique de l’histoire, pour des angles compris entre 0° et 180°, par intervalle de 0,75°. Ptolémée employait les longueurs des cordes des arcs de cercle.

*    À la même époque, les Indiens utilisent un autre système qui introduit un paramètre proche du sinus actuel. L'invention des tables trigonométriques est indienne. La trigonométrie indienne s'est transmise aux astronomes arabes. Comme d'ailleurs aux astronomes chinois:

*    En 724, le moine bouddhiste I-Hsing utilise une table indienne de sinus;

*    Il la convertit en table de tangentes;

*    Pour analyser les mesures de l'ombre du soleil à midi en divers points de Chine.

*    Fin du Xe siècle: à partir des idées grecques et indiennes, les mathématiciens arabes définissent les lignes trigonométriques.  Notamment: Nasir al-Din al-Tusi avec son Traité du quadrilatère complet.

*    Madhava de Sangamagrama, mathématicien indien (1350-1425), élabore une table trigonométrique (moins précise que les données Plimpton 322).

*    XVe siècle: l’astronome et mathématicien allemand Regiomontanus fait connaître ces notions aux Européens.

*    XVIe siècle: l’astronome allemand Rheticus définit le sinus sous sa forme actuelle et le mathématicien français Viète introduit les coordonnées polaires en trigonométrie sphérique.

*    Au XVIIIe siècle, Euler établit les relations entre exponentielles complexes et fonctions trigonométriques, ces dernières pouvant être, dès lors, considérées comme des cas particuliers d’exponentielles.

 

La dérivée d'un sinus est le cosinus

L'intégrale d'un sinus est un cosinus

Voir Dérivation et intégration

 

 

 

 

Suite en

*   Cours de première

*   Calculs en trigonométrie (simples)

*   Calculs en trigonométrie (avancés)

*   Intérêt de la trigo: construction des triangles

Voir

*   Angles

*   Cercle unité et triplets de Pythagore

*   Formules – Identités trigonométriques

*   Formules dans les triangles

*   Nombres complexes, forme polaire

*   Ondes

*   Sinus et aire du triangle isocèle

*   Théorème de Thalès

*   Triangle rectangle

*   Valeurs trigonométriques

Site

*    Plimpton 322 – Wikipédia

*    Trigonométrie – Mathway – Calculateur en ligne

*    Il y a 3.700 ans, les Mésopotamiens utilisaient le théorème de Pythagore mille ans avant la naissance du savant grec – Sciences et Avenir – 23/08/21

*  Autralian mathematician reveals world's oldest example of applied geometry – UNSW – 05/08/21 – Détails de la tablette Si.427

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Analyse/Trigo.htm