équations du deuxième degré - résolution générale

NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 06/11/2021 Orientation générale DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	Algèbre
Débutants Équations	ÉQUATIONS du 2^e degré			Glossaire Équations 2^e degré
INDEX Équations	Introduction	Résolution graphique	Solutions entières
	Somme et produit	Résolution simple	Nombres
	Historique	Résolution générale	Applications
		Sommaire de cette page >>> CAS où a = 1 >>> Résolution – Cas général >>> Bilan: Racines réelles ou complexes >>> Exemples >>> Solutions de -2 à +2 >>> Factorisation

ÉQUATIONS du 2^e degré

ou Équation quadratique

L'équation du deuxième degré possède deux racines, réelles ou complexes. Comment les calculer?

S'il vous plait, la solution, tout de suite! >>>

Voyez la résolution graphique (qu'elle est belle ! ). Bien comprise elle révèle le secret de la résolution de l'équation du deuxième degré.

CAS où a = 1
Équation:	x² + bx + c = 0
L'idée consiste à transformer le début de l'équation en un carré.	x² + 2kx + k² = (x + k)²
Pour obtenir la ressemblance sur les deux premiers termes, nous devons écrire:	b = 2k k = b/2
Remplaçons. Il est bien tentant de remplacer le début de cette équation par sa valeur. De sorte que le seul x qui reste est sous une expression au carré.	x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)² – c + (b/2)² = (x + b/2)² (x + b/2)² = (b/2)² – c
Posons R² la valeur du carré: Et ses deux racines: Soit les deux valeurs de x:	(x + b/2)² = R² = (b/2)² – c x₁ + b/2 = R ou x₂ + b/2 = – R x₁ = R – b/2 ou x₂ = – R – b/2
En redéveloppant et sous la forme habituelle:

Exemple
Équation:	x² – 2x – 8 = 0
Expression sous radical (b/2)² – c	(–2/2)² + 8 = 9 = 3²
Racines	x₁ = 2/2 + 3 = 4 x₂ = 2/2 – 3 = – 2
Illustration Racines symétriques autour du pivot - b/2 = 2/2 = 1

RÉSOLUTION - cas général

Équation (a 0):

On divise d'abord par a.

L'idée est la même que celle indiquée ci-dessus, en revenant au cas a = 1.

Il s'agit de dégager un carré avec x et de laisser un terme constant. Pour cela on ajoute une quantité adéquate que l'on soustrait aussitôt.

Avec les trois premiers termes, formons un carré en utilisant une identité remarquable classique.

Donnons les noms h et k aux quantités fractionnaires comme indiqué.

À partir de là, la résolution est simple. Il existe deux solutions: la racine positive et la racine négative.

Attention!

Cette extraction de racine n'est possible que si k² est positif.

Et, en remarquant que 4 a² est toujours positif, comme tout carré.

Cette expression est importante, puisqu'elle détermine si les racines existent ou non.

Elle est appelée le discriminant de l'équation et notée avec la lettre grecque delta.

En reprenant les coefficients d'origine (en vert), voici l'écriture des deux racines, symétriques par rapport au nombre –b/2a.

Racines en fonction de c

Rappel sur le discriminant:

Expression de c

Revenons aux racines et multiplions numérateur et dénominateur par la même quantité.

Voir Déterminant / Forme canonique

BILAN – Racines réelles ou complexes

Notez: si le discriminant est négatif, il n'y a pas de racines; ce qui veut dire que la fonction ne coupe jamais l'axe des x.
Si a est positif, elle est positive; si a est négatif, elle est négative >>>

Voir Nombres complexes et valeur de i / Résolution graphique / Complexes en terminales

EXEMPLES

Exemple 1

x² – x – 1 = 0

= (–1)² – 4.1.( –1) = 5

x = (1 5) / 2

Qui est le nombre d'or

Exemple 2

x² – 2x + 1 = 0

qui peut s'écrire: (x – 1)² = 0

et a pour solution: x = 1.

Exemple 3

x² – 2x + 2 = 0

= (–2)² – 4.1.2 = –4 = 4i²

x = (2 2i) / 2

= 1 i

Graphe de ces fonctions

Le graphe du haut présente les fonctions impliquées dans les équations.

en rouge celle avec discriminant positif; la courbe coupe l'axe des x en deux points, racine de f(x) = 0.

en vert celle avec discriminant nul; la courbe tangent l'axe des x une racine double pour f(x) = 0

en jaune celle avec discriminant négatif; la courbe ne coupe plus l'axe des x aucune racine pour f(x) = 0

Le graphe du bas présente les mêmes fonctions mais avec x² en négatif (a = –1).

en rouge, la courbe rouge ne coupe pas l'axe des x. Le discriminant vaut:

= –1 – 4 (–1)( –1) = – 5

en vert:

= –2 – 4 (–1)( 1) = 2

en jaune:

= –2 – 4 (–1)( 2) = 6

Que a de x² soit positif ou négatif, si le discriminant est négatif, la courbe ne coupe pas l'axe des x; f(x) = ax² + bx + c n'a pas de racines.

Solutions pour {a, b, c} = {-2 à +2}

Quelques équations résolues. En bleu, les racines complexes.

Entraînez-vous à calculer ces racines.

La seconde racine se déduit de la première en inversant le signe du second terme. Les solutions avec a négatif se déduisent de ce tableau en inversant les signes.

Exemples: