NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Wilson

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Sommaire de cette page

>>> Théorème de Wilson

>>> Cas du nombre 563

 

 

 

 

THÉORÈME DE WILSON

 

 

Propriété surprenante concernant

la divisibilité des factorielles.

 

    

THÉORÈME DE WILSON

 

(p – 1)!  +  1

est divisible par p pour p premier.

 

Exemples

 

*      3 est premier; divisible 3 =>              (3 – 1)! + 1 = 2 + 1 = 3 = 3 x 1

*      4 est composé; pas divisible par 4.  (4 – 1)! + 1 = 6 + 1 = 7

*      5 est premier; divisible par 5.             (5 – 1)! + 1 = 24 + 1 = 25 = 5 x 5

 

 

 

 

 

Cas du nombre 563 et 5632

 

*      Quel sont les nombres de Wilson qui seraient aussi divisibles par le carré de p?

 

Pour p = 5

W = (5 – 1)! + 1 = 25 = 5 x 5 = x 1

BINGO divisible par 5².

 

Pour p = 7

W = (7 – 1)! + 1 = 721 = 7 x 103       

Non divisible par 7².

 

Pour p = 11

W = (11 – 1)! + 1 = 362880 = 11 x 329891   

Non divisible par 11².

 

Pour p = 13

W = (13 – 1)! + 1 = 479001600 = 13 x 36846277 = 13² x 2834329

BINGO divisible par 13².

 

Pour p = 17 à  557

Aucun divisible par p².

 

 

Pour p = 563

W = (563 – 1)! + 1 =  0,1128062103 101304

 = 653 x 0,2003662705 101301

 = 653² x 0,3558903560 101298

 

BINGO divisible par 563².

 

Ensuite

Aucun cas jusqu'à au moins 200 000.

 

*      Les nombres de Wilson divisibles par le carré de p sont très rares.
Aucun autre jusqu'à 20 000 milliards.

 

 

 

 

 

 

Suite

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*    Nombre    563

*    Nombre 3 367

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