NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Algèbre

 

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du 2e degré

 

Glossaire

Équations

2e degré

 

 

INDEX

Équations

 

Introduction

Résolution graphique

Solutions entières

Somme et produit

Résolution simple

Nombres

Historique

Résolution générale

Applications

 

Sommaire de cette page

 

>>> Analogie géométrique

>>> Résolution géométrique

>>> Variante en croix

>>> Interprétation géométrique

>>> Résolution graphique de Descartes

 

 

 

 

ÉQUATIONS du 2e degré

 ou Équation quadratique

 

 Voyez cette résolution graphique (qu'elle est belle ! ). Bien comprise elle révèle le secret de la résolution de l'équation du deuxième degré.

 

 

 

 

ANALOGIE GÉOMÉTRIQUE

 

*      Nous partons de l'équation:  x² + bx  = c

*      Notre défi:

*       trouver un carré x² tel que

*       associé au rectangle b.x,

*       la surface totale soit c.

 

 

*      L'astuce de la démonstration figurative consiste à couper le rectangle en deux sur lequel on va pour former un nouveau carré plus grand.

 

 

 

 

 

RÉSOLUTION – Géométrique

 

*      Les anciens avaient imaginé une méthode graphique pour résoudre l'équation du deuxième degré x² + bx = c

 

 

*      Sur la figure présentée ci-dessus, on fait basculer un demi-rectangle (flèche bleue) en s'aidant du dessin du carré de côté b/2.

 

*      La surface de l'équerre est la somme de trois surfaces:

x² + x.b/2 + x.b/2 = x² + bx = c

Effectivement la surface de l'équerre vaut c.

 

*      La surface de cette équerre est aussi égale à celle du grand carré diminuée de celle du carré vert:

c = (x + b/2)2 – (b/2)2

*      Qui devient:

(x + b/2)² = c + (b/2)²

 

 

*      Nous obtenons un carré incluant x qui vaut une constante. Ce qui est facile à calculer.

 

Exemple

x² + 2x = 8

Avec notre formule:

(x + 2/2)² = 8 + (2/2)² = 9

(x + 1) = 3

x = 2

Idée

*      Cette méthode graphique qui consiste à matérialiser des carrés est la base de la résolution générale de ce type d'équations.

 

 

 

 

Variante en croix

 

*      Au lieu de prendre la moitié du côté b, nous prenons le quart. Ce qui fait apparaître une forme en croix.

x² + 4 x.b/4 =  (x + 2b/4)² – 4 b²/4²

x² + b.x = c = (x + b/2)² – b²/4

 

 

 

 

INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE

 

*      Plus généralement et en géométrie analytique, les solutions de l'équation du second degré, lorsqu'elles sont réelles, représentent les abscisses des points d'intersection avec l'axe des abscisses.de la parabole

y = ax² + bx + c

 

*      Selon que b² – 4 ac est positif, nul ou négatif, il existe deux, un ou aucun point d'intersection.
 

Voir  Illustration

 

 

La célèbre résolution graphique de Descartes

 

Équation

x² – ax – b² = 0

ou

x² = ax + b²

avec a positif

 

Explications

 

 

Illustration

 

 

Rapprochement avec la solution du cas général

 

Voir Descartes / Solution équation du second degré

 

 

 

 

 

Suite

*   Solutions entières

*    Autre exemple  et notations anciennes

*    Voir haut de page

Voir

*    Algorithme d'Héron

*    Équations en poèmes

*    Géométrie – Index

*    Méthode de Newton

*    Système d'équations – Somme100

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