Formules de Héron

NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 28/10/2023 Orientation générale DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	TRIANGLES
Débutants Triangle	Résolution				Glossaire Triangle
INDEX Triangle	Résolution	Formules	Hauteur	Aire (Héron)
	Hypoténuse	Projection	Triangle a 60 b	T 13 14 15
		Sommaire de cette page >>> Historique >>> Formule de Héron >>> Triangles héroniens >>> Démonstration >>> Exemple sur une application >>> Problème >>> Solution >>> Vérification >>> Quadrilatère inscrit dans un cercle

TRIANGLES QUELCONQUES

Relation de Héron / Triangles héroniens

La formule de Héron permet de calculer l'aire d'un triangle quelconque en ne connaissant que les mesures des côtés. In fine un exemple pratique de calcul dans un triangle et vérification à l'aide de la formule de Héron. La formule de Héron est un cas particulier pour le triangle de la formule de Brahmagupta pour un quadrilatère cyclique (inscrit dans un cercle).

Historique

Héron d'Alexandrie (1^er siècle de notre ère) calcule l'aire de différents triangles dont le (6, 7, 8) qui donne A² = 720. Il lui faut calculer la racine.

Cette formule est sans doute antérieure, mais Héron en donne une démonstration dans Métriques et dans Traité de la Dioptre.

Vers 600, Bramahgupta caractérise les triangles héroniens.

Au IX^e siècle, Mohammed, Ahmed et Alhasan fournissent une démonstration dans le Livre des trois frères arabes. Le célèbre Al-Khwarizmi décrit aussi cette méthode en 820. Exemple illustré par le triangle (13, 14, 15) dont la hauteur et l'aire sont rationnelles.

Fibonacci (1175-1250) reprend cette formule et sa démonstration dans Géométrie pratique (1220).

Newton en 1707 et Euler en 1747 et d'autres chercheront à trouver d'autres démonstrations.

Formule de Héron
Périmètre du triangle p = a + b + c s = ½ p = ½ (a + b + c) Aire du triangle
Autres manières de l'écrire Attention au carré et au signe moins signalés en couleur
Formulation d'Euler	A² =1/16 (a + b + c)(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) A² = 1/16 (2a²b² + 2a²c² + 2b²c² – a⁴– b⁴– c⁴)
Formules en fonctions de chaque côté Aa : Aire du triangle exprimée en fonction de a. Etc.

Angles du triangle

Si on connait la longueur des côtés du triangle, on connait son aire en utilisant la formule de Héron.

Bonus, on connait aussi les angles par la formule de l'aire:

Voir Exemple d'application dans le défi des trois cercles tangents

Ci-dessous, avec a, b et c par ordre croissant:

Formule pour les calculs avec calculette dans un triangle avec petits angles. Mettre toutes les parenthèses.

Autres formules

Formule découverte par les Chinois, publiée en 1247.

Formule avec:

- les médianes (m, m' et m") et leur demi-somme (M);

- l'inverse des hauteurs (k = 1/h, k' et k") et la demi-somme de ces inverses (K).

Formule avec les médianes

Formule avec les hauteurs

Attention, inverse

des hauteurs

Formules avec les angles

D est le diamètre du cercle circonscrit

Triangles héroniens: A² = s (s – a) (s – b) (s – c)

Un triangle héronien est un triangle quelconque dont les longueurs et l'aire sont des nombres rationnels.

Exemples

Formules paramétriques

L’ensemble complet des triangles héroniens primitifs a été trouvé par Euler et les équations paramétriques par Brahmagupta and Carmichael.

a = n (m² + k²)

b = m (n² + k²)

c = (m + n) ( mn – k²)

s = mn (m + n)

A = kmn (m + n) (mn –k²)

Triangles Périmètres égal Aire (equable triangles)

Seuls cinq triangles héroniens ont une aire égale au périmètre:

(5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20) et (9,10,17).

Voir Triangles héroniens / Le triangle (13, 14, 15) et le triangle (5, 5, 6) / Triangle entier (17, 24, 25, 26) /

Problème de Didon

Démonstration de la relation de Héron
Cette démonstration, sans doute la plus simple, est un exemple typique de l'emploi du théorème de Pythagore et des identités remarquables. La hauteur h partage le triangle quelconque en deux triangles rectangles. Soit deux expressions du carré de la hauteur en fonction de la longueur des côtés. Le reste est une simple question de calculs algébriques.

