NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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IDENTITÉS

 

Débutants

Somme

SOMMES de 1 à n

 

Glossaire

Addition

 

 

INDEX

 

Carrés

 

Identités

 

Calcul

 

 

 

Index et Bases

Carrés

Cubes

2, 3, 5 …

Somme des inverses des carrés

Somme des puissances de 2 à 20

 

Sommaire de cette page

>>> Tableau

>>> Démonstrations

>>> Somme de k carrés

>>> Différence de k carrés

 

 

 

 

SOMMES des CARRÉS

avec nombres consécutifs

 

 

 

Somme des CARRÉS

>>>

Carrés

1² + 2² + … + n²

>>>

1² + 2² + … + (n-1)²

>>>

À partir de a

avec k termes

a² + (a + 1)² + …

+ (a + k – 1)²

>>>

Somme au carré

(1 + 2 + 3 +  … + n )2

             = 13 + 23 + 33 + … + n3

= { ½ n(n +1) } = Tn2

>>>

Pairs

2² + 4² + 6² + … + (2n

   = 4 (1² + 2² + … + n²)

= 2/3 n(n + 1)(2n + 1)

>>>

Impairs

1² + 3² + 5² + … + (2n-1

= 1/3 n(2n – 1)(2n + 1)

= 1/3 n (4n² – 1)

Voir Somme de carrés et progression géométrique

 

Trouvez les nombres consécutifs en connaissant leur somme des carrés

Le calculateur prodige Giacomo Inaudi savait trouver en 30 secondes les quatre nombres consécutifs dont on donnait la somme des carrés. Il procédait sans doute de cette manière:

 

(24, 25, 26, 27) => 24² + 25² + 26² + 27² = 2 606
Retirer 6: 2 600

Diviser par 4: 650

Produit de deux nombres consécutifs: 650 = 25 x 26
Nombres cherchés: 24, 25, 26, 27.

Formule utilisée: (n – 1)² + n² + (n + 1)² + (n + 2)² = 4n² + 4n + 6 = 4 n (n + 1) + 6

 

Voir MagieIndex  /  Brève de maths n°234

 

 

 

>>>

Carrés - Inverses

1/12 + 1/22 + 1/32 + … 1/n² + …  

 = 2²/(2²-1) x 3²/(3²-1) x …

                              x p²/(p²-1) x …

= 2 / 6 = 1,644934068

= (2)

Inverses pairs

1/22 + 1/42 + 1/62

= 2 / 24 = 0,4112335169 …

Inverses impairs

1/12 + 1/32 + 1/52

= 2 / 8 = 1,233700550

>>>

Inverses opposés

(somme)

(1-1/2²) + (1-1/3²) + (1-1/4²) +…

                            + (1-1/n²) + …

>>>

Inverses opposés

(produit)

(1-1/2²) (1-1/3²) (1-1/4²) … (1-1/n²)

(1-1/2²) (1-1/3²) (1-1/4²) …

= (n+2) / (2n+2)

= 1/2

>>>

Inverse de produits

3/(1².2²) + 5/(2².3²) + 7/(3².4²) + …

                                + (2n+1)/(n².(n+1)²

= (n² + 2n) / (n + 1)²

= (A-1) / A avec A = (n+1)²

>>>

Inverse de produits impairs

12/(1.3) + 22/(3.5) + …

                                  n2/(2n-1)(2n+1)

= n(n+1) / 2(2n+1)

 

 

 

Pyramide

ou Cumul de la

somme

des carrés

12 +

12 + 22 +

12 + 22 + 32 +

S Ligne n

= 1/12 n (n+1)² (n+2)

 

Ex: N= 3 S = 20

 

Pyramide pairs carrés

22 +

(22 + 42 ) +

(22 + 42 + 62 ) +

S Ligne n

= 1/3 n (n+1) (n²+3n+2)

 

Ex: N= 3 S = 80

 

Pyramide impairs carrés

12 +

(12 + 32 ) +

(12 + 32 + 52 ) +

 

S Ligne n

= 1/6 n (n+1) (2n²+2n-1)

 

Ex: N= 3 S = 46

Voir Pyramide et nombres entiers

 

 

Démonstrations

 

*      Somme des carrés

 

Voir Page spéciale

*      Somme des carrés pairs

2² + 4² + 6² + … + (2n

= 4 (1² + 2² + … + n²)

= 4/6 n (n + 1) (2n + 1)

*      Somme des carrés impairs
Elle est égale à la somme de tous les nombres diminuée de celle des nombres pairs.

Somme des entiers = 1² + 2² + … + n² +     + (2n)2

= 1/6 x 2n (2n + 1) ( 4n + 1)

 

Somme des pairs = 2² + 4² + 6² + …    + (2n)²

= 2/3 n (n + 1) (2n + 1)

 

Somme des impairs = 1² + 3² + 5² + … + (2n-1)²

= 1/6 x 2n (2n + 1) (4n + 1)

– {2/3 n (n + 1) (2n + 1)}

= n/3 (4n² – 1)

 

 

 

Sommes de k carrés de nombres consécutifs

*      k = 2

= 2n² + 2n + 1

La somme des carrés de deux nombres consécutifs peut être un nombre premier (pour les 1000 premiers nombres, il y 225 premiers). Voici les 5 premières configurations:

1² +   2² =     5

2² +   3² =   13

4² +   5² =   41

5² +   6² =   61

7² +   8² = 113

*      k = 3

= 3n² + 2

La somme des carrés de deux nombres consécutifs peut être un nombre premier (pour les 1000 premiers, il y 83 premiers). Voici les 5 premières configurations:

  2² +   3² +   4² =     29

  6² +   7² +   8² =   149

12² + 13² + 14² =   509

14² + 15² + 16² =   677

24² + 25² + 26² = 1877

*      k = 4

Toujours pair

= 2 (2n² + 6n + 7)

1² + 2² + 3² + 4² =   30

2² + 3² + 4² + 5² =   54

3² + 4² + 5² + 6² =   86

*      k = 5
Divisible par 5

=

= 5 (n² + 2)  

1² + 2² + 3² + 4² + 5² =     55 = 5 x 11

2² + 3² + 4² + 5² + 6² =     90 = 5 x 18

3² + 4² + 5² + 6² + 7² =   135 = 5 x 27

Voir Somme des carrés de nombres consécutifs

 

 

Différences de k carrés de nombres consécutifs

*      k = 2

= 2n + 1

Pour passer au carré suivant il suffit d'ajouter deux fois le nombre plus un.

*      k = 3

= 2

L'écart entre la différence des carrés successifs est toujours égal à 2.

*      k = 4

= 6

6² – 5 ² – 3² + 2² = 6

7² – 6 ² – 4² + 3² = 6

8² – 7 ² – 5² + 4² = 6

Voir Machine de Babbage

 

 

 

 

Suite

*    Somme des cubes

*    Impairs et différence de carrés

*    Somme de carrés – Tables

*    Divisibilité de la somme des puissances

*    Divisibilité de la somme de k carrés consécutifs

*    Divisibilité de cinq puissances consécutives

Table

*    Carrés, cubes … et leurs cumuls

Voir

*    Carrés

*    Constantes

*    Cubes

*    Factorielles et somme des entiers

*    Isopérimètre

*    Nombres consécutifsIndex

*    Nombres géométriques

*    Pairs et impairs

*    PuissancesIndex

*    Somme des puissances

*    Tautochrone

*    Théorèmes

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