NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil / Dictionnaire / Rubriques / Index / Références / Nouveautés ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 21/12/2010
Débutants Général	RUBRIQUE Divisibilité				Glossaire Général
	Somme de puissances
	§ Index Divisibilité	§ An + Bn		§ Somme puissances Partie 2
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Rappel et Bilan

-Ý-

N est impair

N | 1ⁿ + 2ⁿ + 3ⁿ + ... + (N-1)ⁿ

N divise cette somme

sauf si

N = 3 + 6k et n est pair

ou

N ≠ 3 + 6k et n = N - 1

N est pair

N | 1ⁿ + 2ⁿ + 3ⁿ + ... + (N-1)ⁿ

N divise cette somme

si N = 4 k et n est impair

Bilan

N =	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
n =1
2
3
4				x
5
6						x
7
8				x
9
10										x
11
12				x		x						x
13
14
15

Bleu N ne divise pas la somme en puissance n

Jaune et Rose N divise la somme en puissance n

Notez que la divisibilité est assurée pour tout N et n impairs (rose)

EXEMPLES	-Ý-
Pour N = 3 La colonne N = 3 nous indique que N divise la somme S = 1^n + 2^n que pour n impair n, S, S/3 (valeur de l'exposant, valeur de la somme des puissances et sa division par 3) 1, 3, 1 2, 5, 5/3 3, 9, 3 4, 17, 17/3 5, 33, 11 6, 65, 65/3 7, 129, 43 8, 257, 257/3 9, 513, 171 10, 1025, 1025/3 11, 2049, 683 12, 4097, 4097/3 13, 8193, 2731 14, 16385, 16385/3 15, 32769, 10923 16, 65537, 65537/3 17, 131073, 43691 18, 262145, 262145/3 19, 524289, 174763 20, 1048577, 1048577/3
Pour N = 5 La colonne N = 5 nous indique que N divise la somme S = 1^n + 2^n + 3^n + 4^n dans tous les cas Sauf (cellule bleue avec petite croix) lorsque n est un multiple de 4 (en fait 5-1) n, S, S/5 (valeur de l'exposant, valeur de la somme des puissances et sa division par 5) 1, 10, 2 2, 30, 6 3, 100, 20 4, 354, 354/5 5, 1300, 260 6, 4890, 978 7, 18700, 3740 8, 72354, 72354/5 9, 282340, 56468 10, 1108650, 221730 11, 4373500, 874700 12, 17312754, 17312754/5 13, 68711380, 13742276 14, 273234810, 54646962 15, 1088123500, 217624700 16, 4338079554, 4338079554/5 17, 17309140420, 3461828084 18, 69107159370, 13821431874 19, 276040692700, 55208138540 20, 1102999460754, 1102999460754/5
Pour N = 7 La colonne N = 7 nous indique que N divise la somme S = 1^n + 2^n + 3^n + 4^n + 5^n + 6^n dans tous les cas Sauf (cellule bleue avec petite croix) lorsque n est un multiple de 6 (en fait 7-1) n, S, S/7 (valeur de l'exposant, valeur de la somme des puissances et sa division par 7) 1, 21, 3 2, 91, 13 3, 441, 63 4, 2275, 325 5, 12201, 1743 6, 67171, 67171/7 7, 376761, 53823 8, 2142595, 306085 9, 12313161, 1759023 10, 71340451, 10191493 11, 415998681, 59428383 12, 2438235715, 2438235715/7 13, 14350108521, 2050015503 14, 84740914531, 12105844933 15, 501790686201, 71684383743 16, 2978035877635, 425433696805 17, 17706908038281, 2529558291183 18, 105443761093411, 105443761093411/7 19, 628709267031321, 89815609575903 20, 3752628871164355, 536089838737765

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-Ý-	Voir	§ A^n + B^N § Divisibilité - Index § Somme de puissances
	Aussi	§ Diviseurs § Nombres consécutifs § Somme de cubes