divisibilité des factorielles - théorème de Wilson

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FACTORIELLES

Théorème de Wilson

Divisibilité des factorielles plus un.

Et, quelques curiosités sur les factorielles.

THÉORÈME DE WILSON

Théorème et formulations alternatives

(n – 1)! + 1

est divisible par n,

seulement si n est premier.

Pour que n divise (n – 1)! + 1, il faut et il suffit que n soit premier.

Si p est premier,

alors (p – 1)! + 1

est divisible par p

Pour p > 0, un entier premier:

(p – 1) ! -1 mod p

Ce Théorème parmi les plus importants de la théorie des nombres

Formulé en 1770 par Waring au nom de son ex-élève John Wilson (1741-1793).

Était connu de Leibniz (1646-1716), démonté par Lagrange en 1771.

Exemples

À noter

n! + 1 = premier: existence en nombre infini ?

n! + 1 = carré: existence en nombre infini ?

Voir Des exemples

Application typique

Comment évaluer le reste de la division par 71 de 61! et de 63!
L'astuce consiste à prendre –1 et non 70 comme résidu de 70 mod 71 et ainsi de suite … Le reste et une simple question de calculs.

Factorielles consécutives
Deux factorielles consécutives +1 sont premières entre elles: (n! + 1, (n+1)! + 1) = 1 Démonstration
Elle repose sur la propriété des PGCD	(a,b) = ( a, b – ka)
Notre expression peut ainsi s'écrire:	(n! + 1, (n+1)! + 1) = (n! + 1, (n+1)! + 1 – (n + 1) (n! + 1) ) = (n! + 1, (n+1)! + 1 – (n + 1)n! – n – 1) = (n! + 1, (n+1)! + 1 – (n+1)! – n – 1) = (n! + 1,– n) = 1