NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Accueil

 

Sommaire

Introduction

Triangles et carrés

Définition

Types de groupes

Groupe cyclique

Nombres

 

Sommaire de cette page

>>> Structures algébriques

>>> Ensembles

>>> Groupes

>>> Anneaux

>>> Corps

 

 

 

 

NOMBRES & GROUPES,

anneaux et corps

(structures algébriques des ensembles)

 

Propriétés des nombres accompagnés des opérations.

Bilan également avec polynômes, matrices et fonctions.

 

 

Structures algébriques

 

Groupe (G, x) ou (G, )

Définition

*           Un ensemble (G)  et une opération (+ ou x), notée avec un petit rond.

*           L'opération est associative (a x b) x c = a x (b x c).

*           Éléments neutre unique e : a x e = e x a.

*           Inverse unique a-1: a x a-1 = a-1 x a  = e.

Types

*           Abélien si l'opération est commutative.

 

Anneau (A, +, x) ou (A, +, )

Définition

*           Un ensemble (A)  et deux opérations (+ et x).

*           Avec l'addition le groupe est abélien dont l'élément neutre est 0, appelé le zéro de l'anneau.

*           La multiplication est associative: (a x b) x c = a x (b x c).

*           La multiplication est distributive par rapport à l'addition:
         (a + b) x c = a x c + a x b
          a x (b + c) = a x b + a x c

Types

*           Commutatif si la multiplication est commutative.

*           Unitaire si la multiplication a un élément neutre 1, appelé unité de l'anneau.

 

Corps (K, +, x) ou (K, +, )

Définition: le corps est un anneau amélioré

*           Un ensemble K, anneau unitaire

*           L'ensemble avec la multiplication, privé du 0, est un groupe

Types

*           Commutatif si la multiplication est commutative.

 

Anglais: GroupGroupe, RingAnneau and Division ring or FieldCorps commutatif when commutative

Voir Corps et ses sous-ensembles

 

 

 

ENSEMBLES

*     Entiers naturels; Entier non négatifs (0, 1, 2 …)

* ou

*     Entiers positifs (1, 2 …) sans le 0.

*     Entiers positifs et négatifs   (… -2, -1, 0, 1, 2 …)

*     Ensemble des restes (résidus) de la division par n

*     Décimaux

*     Rationnels

*     Réels

*     Complexes

*     Un des ensembles: Z, Q, R ou C

*     Un des ensembles: Q, R ou C ( Z non compris)

*     Polynômes dans Z, Q, R ou C

M

*     Matrices dans Z, Q, R ou C

F

*     Fonctions dans R

Notes:

*     Un ensemble noté avec astérisque (*) est un ensemble privé du 0:   

*     L'opération "multiplication" est notée x ou  ou encore  ou .

Voir Ensembles de nombres

 

 

 

GROUPE ou non (notations avec les lettres classiques)

Ensembles

Opération

Groupe

Neutre

Symétrique*

Abélien

N

+

Non

 

(n'existe pas)

 

Z

+

Oui

0

a

Oui

Zn

+

Oui

0

a mod n

Oui

Q

+

Oui

0

a

Oui

R

+

Oui

0

a

Oui

C

+

Oui

0 + 0 .i

–a – i.b

Oui

K(x)

+

Oui

0

 

Oui

M

+

Oui

Matrice nulle

 

Oui

F

+

Oui

Fonction nulle

 

N

x

Non

 

(n'existe pas)

 

Z ou Z*

x

Non

 

(n'existe pas)

 

Zn*

x

Non

 

(n'existe pas)

 

K(x)*

x

Non

 

 

 

Q ou R

ou C

x

Non

 

(0 n'est pas inversible)

 

P*

x

Non

 

 

M*

x

Non

 

 

Q* ou R*

x

Oui

1

1/a

Oui

C*

x

Oui

1

1/z

Oui

F*

x

Oui

Fonction constante

(E)

Oui

Ensemble des permutations de E

 

 

Remarques

* Le symétrique s'appelle opposé pour l'addition et inverse pour la multiplication.

*     Les deux ensembles avec la multiplication (N, x)  et (Z, x) ne sont pas des groupes car, dans ces ensembles, un nombre n'a pas d'inverse.

*     Il faut englober les fractions de Q ou R pour avoir les inverses des nombres 1/a (Ex: a = 2 => inverse =1/2 =0,5).

 

 

ANNEAU

Ensembles

Opérations

Anneau

Commentaires

Z

+ , x

Oui

Les ensembles (Z,+, x) sont des anneaux commutatifs et unitaires.

L'anneau des entiers.

K

+ , x

Oui

Les ensembles (K,+, x) sont des anneaux commutatifs et unitaires.

K (x)

+ , x

Oui

Les ensembles (K(x) ,+, x) sont des anneaux commutatifs et unitaires.

M

+ , x

Oui

Les ensembles (M ,+, x) sont des anneaux non-commutatifs et unitaires.

F

+ , x

Oui

Les ensembles (F ,+, x) sont des anneaux non-commutatifs et unitaires.

 

 

 

CORPS

Ensembles

Opérations

Anneau

Commentaires

Z

+ , x

Non

 

R*

+ , x

Oui

Le corps des réels.

K'

+ , x

Oui

Les ensembles (K',+, x) sont des corps commutatifs.

K' (x)

+ , x

Non

 

M

+ , x

Non

 

F

+ , x

Oui

Les ensembles (F ,+, x) sont des corps

 

 

 

 

 

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*         Résumé sur les structures algébriques des ensembles avec opérations (.pdf)

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