NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 20/02/2016

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

Algèbre

 

Débutants

Équations

ÉQUATIONS

du 2e degré

 

Glossaire

Équations

2e degré

 

 

INDEX

Équations

 

Introduction

Résolution graphique

Solutions entières

Somme et produit

Résolution simple

Nombres

Historique

Résolution générale

Applications

 

Sommaire de cette page

 

>>> Somme et produit

>>> Surface et périmètre

 

 

 

 

ÉQUATIONS du 2e degré

 Somme & Produit

 

Trouvez deux nombres dont on connait la somme et le produit de deux nombres ?

Voir Somme et produit

 

 

 Devinette

Quels sont les couples de nombres entiers x et y tels que:

Solution

 

 

 

 

2 + 2 = 4

2 x 2 = 4

 

11 + 1,1 = 12,1

11 x 1,1 = 12,1

*  Exemple de solution pour S = P = 4

 

 

*  Exemple de solution pour S = P = 12,1

 

 

SOMME ET PRODUIT – Calculons

la somme et le produit des racines

*       Équation:

ax² + bx + c = 0

*       Discriminant:

 = b² – 4ac

*       Racines:

*       S = Somme des racines.

S = x1 + x2

= –b/2a –  /2a –b/2a + /2a

= –b / a

*       P = Produit des racines.

P = x1 . x2

= (–b/2a – /4a²) (–b/2a + /4a²)

= (–b/2a)² – (/2a)²

= b²/4a² – /4a²

= b²/4a² – b²/4a² + 4ac/4a²

= c / a

*       Équation en divisant par a (non nul):

x² + bx/a + c/a = 0

*       Équation équivalente à celle du départ:

x² – Sx + P = 0

*       Exemple:

a  + b = 7    &    a . b = 10

est solution de

x² – 7x + 10 = 0

 

 

SOMME ET PRODUIT – Recherchons

les racines de cette nouvelle équation

*       Équation:

x² – Sx + P = 0

*       Appelons s = ½ S.

*       Les racines sont:

x1 = s + (s² – P)

x2 = s – (s² – P)

*       Remarque: on observe une symétrie autour de s = S/2.

x1 = s + t

x2 = s – t

*       Leur somme:

x1 + x2 = 2s = S

*       Leur produit:

x1 . x2 = s² (s² P) = P

 

SOMME ET PRODUIT – Exemple

*       Somme et produit:

S = a + b = 7

P = a . b = 10

*       Solution de:

x² – 7x + 10 = 0

*       Calcul sous radical:

S² – P = (7/2)² – 10

         = 49/4 – 40/4

         = 9/4

*       Valeur de ce radical:

(S² P) = (9/4) = 3/2

*       Racines:

*       Les deux nombres dont la somme est 7 et le produit 10 sont 2 et 5

x1 = S + (S² – P) = 7/2 + 3/2 = 5

x2 = S  (S² – P) = 7/2 – 3/2 = 2

 

 

SOMME ET PRODUIT – Exemple

de raisonnement avec imaginaires

*       Données

S = 2  (soit s = 1)

P = 4

*       Équation

x² – Sx + P = 0

x² – 2x + 4 = 0

*       Changeons d'inconnue en exploitant la remarque ci-dessus

x1 = s + t = 1 + t

x2 = s – t = 1 – t

*       Le produit devient

x1 . x2 = (1 – t)(1 + t) = 1 – t²

*       Or, nous connaissons la valeur du produit

P = 4

*       La nouvelle équation devient

1 – t² = 4

t² = -3

*       Il faut se résoudre à utiliser les imaginaires avec i² = -1

t² = 3i²

t1 =   i3

t2 = – i3

*       Drôles de racines!

x1 = 1 + i3

x2 = 1 I3

*       Pourtant leur somme donne

x1 + x2 = 2

*       Et le produit

x1 . x2 = 1 3i² = 1 + 3 = 4

*       Il existe bien deux nombres dont la somme est 2 et le produit 4, mais ils sont tous les deux complexes (une partie est imaginaire).

 

Suite en Somme des inverses et généralisation somme et produit 

 

 

  

alerte.jpg   SURFACE ET PÉRIMÈTRE

 

*      En algèbre:

Somme et produit dans l'équation du deuxième degré

 

 

*      En géométrie:

Surface = produit, alors que

Périmètre = double de la somme

 

Alors attention à cette autre notation impliquant un facteur 2 

Si S* = Surface (qui est un produit) et,

     P* = Périmètre (qui est une somme).

 

La formule devient:

x.y = P = S*

2 (x + y) = 2S = P*

x² – P*x / 2 + S* = 0

 

Voir  Problème babylonien

 

 

Devinette – Solution

 

Quels sont les trois couples de nombres entiers x et y tels que  le produit divisé par la somme = K.

 

 

Toutes les réponses données à droite sont les seules possibles.

 

Évidemment, il existe toujours une solution du type:

 

Par contre, pour trouver les autres, ce n'est pas évident par calcul.

 

 

 

 

 

 

 

Table des couples (n et m) pour K de 2 à 20

Retour

 

 

 

 

Suite

*    Exemple de somme et produit

*    Différences de carrés

*    Résolution simple

*    Somme et produit divisibles

*    Autres sommes = produits

*    Voir haut de page

Voir

*    Algorithme d'Héron

*    Équations en poèmes

*    GéométrieIndex

*    Méthode de Newton

*    Quotient et différence

*    Somme fois produit des chiffres

*    Système d'équations – Somme100

Cette page

*    http://villemin.gerard.free.fr/ThNbDemo/Eqa2dSP.htm