Voir Aire du quadrilatère inscrit – relation de Brahmagupta

Application à la vérification d'un calcul

Problème

Un triangle quelconque qui possède un angle particulier: l'angle en C vaut 60°.

Nous savons par ailleurs que son aire est égale à 15 unités.

Trouvez les mesures des trois côtés: a, b et c.

Remarque liminaire

La résolution d'un triangle nécessite trois grandeurs. Ici, nous n'en avons que deux: angle et aire. La solution sera donnée à une homothétie près ("facteur de zoom")

Nous allons choisir (arbitrairement) de fixer x = 1. Les autres solutions se déduiront en multipliant toutes les mesures par le même facteur de zoom.

Le triangle A'BC est équilatéral.

L'angle en C est égal à 180/3 = 60°.

La hauteur h du triangle ACH mesure x.

Cette valeur est déduite de la valeur de la tangente de l'angle 60°.

Solution
Angle de 60°	tan 60° =
Hauteur du triangle	h =
Aire du triangle Ax	Ax =
Aire du triangle Ay	Ay =
Aire du triangle complet A	A =
Valeur de a si x = 1	a =
Hauteur	h = h² =	=1,73… 3
Valeur de y (On sait qu'en numérique c'est a – 1 = 16,32 …)	y =
Pythagore dans le triangle Ax	b² =
	b =
Pythagore dans le triangle Ay	c² =
	c =	= 16,41…
Illustration à l'échelle

Vérification numérique
Demi-périmètre	s =	½ (a + b + c) = ½ (17,32 + 2 + 16,41) = 17,865
Formule de Héron	A² =	s (s – a) (s – b) (s – c) = 17,865 0,545 15,865 1,455 = 224,751496719375
Aire du triangle	A =	14,99… OK!

Merci à Noël G. pour sa contribution

Triangles en progression arithmétique

Problème

Un triangle quelconque d'aire A.

Ses côtés sont en progression arithmétique de raison d.

Longueurs des côtés a, b, c ?

Longueurs des côtés: a = b – d; b et c = b + d

Aire selon la formule de Héron:

A² = s (s – a) (s – b) (s –c)

avec s = (a + b + c) / 2 = 3b/2

Calcul de l'aire

Mise en équation
avec b pour inconnue

Solution positive

Équation du second degré

Exemple

A = 100 et d = 2

b = 15,46216770689…

On retrouve évidemment le cas des triangles rectangles avec des nombres entiers comme:
A = 4, d = 1 => (3, 4, 5)

Cas de nombres presque entiers

b	d	A
17,00064…	7	71
40,000022…	7	649
63,000016…	31	305
75,000039…	36	682
150,0000004…	33	8749

Quadrilatère inscrit dans un cercle		haut
Propriété L'aire du quadrilatère inscriptible est égale à la racine des produits des quatre différences entre p et la longueur des côtés. Sachant que p est le demi-périmètre. Exemple avec GeoGebra Pour information: le cercle a un rayon de 10 unités. Le carré inscriptible aurait une diagonale de 20 unités et son aire serait égale à 200. C'est la taille maximale du quadrilatère inscriptible dans ce cercle.
Démonstration	Voir Aire du triangle Loi des cosinus Relations trigonométriques Identités remarquables

Voir Aire du quadrilatère circonscriptible / Aire du quadrilatère inscriptible (doublon)

Suite	Triangles – Formules Triangle – Résolution Calcul de la longueur de l'hypoténuse Rayon du cercle inscrit
Voir	Triangles héroniens Triangle – Introduction Triangle – Index Volume du tétraèdre Formule de Héron pour le trapèze
Sites	Modèle de flottaison – triangle à aire cste et 1 angle cst – Giacometti – Illustration avec geoGebra Heronian Triangle – Wolfram MathWorld Heronian triangle – Wikipedia A055594 – Shortest side of congruent triangles with integer sides and positive integer area, ordered by longest side, then second longest side and finally shortest side. Solving mathematical problems – A personal perspective – Terence TAo
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Calcul/Heron.htm