NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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   TRIANGLES

 

Débutants

Triangle

Propriétés spéciales

 

Glossaire

Triangle

 

 

INDEX

 

Triangle

Droites et points

Triangle et cercles

Brocard

Quatre triangles

Somme = 180°

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Le piéton

>>> Démonstration

>>> Quadrilatère

>>> Polygones

>>> Cas amusant des six carrés

>>> Polyèdres

 

 

 

 

 

180° dans le TRIANGLE 

 

180 °

 

C'est le demi-tour

 

C'est la somme

des angles du triangle

 

Démonstration

 

En bref

Pour tous les triangles, la somme des trois angles intérieurs est égale à 180° (un angle plat ou deux angles droits).

Un angle extérieur est égal à la somme des deux autres intérieurs. Sur la figure: angle extérieur en 1 = 2 + 3.

Si le triangle est rectangle, les deux angles non-droits sont complémentaires (=90°).

Cette propriété permet le pavage du plan pour tout type de triangle >>>

Voir Évaluation de CM1

 

 

 

 

 

 APPROCHE

 

Le demi-tour de l'allumette

 

*    On pose une allumette sur un des côtés du triangle.

*    À chaque sommet, on fait pivoter l'allumette.

 

On peut imaginer un bébé à quatre pattes, rampant le long des bords d'un triangle creux.

Il part tête en avant vers le coin bas droit.

Une fois là il ne peut plus avancer et repart à reculons le long du bord en bas. Ses pieds buttent sur le coin bas gauche.

Il se redresse le long du bord gauche et avance à nouveau, tête en avant.

Arrivé en haut, il se remet le long du bord droit, prêt à poursuivre sa course, mais, cette fois, à reculons, là où, précédemment il était parti tête en avant!

 

 

*    À l'arrivée l'allumette se retrouve dans la position inverse à celle du départ.

*    Durant ce voyage, et en tournant selon les trois angles du triangle, l'allumette à fait: demi-tour.

.

Voir Parcours du piéton

 

 

 

Propriété

180 °

Somme des angles du triangle

 

 

Géométries non euclidiennes

Triangle dessiné sur

une selle de cheval

Triangle dessiné sur

une surface plane

Triangle dessiné sur

une sphère

 

Voir  Nombre 180  /  Triangle sphérique  /  Les trois géométries    

 

 

 

LE PIÉTON

 

 

 La marche du piéton

 

*     Un piéton fait le tour du triangle.

*     On remplace l'allumette par un piéton.

*     Il part d'un côté du triangle.

*     Arrivé au premier sommet, il tourne de 180° -  pour longer le premier côté .

*     Au deuxième sommet il pivote de 180° -  , de même au troisième avec une rotation de 180° - .

*     En terminant de longer le dernier côté, il se retrouve au même endroit en ayant fait un tour complet de 360°.

 

*    On peut faire le bilan suivant :

(180 -  ) + (180 -  ) + (180 -  ) = 360

180 + 180 + 180 -  -  -  = 360

 +  +  = 180°

 

 

 

Un piéton matheux

 

*     Un piéton matheux pense qu'il y a plus simple.

*     Il fait un tour particulier du triangle.

*     Arrivé au premier sommet, il tourne de  et marche à reculons sur le côté suivant.

*     Au deuxième sommet il pivote  et reprend sa marche en avant sur le 3e côté.

*     Il termine en tournant de  pour repartir à reculons.

 

 

*    Parti en avant, il se retrouve au même endroit, mais à reculons.

*    Au cours de son périple, il a fait demi-tour:

 +  +  = 180°

 

C'est une autre version de la méthode allumette.

 

 

 

DÉMONSTRATION

 

Parallèle

*     On trace la parallèle D à l'un des côtés,

*     Passant par le sommet opposé à ce côté.

 

 

*    Sous la droite D

 ' +  ' +  = 180°

 

*    Les angles alternes-internes sont égaux:

 '  =

 '  =

 

*    L'égalité devient:

 +  +  = 180°

 

 

Alternative

Une démonstration alternative est basée sur cette figure.

 

Voir Angles alternes-internes / Parallèles et sécante

 

 

QUADRILATÈRE

 

 

 Coupé en deux

 

*    Soit S la somme des angles du quadrilatère Q .

S1 pour Q1 et

S2 pour Q2.

