NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Théorème de Fermat-Wiles

 

Débutants

Triplets de Pythagore

Cas n = 3

 

Glossaire

Puissances

 

 

INDEX

 

Puissance

 

Décomposition

 

Théorème général

Familiarisation

Démonstration

Primitif (1)

Nouveau cube (2)

PGCD (3)

Équation E223  (4)

 

Sommaire de cette page

>>> Évaluation du PGCD

>>> PGCD = 1

>>> PGCD = 3

 

 

 

 

 

Théorème de Fermat-Wiles avec n = 3

PGCD

 

Nous avons fait connaissance avec l'expression 2p (p² + 3q²). Nous savons qu'elle représente un cube, nous allons nous intéresser au PGCD des deux facteurs.

 

PGCD (2p, p² +3q²) = ? 

Premiers entre eux? Oui, mais pas la seule possibilité …

 

 

 

Évaluation du PGCD

 

Ce qu'il faut démontrer

 

*    PGCD (2p, p² + 3q²) est égal à 1 ou 3,
Sachant que p et q sont premiers entre eux et de parités opposées.

 

Démonstration

 

Soit un facteur f qui divise les deux termes.

2p           = f P

p² + 3q²  = f Q

Nous allons montrer que:

 

f de peut pas être supérieur à 3.

f ne peut pas être 2.

 f  = {1 ou 3}

p et q sont de parités opposées.

 

Rappel: un pair est de la forme 2k et

un impair 2h+1.

 

Examinons les deux cas de parité
pour p² + 3q².

 

 

 

 

 

 

 

p² + 3q² devient:

 

Premier cas

(2k)² + 3(2h+1)²

= 4k² + 3(4h² + 4h +3)

=4k² + 12h² + 12h + 9

= 2M + 9

 

Second cas

(2k+1)² + 3(2h

= 4k² + 4k + 1 + 12h²

= 2N + 1

 

Tous deux sont non divisibles par 2.

Donc f n'est pas pair, donc pas 2.

 

 

Nous savons que f n'est pas 2.

C'est donc P qui est pair.

Posons P = 2H.

Alors f divise p.

 

2p = f P                  (cf. tout en haut)

           P = 2H

2p = f (2H)  

  p = f H

Exprimons 3q² à partir de son expression du tout début.

 

3 = fQ – p²         (cf. tout en haut)

       = fQ – f²H²

       = f (Q – fH²)

Montrons que:

f n'est pas supérieur à 3.

Alors supposons qu'il le soit …

Si f n'est pas 3, il doit diviser

alors f divise q.

Bilan

f divise à la fois p et q

Or p et q sont premiers entre eux (hypothèse).

 

Supposition fausse!

f n'est pas supérieur à 3.

Donc f est égal à 3 ou … moins.

 

f n'est pas 2

f n'est pas supérieur à 3

f est égal à 3 ou aussi à 1.

 

 

Nous allons examiner ces deux cas: PGCD = 1 puis PGCD = 3.

 

Cas PGCD = 1

 

Ce que nous savons

*      2p (p² + 3q²) est un cube.
p et q sont positifs, premiers entre eux et de parités opposées.

 

Ce qu'il faut démontrer

*    Si PGCD (2p, p² + 3q²) = 1, alors il doit exister une solution plus petite:

x3 + y3 = z3  A3 + B3 = C3

 

Démonstration

 

Cette expression est un cube.

2p (p² + 3q²) = K3

Les facteurs sont premiers entre eux.

(2p, p² + 3q²) = 1

Alors, ses facteurs sont des cubes.

2p           = I3

p² + 3q² = J3

Voici pourquoi nous avions besoin de démontrer que:

PGCD (2p, p² + 3q²) = 1

 

Nous allons maintenant utiliser un théorème intermédiaire (un lemme)

Il s'agit de la résolution de

l'équation p² + 3q² = u3

À propos du second facteur, selon ce lemme il existe a et b tels que:

 

p = a3 – 9ab²

q = 3a2b – 3b3

PGCD(a,b) = 1; et

a et b de parités opposées.

