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TRIANGLES

 

Débutants

Triangle

Résolution

 

Glossaire

Triangle

 

 

INDEX

 

Triangle

 

Résolution

Formules

Hauteur

Aire (Héron)

Projection

T 13 14 15

 

Sommaire de cette page

>>> Historique

>>> Formule de Héron

>>> Triangles héroniens

>>> Démonstration

>>> Exemple sur une application

>>> Problème

>>> Solution

>>> Vérification

 

 

 

 

 

TRIANGLES QUELCONQUES

Relation de Héron / Triangles héroniens

 

La formule de Héron permet de calculer l'aire d'un triangle quelconque en ne connaissant que les mesures des côtés. In fine un exemple pratique de calcul dans un triangle et vérification à l'aide de la formule de Héron. La formule de Héron est un cas particulier pour le triangle de la formule de Brahmagupta pour un quadrilatère cyclique (inscrit dans un cercle).

 

 

 

Historique

Héron d'Alexandrie (1er siècle de notre ère) calcule l'aire de différents triangle dont le (6, 7, 8) qui donne A² = 720. Il lui faut calculer la racine.

Cette formule est sans doute antérieure, mais Héron en donne une démonstration dans Métriques et dans Traité de la Dioptre.

Vers 600, Bramahgupta caractérise les triangles héroniens.

Au IXe siècle, Mohammed, Ahmed et Alhasan fournissent une démonstration dans le Livre des trois frères arabes. Le célèbre Al-Khwarizmi décrit aussi cette méthode en 820. Exemple illustré par le triangle (13, 14, 15) dont la hauteur et l'aire sont rationnelles.

Fibonacci  (1175-1250) reprend cette formule et sa démonstration dans Géométrie pratique (1220).

Newton en 1707 et Euler en 1747 et d'autres chercheront à trouver d'autres démonstrations.

 

 

Formule de Héron

Périmètre du triangle

p = a + b + c

s = ½ p = ½ (a + b + c)

 

Aire du triangle

 



Autres manières de l'écrire

 

Attention au carré et au signe moins signalés en couleur

 

 

 

Formulation d'Euler

A² =1/16 (a + b + c)(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)

A² = 1/16 (2a²b² + 2a²c² + 2b²c² – a4 – b4 – c4)

 

Ci-dessous, avec a, b et c par ordre croissant:   

 

Formule pour les calculs avec calculette dans un triangle avec petits angles. Mettre toutes les parenthèses.

 

 

Autres formules

Formule découverte par les Chinois, publiée en 1247.

 

 

Formule avec:

- les médianes (m, m' et m") et leur demi-somme (M);

- l'inverse des hauteurs (k = 1/h, k' et k") et  la demi-somme de ces inverses (K).

 

Formule avec les médianes

 

Formule avec les hauteurs

Attention, inverse

des hauteurs

Formules avec les angles

 

D est le diamètre du cercle circonscrit

 

 

 

 

Triangles héroniens: A² = s (s – a) (s – b) (s – c)

 

Un triangle héronien est un triangle quelconque dont les longueurs et l'aire son des nombres rationnels.

 

Exemples

 

Formules paramétriques

L’ensemble complet des triangles héroniens primitifs a été trouvé par Euler et les équations paramétriques par Brahmagupta and Carmichael.

a = n (m² + k²)

b = m (n² + k²)

c = (m + n) ( mn – k²)

s = mn (m + n)

A = kmn (m + n) (mn –k²)

 

Triangles Périmètres égal Aire (equable triangles)

Seuls cinq triangles héroniens ont une aire égale au périmètre:

(5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20)  et (9,10,17).

 

 

Voir Triangles héroniens / Le triangle (13, 14, 15) et le triangle (5, 5, 6) / Triangle entier (17, 24, 25, 26) /

Problème de Didon

 

 

 

Démonstration de la relation de Héron

Cette démonstration, sans doute la plus simple, est un exemple typique de l'emploi du théorème de Pythagore et des identités remarquables.

 

La hauteur h partage le triangle quelconque en deux triangles rectangles. Soit deux expressions du carré de la hauteur en fonction de la longueur des côtés. Le reste est une simple question de calculs algébriques.

Voir Aire du quadrilatère inscrit – relation de Brahmagupta

 

 

 

 

Application à la vérification d'un calcul

 

Problème

 

*    Un triangle quelconque qui possède un angle particulier: l'angle en C vaut 60°.

*    Nous savons par ailleurs que son aire est égale à 15 unités.

 

Trouvez les mesures des trois côtés: a, b et c.

 

 

Remarque liminaire

*    La résolution d'un triangle nécessite trois grandeurs. Ici, nous n'en avons que deux: angle et aire. La solution sera donnée à une homothétie près ("facteur de zoom")

*    Nous allons choisir (arbitrairement) de fixer x = 1. Les autres solutions se déduiront en multipliant toutes les mesures par le même facteur de zoom.

 

 

 

Le triangle A'BC est équilatéral.

L'angle en C est égal à 180/3 = 60°.

La hauteur h du triangle ACH mesure  x.

Cette valeur est déduite de la valeur de la tangente de l'angle 60°. 

 

 

Solution

Angle de 60°

tan 60° =

Hauteur du triangle

h =

Aire du triangle  Ax

Ax =

Aire du triangle  Ay

Ay =

Aire du triangle complet A

A =

Valeur de a si x = 1

a =

Hauteur

h =

h² = 

 =1,73…

3

Valeur de y

(On sait qu'en numérique c'est a – 1 = 16,32 …)

y =

Pythagore dans le triangle Ax

b² =

 

 

 

b =

Pythagore dans le triangle Ay

c² =

 

 

c =

= 16,41…

 

Illustration à l'échelle

 

 

 

 

Vérification numérique

Demi-périmètre

s =

½ (a + b + c) = ½ (17,32 + 2 + 16,41) = 17,865

Formule de Héron

A² =

s (s – a) (s – b) (s – c)

= 17,865  0,545  15,865   1,455

= 224,751496719375

Aire du triangle

A =

14,99…  OK!

Merci à Noël G. pour sa contribution

 

 

 

Suite

*    Triangles – Formules 

*    Triangle – Résolution

*    Rayon du cercle inscrit

Voir

*    Triangles héroniens

*    Triangle – Introduction

*    TriangleIndex

*    Volume du tétraèdre

*    Formule de Héron pour le trapèze

Sites

*    Heronian Triangle – Wolfram MathWorld

*    Heronian triangleWikipedia

*    A055594Shortest side of congruent triangles with integer sides and positive integer area, ordered by longest side, then second longest side and finally shortest side.

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Calcul/Heron.htm