NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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DIVISIBILITÉ

 

Débutants

Division

Formes  particulières

 

Glossaire

Division

 

 

INDEX

 

Divisibilité

 

Formes

Puissance

Fermat

Wilson

Forme en nk + kn

Forme en nx ± y

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres en puissance

>>> Nombres parfaits

>>> Défi de Frénicle à Fermat

>>> Divisibilité de différence de puissances

 

 

 

 

 

 

Divisibilité des PUISSANCES

 

On s’intéresse aux propriétés de divisibilité des puissances des nombres.

Sujet productif car, en découlent :

*       les nombres de Fermat

*       les nombres de Mersenne

*       les nombres de Carmichael

*       le   petit théorème de Fermat

*       les nombres parfaits

*       etc.

 

 

 

Devinette en puissance

A, B et C sont des chiffres tels que:

  

Trouvez ces trois chiffres.

Solution

 

 

 

NOMBRES en PUISSANCE – Théorèmes

2n + 1

est composé

si n est divisible par un nombre impair

Fermat

2n – 1

est premier

si n est premier (nécessaire, mais non suffisante)

Fermat

2n – 2

est un multiple de 2n

si n est premier impair

Fermat

2n (2n+1 – 1)

est parfait

si (2n+1 – 1) est premier

Euclide

22^n + 1

n’est pas toujours premier

Fermat / Euler

 

 

 

NOMBRES PARFAITS

 

 

Tout nombre de la forme 2n (2n+1 – 1)  est parfait si  (2n+1 – 1)  est premier

Euclide

 

Calcul et vérification pour n < 12

 

Conclusion

Pour trouver des nombres parfaits, il faut savoir reconnaître si  2n+1 – 1 est premier.

 

 

 

 

Défi de Frénicle à Fermat

 

Défi
Problème posé en 1640 par Frénicle (1605-1675) à Fermat: trouver un nombre parfait "qui ayt 20 lettres, ou le prochainement suivant".
Le plus grand nombre parfait connu alors avait 19 chiffres.

Fermat répond: "Il n'y en a aucun de 20 ni de 21 caractères".

 

Résolution

Il s'agissait de cherchez un nombre parfait entre 1020 et 1022.

 

On passe de n à n – 1 pour travailler avec la formule conventionnelle des nombres parfaits.

 

Alors, un nombre parfait s'écrit aussi bien: 2n – 1 (2n – 1)  avec ce second facteur, un nombre de Mersenne, premier.  

 

Calcul des exposants compatibles

Limite basse telle que:

2n – 1   (2n – 1) = 1020 (20 chiffres)  

Négligeons le -1 face au 2n.

2n – 1   (2n ) = 1020  

Passage aux logarithmes:

(n – 1) ln(2) + n ln (2) = 20 ln(10)

Calcul:

2n ln(2) – ln(2) = 20 ln(10)

Valeur de n min:

Valeur de n max:

Recherche des facteurs premiers:

230 – 1 = 1 073 741 823 – composé

231 – 1 = 2 147 483 647 – premier

232 – 1 = 4 294 967 295 – composé

233 – 1 = 8 589 934 591– composé

De toute façon, l'exposant (32, 33 …) n'est pas premier, et le suivant est 37, mais il faudra attendre 61 pour que le nombre complet soit premier

261 – 1 = 2305843009213693951 – premier

Recherche de nombres parfaits

Aucun nombre premier dans l'intervalle requis de n = 33 à n = 36, donc pas de nombre parfait dans cet intervalle.

Candidat possible le nombre premier 37 avec

237 – 1= 137 438 953 471

= 223 x 616 318 177

 

Le cas n = 31 avec 19 chiffres était connu de Frénicle, d'où le défi pour trouver le suivant.

Frénicle savait sans doute que le nombre suivant à considérer était 237 – 1 et que la difficulté consistait à prouver que ce nombre de Mersenne est premier.

Fermat trouve la factorisation. Dans une lettre à Mersenne, il dit:" lequel j'ai pourtant trouvé (…) être divisible par 223." Raté, pas de nombre parfait à la clé. Il faut chercher plus loin.

Nombres parfaits

avant et après.

 

230 (231 – 1) = 2,3 1018  (19 chiffres)

=  2 305 843 008 139 952 128

 

260 (261 – 1) = 2, 6…1036   (37 chiffres)

=  2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176

Ce nombre ne sera connu qu'en 1883 >>>

Voir Table des facteurs des nombres de Mersenne

 

  

Divisibilité de DIFFÉRENCE de PUISSANCES

Propriété

 

Soit deux nombres x et y à la puissance p, avec p premier.

 

Alors selon le petit théorème de Fermat:

 

xp – x  = k . p

yp – y  = h . p

 

 

 

 

Différence

(xpyp) – (x – y) = Kd . p

 

La différence des puissances p, diminuée de la différence des nombres, est un multiple de p.

Idem pour addition, et multiple de p² pour la multiplication.

 

Selon l'opération

 

Exemple

Attention, la division n'est pas toujours exacte!

 

 

 

 

Devinette – Solution

*       A, B et C sont des chiffres tels que:

La barre de surlignement indique qu'il s'agit des chiffres d'un nombre.

Sans cela, ce serait le produit. Alors, il existerait plusieurs solutions:

1x11+1 ; 4 x 1 = 22+2; 4 x 2 = 22+2; 8 x 4 = 24+1 ; 9 x 1 = 31+1.

 

*       Autres égalités du genre

 

*       Si A est un nombre:

Retour

 

 

 

Suite

*         Fermat (petit théorème)

Voir

*         Puissances des nombres

*         Nombres parfaits 

*         Théorie des nombresIndex

*         Calcul mentalIndex

*         GéométrieIndex

DicoNombre

*         Nombre 3 367

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