NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Algèbre

 

Débutants

Équations

ÉQUATIONS

du 2e degré

 

Glossaire

Équations

2e degré

 

 

INDEX

Équations

 

Introduction

Résolution graphique

Solutions entières

Somme et produit

Résolution simple

Nombres

Historique

Résolution générale

Applications

 

Sommaire de cette page

>>> CAS où a = 1

>>> Résolution – Cas général

>>> Bilan: Racines réelles ou complexes

>>> Exemples

>>> Solutions de -2 à +2

>>> Factorisation

 

 

 

 

ÉQUATIONS du 2e degré

 ou Équation quadratique

 

L'équation du deuxième degré possède deux racines, réelles ou complexes. Comment les calculer?

 

 Voyez la résolution graphique (qu'elle est belle ! ). Bien comprise elle révèle le secret de la résolution de l'équation du deuxième degré.

 

 

 

CAS où a = 1

Équation:

x² + bx + c = 0

L'idée consiste à transformer le début de l'équation en un carré.

x² + 2kx + k² = (x + k

Pour obtenir la ressemblance sur les deux premiers termes, nous devons écrire:

b = 2k

k = b/2

Remplaçons.

 

Il est bien tentant de remplacer le début de cette équation par sa valeur. De sorte que le seul x qui reste est sous une expression au carré.

x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)²

 

 

   – c     + (b/2)² = (x + b/2)²

 

(x + b/2)² = (b/2)² – c 

Posons R² la valeur du carré:

 

Et ses deux racines:

 

Soit les deux valeurs de x:

(x + b/2)² = = (b/2)² – c 

 

x1 + b/2 = R  ou x2 + b/2 = – R 

 

x1 = R b/2   ou x2 = R b/2

En redéveloppant et sous la forme habituelle:

 

 

 

Exemple

Équation:

x² – 2x – 8  = 0

Expression sous radical (b/2)² c

(2/2)²  + 8 = 9 = 3²

Racines

x1 = 2/2 + 3 = 4

x2 = 2/2 – 3  = – 2

Illustration

 

Racines symétriques autour du pivot - b/2 = 2/2 = 1

 

 

RÉSOLUTION - cas général

 

Équation (a  0):

 

On divise d'abord par a.

L'idée est la même que celle indiquée ci-dessus, en revenant au cas a = 1.

 

Il s'agit de dégager un carré avec x et de laisser un terme constant. Pour cela on ajoute une quantité adéquate que l'on soustrait aussitôt.

 

Avec les trois premiers termes, formons un carré en utilisant une identité remarquable classique.

 

Donnons les noms h et k aux quantités fractionnaires comme indiqué.

À partir de là, la résolution est simple. Il existe deux solutions: la racine positive et la racine négative.

 

 

Attention!

Cette extraction de racine n'est possible que si k² est positif.

Et, en remarquant que 4 a² est toujours positif, comme tout carré.

 

 

Cette expression est importante, puisqu'elle détermine si les racines existent ou non.

Elle est appelée le discriminant de l'équation et notée avec la lettre grecque delta.

 

En reprenant les coefficients d'origine (en vert), voici l'écriture des deux racines, symétriques par rapport au nombre –b/2a.

 

 

Racines en fonction de c

 

Rappel sur le déterminant:

 

Expression de c

 

Revenons aux racines et multiplions numérateur et dénominateur par la même quantité.

 

 

 

BILAN – Racines réelles ou complexes

Voir Nombres complexes et valeur de i  / Résolution graphique

 

 

EXEMPLES

Exemple 1

 

D > 0

 

x² – x – 1 = 0

 

 = (–1)² – 4.1.( –1) = 5

 

x = (1    Ö5) / 2

 

Qui est le nombre d'or  

Exemple 2

 

D = 0

 

x² – 2x + 1 = 0

 

qui peut s'écrire: (x – 1)² = 0

et a pour solution: x = 1.

 Exemple 3

 

D < 0

 

x² – 2x + 2 = 0

 = (–2)² – 4.1.2 = –4 = 4i²

 

x = (2    2i) / 2

   = 1    i

 

 

 

Solutions pour {a, b, c} = {-2 à +2}

 

Quelques équations résolues. En bleu, les racines complexes.

Entraînez-vous à calculer ces racines.

 

La seconde racine se déduit de la première en inversant le signe du second terme. Les solutions avec a négatif se déduisent de ce tableau en inversant les signes.

 

Exemples:

 

 

 

Factorisation

 

*      Les deux racines permettent la factorisation du polynôme, objet de l'équation.
Ici, les deux racines sont: {1,2}.

*      Remarquez que b = 3  est la somme des racines et  c = 2 est le produit. >>>

 

x² – 3x + 2 = 0

 

x² – 3x + 2 = (x – 1) (x – 2)

 

 

 

 

 

Suite

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*    Équations en poèmes

*    Méthode de Newton

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*    Système d'équations – Somme100

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