Notons, pour p, une mise en facteur intéressante (différence de deux carrés):

 

p = (a3 – 9ab²)

p = a (a² – 3² . b²)

p = a (a – 3b) (a + 3b)

 

Montrons que 2a, a – 3b et a + 3b sont premiers entre eux.

a et b sont de parités opposées.

a – 3b est impair

a + 3b aussi

Donc, non divisible par 2

Si a avait un facteur commun avec l'une ou l'autre des deux sommes algébriques, il diviserait b. Ce qui est contradictoire avec nos hypothèses: (a, b) = 1.

2a est premier avec a – 3 b

                      et avec a + 3b

Supposons qu'un nombre premier k plus grand que 3 divise à la fois ces deux expressions.

 

 

 

Si k > 3 divise  a – 3b  et a + 3b

Alors, il divise a – 3b + a + 3b = 2a

et il divise a + 3b – (a – 3b) = 6b.

Ce qui est impossible car il faudrait qu'il divise 2a et 6b. Or k vaut 4 ou plus et il donc devrait diviser a et b, nombres premiers etre eux.

a – 3b  et a + 3b ne sont pas divisibles par un premier supérieur à 3, ni par 2 comme nous l'avons vu.

Reste à montrer que 3 ne divise pas ces deux expressions.

 

 

 

 

 

 

Si k = 3 divise  a – 3b  et a + 3b.

Alors, il divise a – 3b + a + 3b = 2a.

Puisqu'il divise 2a, il divise a et

aussi p = a3 – 9ab² = a(a² – 9b²).

Si k = 3 divise p, il divise aussi: p² + 3q².

On aurait: 2p et p² + 3q² divisible par 3, or ils sont premiers entre eux.

 

Donc 3 ne peut pas diviser a – 3b  et a + 3b à la fois.

 

Les conditions sont réunies pour appliquer le théorème sur le produit des cubes

I3 =  2p = 2a (a – 3b) (a + 3b)

Les facteurs sont bien PEE.

 

Dans notre expression de 2p chacun des facteurs est donc un cube.

 

2p = I3 = 2a (a – 3b) (a + 3b)

 

A3 = 2a

B3 = a – 3b

C3 = a + 3

Or cela constitue une solution de l'équation de Fermat avec n = 3.

 

A3 =  2a

B3 + C3 = a – 3b +a + 3b = 2a

  A3 = B3 + C3

Cette solution est plus petite car, tout seul,  z est plus grand que le produit des trois nouveaux cubes.

Étant tous des nombres entiers, z est plus grand qu'au moins l'un des nouveaux nombres A, B ou C.

 

(A3) (B3) (C3) = 2p

 

Or

z3 = 2p        (p² + 3q²)

z3 = (A.B.C)3 (p² + 3q²)

z   = (A.B.C)         K       avec K > 1

 

Note: au pire, avec A = B = C = p = q = 1,

z =  > A ou B ou C.

Fin de la démonstration pour PGCD = 1.

 

 

 

Cas PGCD = 3

 

 

Ce que nous savons

*    2p (p² + 3q²) est un cube.

p et q sont positifs, premiers entre eux et de parités opposées.

 

Ce qu'il faut démontrer

*    Si PGCD (2p, p² + 3q²) = 3, alors il doit exister une solution plus petite:

x3 + y3 = z3  A3 + B3 = C3

 

Démonstration

 

Montrons que:

Si       PGCD (        2p,  p² + 3q²) = 3

Alors PGCD (3² . 2 s,  3s² + q²) = 1

avec p = 3s.

Première remarque sur p et q.

 

PGCD (2p, p² + 3q²) = 3

3 divise 2p donc p,

3 divise p² et 3q.

 

3 ne divise pas q car p et q sont premiers entre eux.

Alors:

 

Disons que p = 3s, alors:

2p (p² + 3q²) = 6s (9s² + 3q²)

                    = 3² . 2s (3s² + q²)

(3s² + q²) n'est pas divisible par 2.

