NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Groupe – Définition

Symétrie

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2D - Papier peint

3D - Cristallographie

 

Sommaire de cette page

>>> Les  symétries du triangle

>>> Les  symétries du carré

>>> Les  symétries du polygone régulier

>>> Groupe

 

                                                                                                                            

 

 

 

SYMÉTRIES et GROUPES

 

Exemples géométriques avec les symétries des triangles équilatéraux, des carrés et des polygones réguliers.

 

 

 

 

Les  symétries du triangle

 

*    Prenons un triangle   équilatéral.

*    Cherchons tous les cas possibles de modifications sans changer la forme du triangle:

Il y en 2 par rotation de 120° et

Il y en a 3 par symétrie (miroir) par rapport à chacune des hauteurs.

*    Total 6 pour un triangle à 3 côtés.

 

 

*    Avec les noms de baptême indiqués ci-dessus:

*    m une rotation de 120° dans le sens des aiguilles d'une montre;

*    p une réflexion par rapport à une droite horizontale passant par le centre.

*    Voyons toutes les combinaisons d'opérations deux à deux. L'opération résultante est l'une des opérations initiales. On note également la formation de sous-groupes (en coloré).

 

Groupe diédral d'ordre 6

 

*    Trois rotations de 120° redonnent la configuration de départ: m3 = 1.

*    De même pour deux réflexions par rapport à une ligne horizontale: p² = I.

*    Et aussi pour deux réflexions par rapport à une diagonale: (mp) (mp) = 1.

 

 

 

 

Les  symétries du carré

 

*    Prenons un carré.

*    Cherchons tous les cas possibles de modifications sans changer la forme du carré:

Il y en 3 par rotation de 90°; et

Il y en a 4 par symétrie par rapport à chacune des médianes et diagonales.

*    Total 8 pour un carré à 4 côtés.
 

 

Groupe diédral d'ordre 8

 

*    Quatre rotations de 90° redonnent la configuration de départ: m4 = 1.

*    De même pour deux réflexions par rapport à une ligne horizontale: p² = I.

*    Et aussi pour deux réflexions par rapport à une diagonale: (mp) (mp) = 1.

 

 

 

Les  symétries du polygone régulier

 

*    Un polygone régulier à n côtés forme un groupe de symétrie à 2n éléments.

*    En termes mathématiques ces groupes sont dits diédraux d'ordre 2n.

Avec mn = I  p² = I et (mp) (mp) = I.
 

Suite en  Symétrie des polygones

 

 

GROUPE – Caractéristiques

 

*    Toutes les composées possibles font parties de l'ensemble des éléments de départ: le groupe est fermé.

 

*    L'élément I, appliqué à une ligne ou à une colonne, redonne le même élément. C'est l'élément identité.

*    L'élément I apparaît une fois dans chaque ligne et chaque colonne. Il existe une fonction, dite inverse, qui couple deux éléments pour donner l'identité. Ceci existe pour tout couple et de manière unique.

*    Les couplages sont associatifs. On peut faire des combinaisons de couplages dans l'ordre que l'on veut.  Exemple: mmp = m(mp) = (mm)p = m²p
 

*    Ces quatre propriétés définissent un GROUPE (au sens mathématique).

 

 

 

 

 

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