NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 10/04/2018 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
	DIVISIBILITÉ
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INDEX Divisibilité	Formes	Puissance	Fermat	Wilson
		Forme en n^k + k^n	Forme en n^x ± y
		Sommaire de cette page >>> Divisibilité des nombres en puissance >>> Nombres en puissance >>> Nombres parfaits >>> Défi de Frénicle à Fermat >>> Divisibilité de différence de puissances

Divisibilité des PUISSANCES

On s’intéresse aux propriétés de divisibilité des puissances des nombres.

Sujet productif car, en découlent :

les nombres de Fermat

les nombres de Mersenne

les nombres de Carmichael

le petit théorème de Fermat

les nombres parfaits

etc.

Devinette en puissance

A, B et C sont des chiffres tels que:

Trouvez ces trois chiffres.

Solution

Divisibilité des nombres en puissance
Un nombre n à la puissance P divisé par n donne un reste nul. On écrit: Voir plus simple en mod et ses applications Premières colonnes du tableau (mod 2) Un nombre pair (n = 2k) à la puissance P est divisible par 2 (= 0 mod 2). Un nombre impair (n = 2k + 1) à la puissance P, divisé par 2, donne un reste égal à 1.	Colonnes suivantes du tableau (mod 3) Un nombre divisible par 3 (n = 3k) à la puissance P est divisible par 3. Si le reste du nombre est 1, le reste de la puissance quelconque est aussi 1 pour la division par 3. Si le reste du nombre est 2, le reste de la puissance est 2 pour les puissances impaires et 1 pour les paires: alternativement: [2, 1].

Voir Petit théorème de Fermat pour une autre vision de la divisibilité des puissances

NOMBRES en PUISSANCE – Théorèmes
2^n + 1	est composé	si n est divisible par un nombre impair	Fermat
2^n – 1	est premier	si n est premier (nécessaire, mais non suffisante)	Fermat
2^n – 2	est un multiple de 2n	si n est premier impair	Fermat
2^n (2^n+1 – 1)	est parfait	si (2^n+1 – 1) est premier	Euclide
2^2^^n + 1	n’est pas toujours premier		Fermat / Euler

NOMBRES PARFAITS
Tout nombre de la forme 2^n (2^n+1 – 1) est parfait si (2^n+1 – 1) est premier Euclide Calcul et vérification pour n < 12 Conclusion Pour trouver des nombres parfaits, il faut savoir reconnaître si 2^n+1 – 1 est premier.

Défi de Frénicle à Fermat
Défi Problème posé en 1640 par Frénicle (1605-1675) à Fermat: trouver un nombre parfait "qui ayant 20 lettres, ou le prochainement suivant". Le plus grand nombre parfait connu alors avait 19 chiffres. Fermat répond: "Il n'y en a aucun de 20 ni de 21 caractères". Résolution Il s'agissait de cherchez un nombre parfait entre 10^20 et 10^22. On passe de n à n – 1 pour travailler avec la formule conventionnelle des nombres parfaits. Alors, un nombre parfait s'écrit aussi bien: 2^n – 1 (2^n – 1) avec ce second facteur, un nombre de Mersenne, premier. Calcul des exposants compatibles
Limite basse telle que:	2^n – 1 (2^n – 1) = 10^20 (20 chiffres)
Négligeons le -1 face au 2^n.	2^n – 1 (2^n ) = 10^20
Passage aux logarithmes:	(n – 1) ln(2) + n ln (2) = 20 ln(10)
Calcul:	2n ln(2) – ln(2) = 20 ln(10)
Valeur de n min:
Valeur de n max:
Recherche des facteurs premiers:	2^30 – 1 = 1 073 741 823 – composé 2^31 – 1 = 2 147 483 647 – premier 2^32 – 1 = 4 294 967 295 – composé 2^33 – 1 = 8 589 934 591– composé De toute façon, l'exposant (32, 33 …) n'est pas premier, et le suivant est 37, mais il faudra attendre 61 pour que le nombre complet soit premier … 2^61 – 1 = 2305843009213693951 – premier
Recherche de nombres parfaits
Aucun nombre premier dans l'intervalle requis de n = 33 à n = 36, donc pas de nombre parfait dans cet intervalle. Candidat possible le nombre premier 37 avec 2^37 – 1= 137 438 953 471 = 223 x 616 318 177	Le cas n = 31 avec 19 chiffres était connu de Frénicle, d'où le défi pour trouver le suivant. Frénicle savait sans doute que le nombre suivant à considérer était 2^37 – 1 et que la difficulté consistait à prouver que ce nombre de Mersenne est premier. Fermat trouve la factorisation. Dans une lettre à Mersenne, il dit:" lequel j'ai pourtant trouvé (…) être divisible par 223." Raté, pas de nombre parfait à la clé. Il faut chercher plus loin.
Nombres parfaits avant et après.	2^30 (2^31 – 1) = 2,3 10^18 (19 chiffres) = 2 305 843 008 139 952 128 2^60 (2^61 – 1) = 2, 6…10^36 (37 chiffres) = 2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176 Ce nombre ne sera connu qu'en 1883 >>>

Voir Table des facteurs des nombres de Mersenne

Divisibilité de DIFFÉRENCE de PUISSANCES
Propriété Soit deux nombres x et y à la puissance p, avec p premier. Alors selon le petit théorème de Fermat: x^p – x = k . p y^p – y = h . p	Différence (x^p – y^p) – (x – y) = Kd . p La différence des puissances p, diminuée de la différence des nombres, est un multiple de p. Idem pour addition, et multiple de p² pour la multiplication. Selon l'opération
Exemple Attention, la division n'est pas toujours exacte!

Devinette – Solution

A, B et C sont des chiffres tels que:

La barre de surlignement indique qu'il s'agit des chiffres d'un nombre.

Sans cela, ce serait le produit. Alors, il existerait plusieurs solutions:

1x1¹⁺¹ ; 4 x 1 = 2²⁺²; 4 x 2 = 2²⁺²; 8 x 4 = 2⁴⁺¹ ; 9 x 1 = 3¹⁺¹.

Autres égalités du genre

Si A est un nombre:

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Suite	Fermat (petit théorème)
Voir	Puissances des nombres Nombres parfaits  Nombres et leurs puissances (parité, divisibilité par 6) Théorie des nombres – Index Calcul mental – Index Géométrie – Index
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