NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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TRIANGLES

 

Débutants

Triangle

Résolution

 

Glossaire

Triangle

 

 

INDEX

 

Triangle

 

Types de triangles

Résolution

Hauteur

Aire (Héron)

Construction

Formules

Projection

T 13 14 15

 

Sommaire de cette page

>>> Le triangle (13, 14, 15)

>>> Résolution complète

>>> Le plus petit est isocèle

 

 

 

 

 

Résolution du TRIANGLE

(13, 14, 15)

Triangle rationnel ou héronien

 

Triangle singulier, dit héronien, avec ses côtés en nombres entiers croissants dont la hauteur (h = 12) et l'aire (A = 84) sont aussi des nombres entiers.

Triangle connu par les Grecs anciens, les Hindous ou encore les Arabes. On se demande si tous ces mathématiciens ont eu accès à la même source ou si ce sont des découvertes indépendantes.

Exemple pour eux de la démonstration de la relation de Héron.

 

Anglais: solving triangles

 

 

Le triangle (13, 14, 15)

Présentation

 

Triangle qui a tous ses angles aigus (acutangle) et dont les mesures des côtés  (13, 14 et 15) sont des nombres entiers consécutifs.

Non seulement une des hauteurs est également un nombre entier, mais ce nombre (12) aussi consécutif avec les côtés.

La découpe de la hauteur sur le côté est également en nombres entiers (9 et 5).

L'aire est un nombre entier (84).

Périmètre: 13 + 14 + 15 = 3 x 14 = 42

 

Calcul général

(Méthode d'Al-Khwarizmi en 820)

 

Dans les deux triangles rectangles définis par la hauteur et avec le théorème de Pythagore.

 

h² = b² – (c – x)²

    = b² – c² + 2cx –x²

h² = a² – x²

 

b² – c² + 2cx = a²

x = (a² – b² + c²) / 2c

 

Application au triangle (13, 15, 14)

En reprenant les formules ci-dessus.

 

Le plus petit triangle acutangle quelconque avec une aire rationnelle.

 

 

x = (13² – 15² + 14²) / (2x14)

  = 140 / 28 = 5

h² = 13² – 5² = 144

h = 12

A = ½ x 12 x 14 = 84

Voir Suite du calcul et relation de Héron

 

 

 

Résolution complète

 

Hauteur

Pour chaque hauteur issue des sommets An B ou C, on donne la découpe x de la hauteur sur le côté opposé, la longueur de la hauteur et l'aire calculée à partir de cette hauteur (trois fois la même valeur, heureusement)

 

 

Angles

 

Avec la formule des cosinus, on calcule la valeur des angles.

Connaissant h, il est également facile d'utiliser la trigonométrie classique avec tan A = 12 / 9 => A = 53, 130 …

Autres mesures

 

Médianes: 12,971; 12,166; 11,236

Rayon du cercle inscrit: 4

Rayon du cercle circonscrit: 8,125

 

Coordonnées A(0; 0), B(15; 0), C(6,6; 11,2)

Centre de gravité: (7,2; 3,733)

 

Nombres consécutifs pour les côté et hauteur rationnelle

 

En 1722, Nakne Genkei a trouvé:

(3, 4, 5), (13, 14, 15), (51, 52, 53) et (193, 194, 195).

 

 

 

Le plus petit est isocèle (5, 5, 6)

Le plus petit triangle non rectangle entier.

Il est isocèle.

 

Voir Autres triangles entiers

 

 

 

 

Suite

*    Formules pour résoudre les triangles

*    Résolution des triangles LLL

*    Constructions élémentaires: les triangles

Voir

*    Triangle entier (17, 24, 25, 26)

*    Triangles héroniens

*    Triangle – Introduction

*    TriangleIndex

*    Volume du tétraèdre

*    Formule de Héron pour le trapèze

Sites

*      Triangle calculator – Calculator.net – Vous donnez trois valeurs; il vous indique les trois autres et en prime le dessin du triangle.

*      The Brahmagupta triangles – Raymond Beauregard and

E. R. Suryanarayan

*    OEIS A120062 – Number of triangles with integer sides a<=b<c having integer inradius n – Accès à d'autres listes.

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Calcul/T131415.htm