NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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IDENTITÉS

 

Débutants

Somme

SOMMES de 1 à n

 

Glossaire

Addition

 

 

INDEX

Identités

 

Index et Bases

Carrés

Cubes

2, 3, 5 …

Somme des puissances de 2 à 20

 

Sommaire de cette page

>>> Somme des cubes

>>> Observations

>>> Cubes empilés en pyramide

>>> Somme de cubes

>>> Différences de cubes

 

 

 

 

 

 

SOMMES des CUBES

avec nombres consécutifs

 

 

 

Somme des CUBES

>>>

Cubes

13 + 23 + … + n3

= 1/4 n² (n + 1)²

>>>

Cubes pairs

23 + 43 + … + (2n)3

=    2 n² (n + 1)²

>>>

Cubes impairs

13 + 33 + … + (2n+1)3

=       n² (2n² – 1)

>>>

(1) Inverses

1/13 + 1/23 + 1/33

= 1,20205689…

= (3)

(2) Inverses pairs

1/23 + 1/43 + 1/63

= 0,15025711…

(3) Inverses impairs (1)-(2)

1/13 + 1/33 + 1/53

= 1,05179978…

 

(4) Inverses alternés (3)-(2)

1/13 – 1/23 + 1/33 – …

= 0,90154267…

 

(5) Inverses pairs alternés

1/23 – 1/43 + 1/63 – …

= 0,11269283…

 

(6) Inverses impairs alternés

1/13 – 1/33 + 1/53 – …

= 0,96894614…

 

Quinconce

13 + 3.22 + 33  + 3.42 + 53  + 3.62 + 73  … + T

Impair => T = n3

Pair     => T = (n1) n²

n pair 

S = 1/8 n(n3+4n²+10n+8)

n impair

S = 1/8 (n+1) (n3+7n²3n1)

 

 

 

 

Observations

 

Cubes

 

Somme des cubes = carré

=  13 + 23 + 33 + … +  n3

= ( 1 + 2  + 3 +    + n )2

= 1/4 (n4 + 2n3 + n2 )

= Tn2

Voir Démonstration

 

Conséquence évidente: 

La somme des cubes des nombres consécutifs est divisible par la somme de ces nombres. En effet:

13 + 23 + 33 + … +  n3 = (1 + 2 + 3 +    + n) (1 + 2 + 3 +    + n)

13 + 23 + 33 = 36 = (1 + 2 + 3) (1 + 2 + 3) = 6 x 6

 

 

Parfaits

Tous les nombres parfaits pairs sont la somme

des cubes de nombres impairs consécutifs.

 

6

Exception

28

13 + 33

496

13 + 33 + 53 + 73

8 128

13 + 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153

Etc.

 

 

 

 

 

 

Cubes empilés en pyramide

 

Problème

*      Nous disposons de cubes de 1 cm de côté.

*      Combien de cubes pour former une pyramide de cubes de taille 1, puis 2, puis 3, etc.

*      Disposant de 2500 petits cubes quelle est la hauteur de la pyramide?

 

Solution

*      Chaque plus gros cube de taille n (n petits cubes sur un côté) compte n3 petits cubes. Pour n = 2, il y a 23 = 8 petits cubes. Pour 3, ce sera 3 x 3 x 3 = 27.

*      De sorte que: la quantité de cubes au fur et à mesure de la construction de la pyramide passe par les valeurs successives:1, 1 + 8 = 9, 9 + 27 = 36 … La suite est donnée sur le tableau ci-dessous.

*      La hauteur progresse également en commençant par 1, puis 1 + 2 = 3, 3 + 3 = 6 …

 

 

Tableau donnant la quantité de cubes et la hauteur

 

Avec 2500 cubes, il est possible de construire une pyramide jusqu'à l'ordre 9, soit 45 cm de haut avec exactement 2025 cubes. Il en reste 2500 – 2025 = 475.

 

Somme des cubes

Nous venons de calculer la somme cumulée des cubes et la somme cumulée des entiers (les nombres triangulaires). Les deux sommes sont l'une le carré de l'autre. Ainsi 45² = 2025.

 

 

 

 

 

Sommes de k cubes de nombres consécutifs

*      k = 2

Divisible par 2n+1

 

= (2n + 1) (n² + n + 1)

23 + 33 = 5 x   7 =   35

33 + 43 = 7 x 13 =   91

43 + 53 = 9 x 21 = 189

*      k = 3

Divisible par 3n Divisible par 9

= 3n (n² + 2)

13 + 23 + 33 =   6 x   6 =     36

23 + 33 + 43 = 11 x   9 =     99

33 + 43 + 53 = 12 x 18 =   216

Voir Divisiblité par 9

*      k = 4

Divisible par 2(2n+3)

= 2(2n + 3) (n² + 3n + 6)

13 + 23 + 33 + 43 =   10 x   10 =     100

23 + 33 + 43 + 53 =   14 x   16 =     224

33 + 43 + 53 + 63 =   18 x   24 =     432

*      k = 5

Divisible par 5n

= 5n (n² + 6)

13 + 23 + 33 + 43 + 53 =   15 x   15 =     225

23 + 33 + 43 + 53 + 63 =   20 x   22 =     440

33 + 43 + 53 + 63 + 73 =   25 x   31 =     775

 

*      k = 6
Divisible par 6n+15

= 3 (2n + 5) (n² + 5n + 15)

13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 = 21 x 21 =     441

23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 = 27 x 29 =     783

33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 = 33 x 39 =   1287

 

 

Différences de k cubes de nombres consécutifs

*      k = 2

Peut être premier

Multiple de 6 plus 1

= 3n² – 3n + 1

= 3n (n – 1) + 1

Voir Nombre cubains

*      k = 3

Donne 6n

= 6n

*      k = 4

Donne 18n

= 18n

13  23  43 + 53 = 18 x 3  =   54

23  33  53 + 63 = 18 x 4  =   72

*      k= 4

L'écart de 3e niveau entre cubes est égal à 6

= 6

Voir Machine de Babbage

 

 

 

 

 

Suite

*    Somme de puissances

*    Somme de cubes – Tables

Table

*    Carrés, cubes … et leurs cumuls

Voir

*    Carrés

*    Constantes

*    Cubes

*    Factorielles et somme des entiers

*    Isopérimètre

*    Nombres consécutifs Index

*    Nombres géométriques

*    Pairs et impairs

*    Somme cubes

*    Tautochronie

*    Théorèmes

DicoNombre

*    Nombre 6

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