NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 08/02/2012 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
	IDENTITÉS
Débutants Addition	SOMMES de 1 à n				Glossaire Addition
INDEX Identités	Index et Bases	Carrés	Cubes	2, 3, 5 …
		Somme des puissances de 2 à 20
	Sommaire de cette page >>> Tableau >>> Démonstrations >>> Somme de k carrés >>> Différence de k carrés

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SOMMES des CARRÉS

avec nombres consécutifs

Somme des CARRÉS
>>>	Carrés	1² + 2² + … + n²	= 1/6 n (n + 1) (2n + 1)
>>>	Somme au carré	(1 + 2 + 3 + … + n )^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + … + n^3	= { ½ n(n +1) } = Tn^2
>>>	Pairs	2² + 4² + 6² + … + (2n)² = 4 (1² + 2² + … + n²)	= 2/3 n(n + 1)(2n + 1)
>>>	Impairs	1² + 3² + 5² + … + (2n-1)²	= 1/3 n(2n – 1)(2n + 1) = 1/3 n (4n² – 1)

>>>	Carrés - Inverses	1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + … 1/n² + … = 2²/(2²-1) x 3²/(3²-1) x … x p²/(p²-1) x …	= p^2 / 6 = 1,644934068 = (2)
	Inverses pairs	1/2^2 + 1/4^2 + 1/6^2 …	= p^2 / 24 = 0,4112335169 …
	Inverses impairs	1/1^2 + 1/3^2 + 1/5^2 …	= p^2 / 8 = 1,233700550
>>>	Inverses opposés (somme)	(1-1/2²) + (1-1/3²) + (1-1/4²) +… + (1-1/n²) + …
>>>	Inverses opposés (produit)	(1-1/2²) (1-1/3²) (1-1/4²) … (1-1/n²) (1-1/2²) (1-1/3²) (1-1/4²) …	= (n+2) / (2n+2) = 1/2
>>>	Inverse de produits	3/(1².2²) + 5/(2².3²) + 7/(3².4²) + … + (2n+1)/(n².(n+1)²	= (n² + 2n) / (n + 1)² = (A-1) / A avec A = (n+1)²
>>>	Inverse de produits impairs	1^2/(1.3) + 2^2/(3.5) + … n^2/(2n-1)(2n+1)	= n(n+1) / 2(2n+1)

Pyramide ou Cumul de la somme des carrés	1^2 + 1^2 + 2^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + …	S Ligne n = 1/12 n (n+1)² (n+2) Ex: N= 3 S = 20
Pyramide pairs carrés	2^2 + (2^2 + 4^2 ) + (2^2 + 4^2 +6^2 ) + …	S Ligne n = 1/3 n (n+1) (n²+3n+2) Ex: N= 3 S = 80
Pyramide impairs carrés	1^2 + (1^2 + 3^2 ) + (1^2 + 3^2 +5^2 ) + …	S Ligne n = 1/6 n (n+1) (2n²+2n-1) Ex: N= 3 S = 46

Voir Pyramide et nombres entiers

Démonstrations
Somme des carrés	Voir Page spéciale
Somme des carrés pairs	2² + 4² + 6² + … + (2n)² = 4 (1² + 2² + … + n²) = 4/6 n (n + 1) (2n + 1)
Somme des carrés impairs Elle est égale à la somme de tous les nombres diminuée de celle des nombres pairs.	Somme des entiers = 1² + 2² + … + n² + … + (2n)^2 = 1/6 x 2n (2n + 1) ( 4n + 1) Somme des pairs = 2² + 4² + 6² + … + (2n)² = 2/3 n (n + 1) (2n + 1) Somme des impairs = 1² + 3² + 5² + … + (2n-1)² = 1/6 x 2n (2n + 1) (4n + 1) – {2/3 n (n + 1) (2n + 1)} = n/3 (4n² – 1)

Sommes de k carrés de nombres consécutifs
k = 2	= 2n² + 2n + 1 La somme des carrés de deux nombres consécutifs peut être un nombre premier (pour les 1000 premiers nombres, il y 225 premiers). Voici les 5 premières configurations: 1² + 2² = 5 2² + 3² = 13 4² + 5² = 41 5² + 6² = 61 7² + 8² = 113
k = 3	= 3n² + 2 La somme des carrés de deux nombres consécutifs peut être un nombre premier (pour les 1000 premiers, il y 83 premiers). Voici les 5 premières configurations: 2² + 3² + 4² = 29 6² + 7² + 8² = 149 12² + 13² + 14² = 509 14² + 15² + 16² = 677 24² + 25² + 26² = 1877
k = 4 Toujours pair	= 2 (2n² + 6n + 7) 1² + 2² + 3² + 4² = 30 2² + 3² + 4² + 5² = 54 3² + 4² + 5² + 6² = 86
k = 5 Divisible par 5	= = 5 (n² + 2) 1² + 2² + 3² + 4² + 5² = 55 = 5 x 11 2² + 3² + 4² + 5² + 6² = 90 = 5 x 18 3² + 4² + 5² + 6² + 7² = 135 = 5 x 27

Voir Somme des carrés de nombres consécutifs

Différences de k carrés de nombres consécutifs
k = 2	= 2n + 1	Pour passer au carré suivant il suffit d'ajouter deux fois le nombre plus un.
k = 3	= 2	L'écart entre la différence des carrés successifs est toujours égal à 2.
k = 4	= 6		6² – 5 ² – 3² + 2² = 6 7² – 6 ² – 4² + 3² = 6 8² – 7 ² – 5² + 4² = 6

Voir Machine de Babbage

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Suite	Somme des cubes Impairs et différence de carrés Somme de carrés – Tables
Table	Carrés, cubes … et leurs cumuls
Voir	Carrés Constantes Cubes Factorielles et somme des entiers Isopérimètre Nombres consécutifs – Index Nombres géométriques Pairs et impairs Puissances – Index Somme des puissances Tautochrone Théorèmes