NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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TRIANGLES

 

Débutants

Triangle

Résolution

 

Glossaire

Triangle

 

 

INDEX

 

Résolution

 

Triangle

 

Résolution

Trois côtés (LLL)

Deux côtés (LAL)

Un côté (ALA)

Formules

Trois angles (AAA)

Deux côtés (LLA)

Un côté (AAL)

 

Sommaire de cette page

>>> Figure & notations

>>> Aire du triangle

>>> Loi des sinus

>>> Loi des cosinus

>>> Loi des projections

>>> Loi des demi-angles

>>> Loi de Napier

>>> Loi des tangentes

>>> Loi des cotangentes

>>> Formule de Mollweide

>>> Médianes

>>> Exemple de Résolution

 

 

 

 

 

 

Formules pour la RÉSOLUTION

du TRIANGLE QUELCONQUE

 

 

Toutes les formules utiles pour résoudre les triangles (connaissant trois mesures, trouver las trois autres).

 

 

FIGURE & NOTATIONS

A B C

Sommets

a, b, c

Longueur des côtés

ha

hauteur portant sur le côté a

R

Rayon du cercle circonscrit (Oc)

r

Rayon du cercle inscrit (OI)

2s

s

= a + b + c (périmètre)

= demi-périmètre

AT

=  Aire du triangle

 

 

AIRE DU TRIANGLE

 

AT est donnée par l'une de ces formules:

Voir Démonstration / Relations avec la hauteur / Formules de Héron  /

 Triangles héroniens /  Calcul de l'aire des quadrilatères

 

 

 

LOI des SINUS

 

 

En 1670, Jean Picard (1620-1682) mesure le degré de méridien terrestre. Cette formule est à la base de ses calculs: le rapport d'un côté au sinus de l'angle opposé est constant.

Il obtient 57 057 toises soit 40 033 km pour la longueur du méridien.

Valeur d'aujourd'hui:         40 007, 864 km

Voir Denis Guedj / Sphère terrestre

 

 

 

Démonstration via les hauteurs

 

 

 

La loi des sinus n'est finalement qu'un moyen commode (et esthétique) de ne pas reprendre le calcul via les hauteurs à chaque fois.

Démonstration via  le calcul de l'aire (S)

 

L'aire du triangle peut s'exprimer de trois façons en prenant les trois hauteurs.

La suite consiste à multiplier ces expressions par 2 / abc. De la sorte, on obtient également la valeur du rapport en fonction de l'aire.

 

 

 

 

 

LOI des COSINUS (formules d'Al Kashi)

 

Pratique pour calculer

*    Le troisième côté en connaissant deux côtés et leur angle

*    les angles lorsqu'on connaît les trois côtés.

 

 

Démonstration

 

Pythagore Théorème dans le triangle rectangle BCH:

 

 

 

 

 

Voir Exemple de calcul / Calcul de l'aire des quadrilatères

 

 

 

LOI des PROJECTIONS

 

 

 

LOI des DEMI-ANGLES

 

 

LOI de NAPIER

 

 

LOI des tangentes

Voir Formules trigonométriques d'addition

 

 

LOI des cotangentes

 

Formules de Mollweide

 

Médianes

*    Longueur des médianes avec milieu sur les côtés a, b et c.

 

 

 

 

 

Exemple de résolution: deux côtés et leur angle

 

 

*    On connait:
a = 150 cm,
b = 120 cm, et
C (angle) = 70°.

 

 

Première solution en appliquant la loi des cosinus.

 

*    La figure est à l'échelle (10 cm = 1 carreau). Le segment "c" est recopié en haut et mis à l'horizontale. Sa mesure permet de vérifier le calcul.

 

 

 

 

 

 

 

Seconde solution avec trigonométrie et Pythagore.

 

*    Calcul de proche en proche pour atteindre "c"

 

 

Voir Résolution générale de ce cas (LAL)

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Résolution du triangle LLL  (trois côtés connus)

*    Formule de Héron

Voir

*    Cercle

*    Géométrie

*    Polygone

*    Triangle - Index

*    Triangle – Introduction

*    Trigonométrie

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Calcul/RelQuel.htm