NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Calculs avancés

 

Débutants

Calcul

MÉTHODE DE NEWTON

 

Glossaire Opérations

 

 

INDEX

 

Calcul 

 

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Approximations successives

>>> Calcul

>>> Représentation graphique

>>> Formule de récurrence

>>> Calcul de Newton

 

 

 

 

 

MÉTHODE DE NEWTON

 

Comment trouver la racine d’une équation ?

Plusieurs méthodes :

 

*    résoudre l’équation algébriquement,

*    dessiner le graphe de l’équation,

*    trouver des approximations successives,

*    etc.

 

C’est cette dernière voie que Newton a explorée.

C’est la méthode dite aussi de la TANGENTE.

 

 

 

Approche

 

*    Visualisons quelques courbes simples, et

Remarquons les points d’intersection avec l’axe des x.

 

Courbes

y = k . x² – x 

 

Visualisation des racines de

kx² – x  = 0

 

*    On lit la valeur des racines

lorsque les courbes coupent l’axe des x.

 

On note:

Équation du 2e degré: 2 racines.

 

 

Équations

Racines

  x = 0

0

1

2x² x = 0

0

0,5

3x² x = 0

0

0,333…

 

 

 

Approximations successives

 

Idée

*    Je ne connais pas la racine x, mais,
Je sais qu’elle est voisine de r.

*    L’écart est donc :

x – r = e

ou

x = r + e

 

Simple !

Je remplace x par sa nouvelle valeur et,

 

Astuce ! ! !

Je calcule en négligeant les tous petits écarts.

 

 

 

Exemple

 

Numérique

Algébrique

*   Équation

3x² – x = 0

3x² – x = 0

*   Racine approximative

r = 1

r

*   Avec

x = 1 + e

x = r + e

*   On remplace x par sa nouvelle valeur

3 (1 + e)² – (1 + e) = 0

3 + 6 e + 3 e² – 1 – e = 0

3 e² + 5 e + 2 = 0

3 (r + e)² – (r + e) = 0

3r² + 6 re + 3 e² – r – e = 0

3 e² + e(6r – 1) + 3r² – r = 0

*   Ah ! une équation du 2e degré !

*   Certes, mais e est petit ; Et encore plus petit ; On néglige

5 e + 2 = 0

e = – 2/5

= – 0,4

e = – (3r² – r) / (6r – 1)

*   On avait donné comme racine approximative r = 1 avec e comme erreur

*   On vient d’estimer une valeur approximative de e avec une erreur e1

x = r + e = 1 + e

= 1 – 0,4 + e1

= 0,6 + e1

x = r  – (3r² – r) / (6r – 1)

 

*   Remplaçons, à nouveau, cette valeur approchée de x dans l’équation de départ

3 (0,6 + e)² – (0,6 + e) = 0

1,08 + 3,6 e + 3 e² – 0,6 – e = 0

3 e² + 2,6 e + 0,48 = 0

 

*   Nouvelle valeur de e, valeur approchée, car nous allons encore négliger

2,6 e + 0,48 = 0

e = – 0,48 / 2,6

= – 0,18

 

*   Deuxième valeur approchée de la racine

r2 = 0,6 – 0,18

= 0,42

r2 = r1 – (3r1² – r1 ) / (6r1 – 1)

Voir Équation du second degré

 

 

 

CALCUL

*    On vient de voir la mécanique des approximations successives. On a même une formule de récurrence.

*    Voyons le résultat de la méthode:

*    Trouve-t-on la racine ?

*    Faut-il beaucoup d’itérations ?

*    Quelle est l’importance de la valeur de la racine initiale ?

 

Racine approchée

et écart avec la racine exacte

 

Itération

Racine

Écart

1

0, 60000

0,3

2

0, 41538

0,08

3

0, 34687

0,01

4

0, 33384

0,000 5

5

0, 33333

0,000 000 8

 

Après 5 itérations, on obtient une précision de 10-6.