 

 

 

 

 

 

 

3 ne divise pas q donc pas (3s² + q²),

car 3s² est divisible et

il faudrait que q le soit, or il ne l'est pas.

 

p = 3s  p et s sont de même parité.

(car: 3 fois pair = pair et 3 fois impair = impair).

Or, q est de parité opposée à p et donc aussi avec s.

 

En analysant les deux cas possibles:

(3I +P²= I et 3P+I² = I):

3s + q²  est toujours impair, donc non divisible par 2.

 

Les facteurs de notre produit

(3² . 2s) et (3s² + q²)

sont premiers entre eux.

 

 

 

Nous avons (hypothèses): (p, q) = 1

Et p = 3s et aussi 3 ne divise pas q

  (s, q) = 1

 

Conséquences,

(s, q²) =1

(s, s² + q²) = 1

Et, en sachant que q n'est pas divisible ni par ni par 3:

(3² . 2 s, 3s² + q²) = 1

 

 

Les conditions sont réunies pour appliquer le théorème sur le produit des cubes

K3 = 2p (p² + 3q²) = (3² . 2s) (3s² + q²)

Les facteurs sont bien PEE.

 

Notez qu'ici il s'agit de K alors que ci-dessus nous avions pris I.

Donc, deux nouveaux cubes.

 

2p  (p² + 3q²) = 3² . 2 s  (3s² + q²) = K3

 

3² . 2 s  et  3s² + q² sont des cubes.

 

Nouvelle équation du type E223 avec ses solutions.

 

Note: nous avions déjà une équation de ce type qui nous a donné les pq; en cascade, en voici une nouvelle en ab.

 

3s² + q² = u3

avec (q, s) = 1 et de parités opposées.

q = a3 – 9ab

s = 3a2b – 3b3

(a, b) = 1

 

Parité.

 

 

q et s étant parités opposée,  a et b le sont aussi.

 Voir Démonstration

 

 

Nous allons montrer que 2b, a-b et a+b sont des cubes.

en établissant d'abord que les 3 termes sont premiers entre eux.

 

Somme et différence de a et b.

 

 

 

a et b sont de parités opposées, alors: a + b et a – b sont impairs (non divisible par 2).

 

a et b sont premiers entre eux et de parités opposées, alors (a + b) et (a – b) sont.

Voir Démonstration

 

Cas de 2b

 

a et b sont premiers  entre eux.

b est premier avec leur somme et leur différence.

 

Somme et différence sont impaires. 2 est premiers avec la somme et la différence.

 

(2b), (a + b) et (a – b) sont premiers  entre eux.

 

 

Toujours le théorème sur le produit des cubes

Reprise du facteur cube pour mettre en évidence a + b et a – b.

 

32 . 2s est un cube

= 32 .   2   (3a2b – 3b3)

= 32 .   2 .   3b(a2 – b2)

= 33 . (2b) (a + b) (a – b)

Les facteurs sont premiers entre eux, ce sont tous des cubes.

 

2b      = A3

a + b = B3

a – b = C3

Ce qui veut dire que:

À 2b on ajoute et on retranche a. Et, on reprend les cubes que nous venons de trouver.

 

A3 = 2b = (a + b) – (a – b)

A3 =               C3          B3

 

Il y a donc une nouvelle solution à l'équation de Fermat avec n = 3.

 

C'est une solution plus petite.

Tous les termes étant des nombres entiers positifs.

 

C3 = a + b <   s = (3b) (a + b) (a – b)

                   < 3s = p

                          < 2p .(p² + 3q²) qui vaut z3

 

Descente infinie

 

On pourrait poursuivre et trouver une solution encore plus petite, ce qui est impossible.

Ce qui prouve que l'équation de Fermat pour n= 3 n'a pas de solution.

Fin de la démonstration pour PGCD = 3                        

 

 

 

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*         Démonstration

Voir

*         Théorème de Fermat-Wiles

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