NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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DIVISION

 

Débutants

Division

Divisibilité

 

Glossaire

Division

 

 

Index général

 

>>> INDEX

 

Index Divisibilité

A^n + B^n

Somme puissances (1/2)

A² + B²

A^nB^n

Somme puissances (2/2)

Soustraction puissances

 

Sommaire de cette page

>>> Approche 

>>> N impair

>>> N pair

 

 

 

 

 

Divisibilité

d'une somme de puissance (1/2)

Surprenant! La somme des puissances des nombres consécutifs est presque toujours divisible par le nombre qui suit.

 

 

Approche

 

Sur la page précédente nous avons montré que N = 7 divise la somme des puissances impaires (n = 2k + 1) de cette somme jusqu'à 6 (= 7 - 1)

 

 

Voici quelques applications numériques  Þ

 

Qu'en est-il

d'une manière générale ?

7 | 1n +  2n + 3n + 4n + 5n + 6n

pour n = 2k+ 1

 

 

 

n = 1,   S  =         21 = 7 x 3

n = 3,   S  =       441 = 7 x 63

n = 5,   S  =   12201 = 7 x 1743

n = 7,   S  = 376761 = 7 x  53823

Voir Somme des carrés de 1 à n

 

 

 

 

Cas de N impair

 

Pour différentes valeurs de N impaires, nous allons constituer le tableau montrant la divisibilité de la somme S.

S est la somme des puissances n des nombres entiers consécutifs jusqu'à N non compris.

Les cases jaunes indiquent la divisibilité par N (résultats entiers); les cases bleues montrent la non-divisibilité (résultats fractionnaires).

 

Exemple: 13 + 23 + 33 + 43 = 100; le nombre suivant est 5; il est impair et la somme est bien divisible par 5.

 

 

Une observation de ce tableau (et, c'est valable pour sa suite) montre que la divisibilité est vraie pour tous les n impairs. Normal, c'est la démonstration vue en page précédente.

 

En outre, certaines valeurs paires de n dont également divisibles:

*       Pour N = 3 et 9 jamais divisibles

*       Pour N = 5 et 7 divisible, sauf si n est multiple de N-1

 

Voici le tableau récapitulatif pour N impair:

 

Divisibilité par N

n Impair

n Pair

Sauf n

multiples de

N = 3

X

non

 

5

X

X

4

7

X

X

6

9

X

non

 

11

X

X

10

13

X

X

12

15

X

non

 

17

X

X

16

19

X

X

18

21

X

non

 

23

X

X

22

25

X

X

24

27

X

non

 

 

 

Conclusion

Pour la somme de N – 1 puissances, N étant impair:

N | 1n + 2n + 3n + ... + (N – 1)n

 

N divise cette somme  sauf si

N = 3 + 6k et n est pair

ou

N  3 + 6k et n = N – 1

 

 

 

Cas de N pair

 

Même démarche que pour les valeurs de N impaires.

 

Les fractions témoignent de la non-divisibilité.

 

Une observation de ce tableau (et, c'est valable pour sa suite) montre que la divisibilité est vraie

*       TOUJOURS si N est un multiple de 4 et n est impair (>1); et

*       JAMAIS dans tous les autres cas.

 

Voici le tableau récapitulatif pour N impair

N

Divisibilité par N

n Impair

n Pair

2

non

non

4

OUI

non

6

non

non

8

OUI

non

10

non

non

12

OUI

non

14

non

non

16

OUI

non

18

non

non

20

OUI

non

22

non

non

24

OUI

non

26

non

non

 

Conclusion

Pour la somme de N – 1 puissances, N étant pair:

 

N | 1n + 2n + 3n + ... + (N-1)n

 

N divise cette somme

si N = 4 k  et n est impair.

 

 

 

 

Suite

*       Bilan et exemples numériques

Voir

*       Soustraction puissances

*       An + BN

*       DivisibilitéIndex 

*       Somme de puissances

Aussi

*       Diviseurs

*       Nombres consécutifs

*       Formes polynomiales divisibles

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