 

 

Vitesse de convergence

en fonction de la racine initiale (semence)

Itération

Écart

r = 1

r = 0,5

r = 0,3

1

3

10-1

10-2

2

10-1

10-2

10-4

3

10-2

10-4

10-8

4

10-3

10-8

10-15

5

10-6

10-15

10-20

6

10-11

10-19

 

7

10-19

 

 

 

*    Évident !  Plus la racine initiale est proche de la valeur exacte, plus la convergence est rapide.

 

 

 

Représentation graphique

 

Graphe

*    La courbe en bleu donne le graphe de 3x² – x

*    On montre les racines approchées successives 1 ; 0,6 ; 0,42 ; 0,34

et les valeurs de y correspondantes.

 

 

La principale chose à remarquer :

*    Chaque fois que l’on a calculé une nouvelle racine approchée,on négligé le second ordre (terme en ). On a conservé les termes du premier degré (en e).
On sent qu’il y a de la dérivée de fonction là dedans, de la tangente…
En fait, avec la valeur x = 1, on a trouvé :

Une valeur de y = 2 et un écart de 0,4.

 

Explications

*    L’hypoténuse de ce triangle rectangle à une pente de 2 / 0,4 = 5.
Or la  courbe de départ étant :  y = 3x² – x , sa dérivée est y’ = 6x – 1
Et la valeur de la dérivée en x = 1 est égale à 5.

=> Cette hypoténuse est la tangente à la courbe en ce point.

 

Vu autrement

*    À chaque nouvelle itération, on tient compte du triangle jaune sous la courbe ;

on néglige l’espace restant en blanc sous la courbe.

 

 

 

Formule de récurrence

 

*    À la lumière de cette observation, rapprochons :

 

*    La fonction

y = 3x² – x

*    Sa dérivée

y’ = 6x – 1

*    Et la formule de calcul trouvée

 

*    Soit la formule de récurrence:

 

 

 

 

 

Calcul de Newton

 

*    Newton a fait connaître sa méthode (vers 1670) en utilisant la fonction

y = x3 – 2x – 5  et la racine initiale 2.

 

 

Résolution

 

Numérique

Algébrique

*   Équation

x3 – 2x – 5 = 0

x3 – 2x – 5 = 0

*   Racine approximative

r = 2

r

*   Avec

x = 2 + e

x = r + e

*   On remplace x

(2+e)3 – 2(2+e) – 5 = 0

e3 + 6 e² 12 e + 8 – 4 –2 e – 5 = 0

e3 + 6 e² + 10 e – 1 = 0

(r+e)3 – 2(r+e) – 5 = 0

e3 + 3 re² + 3r²e + r3    2 e – 2r – 5 = 0

e3 + 3 re² + (3r²-2)e + r3  – 2r – 5 = 0

 

*   On néglige degré > 1

10 e – 1 = 0

e = 0,1

(3r²-2)e + r3  – 2r – 5 = 0

e = (r3  – 2r – 5)  / (3r²-2)

*   Valeur approximative de e avec une erreur e1

r1 = r + e = 2 + e

    = 2 +0,1 + e1

    = 2,1 + e1

r1 = r (r3  – 2r – 5)  / (3r²-2)

    = r –  y /  y’

 

Calcul

Itération

Racine

1

2, 10000000000000000000000000000

2

2, 09456812110418521816562778272

3

2, 09455148169819930288382370354

4

2, 09455148154232659149606484715

5

2, 09455148154232659148238654058

Voir Équation du troisième degré

 

 

 

 

Voir aussi

*    Algorithme de Héron

*    Calcul de racine de deux

Voir

*    Algorithme de Héron

*    Algorithmes

*    Calcul des carrés

*    Calcul mental

*    Équation - Glossaire

*    Exemple par Wallis

*    Fibonacci

*    Jeux

*    Multiplications védiques

*    Newton

*    Résolution des équations

*    Théorie des nombres

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