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FACTORIELLES Théorème de Wilson Divisibilité des factorielles plus un. Et, quelques curiosités sur les factorielles. |
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Théorème
et formulations alternatives
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À noter
n! + 1 = premier: existence en nombre infini ? n! + 1 = carré: existence en
nombre infini ? |
Voir Des
exemples
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Deux
factorielles consécutives +1 sont premières entre elles: (n! + 1, (n+1)! + 1) = 1
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Elle repose sur la propriété
des PGCD |
(a,b) = ( a, b – ka) |
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Notre expression peut ainsi
s'écrire: |
(n! + 1, (n+1)! + 1) = (n! + 1, (n+1)! + 1 – (n
+ 1) (n! + 1) ) = (n! + 1, (n+1)! + 1 – (n +
1)n! – n – 1) = (n! + 1, (n+1)! + 1 –
(n+1)! – n – 1) = (n! + 1,– n) = 1 |
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Nombres tels que
p² divise (p – 1)! + 1. Les trois seuls
connus: 5, 13 et 563. Le suivant serait >
5 . 108 – K. Dilcher et C. Pomerance |
Voir
Nombre
563 / Nombre
de Wilson / Types de
premiers
Vers 1000 – Le mathématicien arabe Alhazen (965-1039) fait référence à
cette propriété dans l'un des ses écrits. vers 1700 – Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646-1716) énonce cette propriété, sans la démontrer. 1770 – John Wilson, avec son professeur Edward Waring, redécouvre cette
propriété et la publie en tant que conjecture. 1771 – Joseph-Louis Lagrange est
l'auteur des deux premières démonstrations. 1773 – Leonhard Euler en propose une troisième. Vers 1800 – Carl Friedrich Gauss (1777-1855) reformule la démonstration d'Euler
et en donne une quatrième en utilisant les notations de l'arithmétique
modulaire. |
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