NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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COMPTER - Combinatoire

 

Débutants

Dénombrement

FACTORIELLES

 

Glossaire

Combinatoire

 

 

INDEX

 

Compter

 

Dénombrer

 

 

Index factorielle

Th. de Wilson

Divisibilité

Premières

Terminale S

Smarandache

Pairs et impairs

 

Sommaire de cette page

>>> Théorème de Wilson

>>>  Exemples

>>> Application typique

>>> Factorielles consécutives

>>> Premiers de Wilson

 

 

 

 

FACTORIELLES

Théorème de Wilson

 

Divisibilité des factorielles plus un.

Et, quelques curiosités sur les factorielles.

 

 

 

THÉORÈME DE WILSON

 

Théorème et formulations alternatives

 

(n – 1)! + 1

est divisible par n,

seulement si n est premier.

Pour que n divise (n – 1)! + 1, il faut et il suffit que n soit premier.

Si p est premier,

alors (p – 1)! + 1

est divisible par p

Pour p > 0, un entier premier:

(p – 1) !  -1 mod p

 

*    Ce Théorème parmi les plus importants de la théorie des nombres

*    Formulé en 1770 par Waring au nom de son ex-élève John Wilson (1741-1793).

*    Était connu de Leibniz (1646-1716), démonté par Lagrange en 1771.

 

 

Exemples

 

 

À noter

n! + 1 = premier: existence en nombre infini ?

n! + 1 = carré:    existence en nombre infini ?

Voir Des exemples

 

 

Application typique

 

*    Comment évaluer le reste de la division par 71 de 61! et de 63!
L'astuce consiste à prendre –1 et non 70 comme résidu de 70 mod 71 et ainsi de suite … Le reste et une simple question de calculs.
 

 

 

 

Factorielles consécutives

 

Deux factorielles consécutives +1 sont premières entre elles:

(n! + 1,  (n+1)! + 1) = 1


 
Démonstration

Elle repose sur la propriété des PGCD

(a,b) = ( a, b – ka)

Notre expression peut ainsi s'écrire:

(n! + 1,  (n+1)! + 1)

= (n! + 1,  (n+1)! + 1 – (n + 1) (n! + 1) )

= (n! + 1, (n+1)! + 1 – (n + 1)n! – n – 1)

= (n! + 1, (n+1)! + 1 – (n+1)! – n – 1)

= (n! + 1,– n)

= 1            

 

 Premier de Wilson

Nombres tels que p² divise (p – 1)! + 1.
Sachant que le théorème de Wilson dit que tout premier p divise (p – 1)! + 1.

Les trois seuls connus: 5, 13 et 563.

Le suivant serait > 5 . 108 – K. Dilcher et C. Pomerance

Voir Nombre 563 / Nombre de Wilson / Types de premiers

 

 

 

 

Suite

*    Factorielles plus ou moins un

*    Curiosités en sommes et produits de factorielles

*    Voir haut de page

 

Voir

*    Compter

*    Débutant et dénombrement

*    Formule de Stirling

*    Problème de Brocard (n! + 1)

*    Programmer la fonction factorielle

*    Théorème de Wilson

§  Échelle de dix

§  Puissances

§  Théorèmes

*    Théorie des nombres

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