*    Si la somme est une constante, alors:

S = S1 = S2

 

 

 

 

S = S1 = S2  =

S1 + S2 - A -B - C - D

S  =

S + S - 180 - 180

S  =

360

 

Propriété

 

360 °

Somme des angles d'un quadrilatère.

Voir Nombre 360

 

 

En pyramide

 

*    Voici une autre méthode pour démontrer la même chose.

*    On choisit un point quelconque dans le quadrilatère.

*    Le quadrilatère est ainsi formé de 4 triangles.

 

La somme des angles de ces 4 triangles est

SA = 4 x 180

C'est aussi la somme des angles aux points

M, A, B, C, et D

Or la somme des angles en  M est de

SM = 360

Et, la somme des angles aux points A, B, C, et D est naturellement celle que l'on cherche

S

Rassemblons les morceaux

SA

= 4 x 180

= 360 + S

En résolvant

S = 360

 

 

 

 

Cas amusant de deux fois trois carrés

Six carrés identiques (2 x 3).

Quelle est la somme des angles 1 à 6?    Réponse: 180°

D'évidence, les angles 3 et 4, dans les carrés centraux, valent 45°.

La figure est symétrique. On se contente de monter que 1+2+3 = 90°.

 

La démonstration nécessite une petite construction supplémentaire.

Le quadrilatère en vert a ses quatre côtés égaux (diagonales de rectangles identiques); et l'angle en E, par exemple, est droit (alpha + bêta  = 90°). C'est un carré.

AF est une diagonale et l'angle FAE = 1 + 2' = 45°.

Les triangles rectangles ACE et FBD sont égaux (rectangles identiques, coupés en deux par la diagonale); les angles sont égaux deux à deux: 2 = 2'.

En rapprochant les deux égalités: 1 + 2' = 1 + 2 = 45°

Et sachant que 3 = 45°, nous avons: 1 + 2 + 3 = 90°

 

Calcul des angles

Voir Angles  / Trigonométrie

 

 

 

 

POLYGONES

 

Généralisation

*    La méthode précédente s'applique à tout polygone.

*    On choisit un point quelconque.

*    Le polygone est ainsi formé de triangles.

 

Exemple

*    Par rapport au quadrilatère, on ajoute un côté pour former un pentagone.

 

Un côté de plus => Un triangle de plus

 

 

La somme des angles de ces 5 triangles est

SA = 5 x 180

Celle du pentagone

S = 5 x 180 - 360

Soit

S = 3 x 180

 

 

Propriété

 

+ 180 °

Supplément d'angle,

lorsqu'on ajoute un côté à un polygone.

(n – 2) 180 °

Somme des angles du polygone à n côtés.

Suite en Polygones - Propriétés

 

 

 

POLYÈDRES

 

 

Propriété

 

360 °

Limite de l'angle au sommet du polyèdre

 

 

Conséquence

 

Il n'y a que cinq polyèdres réguliers

 

 

Polygone à moins de 6 côtés

 

*    Les faces du polyèdre sont des polygones réguliers.

*    Un sommet appartient à trois faces au minimum.

*    L'angle maximum du polyèdre avec 3 de faces est 360°

Cas limite où les faces seraient pratiquement dans un même plan.

La somme des angles est donc strictement inférieure à 360°.

 

*    Voyons les différents types possibles de faces et

l'angle atteint par le polyèdre qui posséderait trois de ces faces.

 

 

 

Triangle

équilatéral

Carré

Pentagone

régulier

Hexagone

 régulier

Somme des angles

180

360

3 x 180

4 x 180

Angle du polygone

60

90

108

120

Angle du polyèdre

120

270

324

360

Polyèdre possible ?

OUI

OUI

OUI

NON

 

Que cinq !

 

 

Triangle

équilatéral

Carré

Pentagone

régulier

Angle du polygone

60

90

108

Combien de faces

maximum

60 x 3 = 120

60 x 4 = 240

60 x 5 = 300

90 x 3 = 270

108 x 3 = 324

Pas possible

Car  360 °

60 x 6 = 360

90 x 4 = 360

108 x 4 = 432

Total

3

1

1

Dans l'ordre

Tétraèdre

Octaèdre

Icosaèdre

Cube

Dodécaèdre

 

 

 

 

 

Suite

*    Démonstrations avec les angles orientés

Voir

*    Allumettes

*    Angle

*    Carrés

*    Carrés en rotation

*    Cercles

*    Droite

*    Géométrie

*    Jeux

*    Polygones

*    Symétries

*    Triangle de Pythagore

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