NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 26/12/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	IDENTITÉS
Débutants Somme	SOMMES de 1 à n				Glossaire Addition
INDEX Sommes Calcul Identités	Index et Bases	Carrés	Cubes	2, 3, 5 …
		Somme des puissances de 2 à 20
	Sommaire de cette page >>> Somme des cubes >>> Observations >>> Cubes empilés en pyramide >>> Somme de cubes >>> Différences de cubes

SOMMES des CUBES

avec nombres consécutifs

Voir Cubes / Somme de k cubes / Somme des trois cubes

Somme des CUBES
>>>	Cubes	1^3 + 2^3 + … + n^3	= 1/4 n² (n + 1)²
>>>	Cubes pairs	2^3 + 4^3 + … + (2n)^3	= 2 n² (n + 1)²
>>>	Cubes impairs	1^3 + 3^3 + … + (2n – 1)^3	= n² (2n² – 1)
>>>	(1) Inverses	1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 …	= 1,20205689… = (3)
	(2) Inverses pairs	1/2^3 + 1/4^3 + 1/6^3 …	= 0,15025711…
	(3) Inverses impairs (1)-(2)	1/1^3 + 1/3^3 + 1/5^3 …	= 1,05179978…
	(4) Inverses alternés (3)-(2)	1/1^3 – 1/2^3 + 1/3^3 – …	= 0,90154267…
	(5) Inverses pairs alternés	1/2^3 – 1/4^3 + 1/6^3 – …	= 0,11269283…
	(6) Inverses impairs alternés	1/1^3 – 1/3^3 + 1/5^3 – …	= 0,96894614…
	Quinconce	1^3 + 3.2^2 + 3^3 + 3.4^2 + 5^3 + 3.6^2 + 7^3 … + T Impair => T = n^3 Pair => T = (n–1) n²	n pair S = 1/8 n(n^3+4n²+10n+8) n impair S = 1/8 (n+1) (n^3+7n²–3n–1)

Cubes en progression arithmétique

S = 5^3 + 11^3 + 17^3 + 23^3 = 18 536 F = 5 L= 23 = F + (n-1) r n = 4 r = 6 Voir Brève 535

T = 1/2 n (F + L) S = r.T^2 + T.F (F – r)

Observations

Cubes

Somme des cubes = carré

= 1³ + 2³ + 3³ + … + n³

= ( 1 + 2 + 3 + … + n )²

= 1/4 (n⁴ + 2n³ + n² )

= T_n²

Voir Développements et démonstration

Autre démonstration (par induction)

Conséquence évidente:

La somme des cubes des nombres consécutifs est divisible par la somme de ces nombres. En effet:

1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = (1 + 2 + 3 + … + n) (1 + 2 + 3 + … + n)

1³ + 2³ + 3³ = 36 = (1 + 2 + 3) (1 + 2 + 3) = 6 x 6

Parfaits

Tous les nombres parfaits pairs sont la somme

des cubes de nombres impairs consécutifs.

6	Exception
28	1^3 + 3^3
496	1^3 + 3^3 + 5^3 + 7^3
8 128	1^3 + 3^3 + 5^3 + 7^3 + 9^3 + 11^3 + 13^3 + 15^3
Etc.

Cubes empilés en pyramide
Problème Nous disposons de cubes de 1 cm de côté. Combien de cubes pour former une pyramide de cubes de taille 1, puis 2, puis 3, etc. Disposant de 2500 petits cubes quelle est la hauteur de la pyramide? Solution Chaque plus gros cube de taille n (n petits cubes sur un côté) compte n^3 petits cubes. Pour n = 2, il y a 2^3 = 8 petits cubes. Pour 3, ce sera 3 x 3 x 3 = 27. De sorte que: la quantité de cubes au fur et à mesure de la construction de la pyramide passe par les valeurs successives:1, 1 + 8 = 9, 9 + 27 = 36 … La suite est donnée sur le tableau ci-dessous. La hauteur progresse également en commençant par 1, puis 1 + 2 = 3, 3 + 3 = 6 …
Tableau donnant la quantité de cubes et la hauteur Avec 2500 cubes, il est possible de construire une pyramide jusqu'à l'ordre 9, soit 45 cm de haut avec exactement 2025 cubes. Il en reste 2500 – 2025 = 475. Somme des cubes Nous venons de calculer la somme cumulée des cubes et la somme cumulée des entiers (les nombres triangulaires). Les deux sommes sont l'une le carré de l'autre. Ainsi 45² = 2025.

Sommes de k cubes de nombres consécutifs
k = 2 Divisible par 2n+1	= (2n + 1) (n² + n + 1)		2^3 + 3^3 = 5 x 7 = 35 3^3 + 4^3 = 7 x 13 = 91 4^3 + 5^3 = 9 x 21 = 189
k = 3 Divisible par 3n Divisible par 9	= 3n (n² + 2)		1^3 + 2^3 + 3^3 = 6 x 6 = 36 2^3 + 3^3 + 4^3 = 11 x 9 = 99 3^3 + 4^3 + 5^3 = 12 x 18 = 216 Voir Divisiblité par 9
Carré somme de trois cubes consécutifs (Trois seuls cas jusqu'à au moins un million)		9 = 3² = 0^3 + 1^3 + 2^3 36 = 6² = 1^3 + 2^3 + 3^3 41 616 = 204² = 23^3 + 24^3 + 25^3
Cube sommes de trois cubes consécutifs		216 = 6^3 = 3^3 + 4^3 + 5^3 59 650^3 = 41358^3 + 41359^3 + 41360^3 119 300^3 = 82717^3 + 82718^3 + 82719^3 Etc. (très nombreux)
k = 4 Divisible par 2(2n+3)	= 2(2n + 3) (n² + 3n + 6)		1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 10 x 10 = 100 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 = 14 x 16 = 224 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 = 18 x 24 = 432
k = 5 Divisible par 5n	= 5n (n² + 6) 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 = 15 x 15 = 225 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 = 20 x 22 = 440 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 = 25 x 31 = 775
k = 6 Divisible par 6n+15	= 3 (2n + 5) (n² + 5n + 15) 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 = 21 x 21 = 441 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 = 27 x 29 = 783 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 + 8^3 = 33 x 39 = 1287

Nombres sommes de cubes consécutifs

Liste jusqu'à 5000

1, 8, 9, 27, 35, 36, 64, 91, 99, 100, 125, 189, 216, 224, 225, 341, 343, 405, 432, 440, 441, 512, 559, 684, 729, 748, 775, 783, 784, 855, 1000, 1071, 1196, 1241, 1260, 1287, 1295, 1296, 1331, 1584, 1728, 1729, 1800, 1925, 1989, 2016, 2024, 2025, 2197, 2241, 2331, 2584, 2744, 2800, 2925, 2989, 3016, 3024, 3025, 3059, 3060, 3375, 3572, 3915, 3925, 4059, 4096, 4131, 4256, 4320, 4347, 4355, 4356, 4788, 4913, 4941.

Liste des partitions jusqu'à 1000

Suite Sommes de cubes consécutifs

Différences de k cubes de nombres consécutifs
k = 2 Peut être premier Multiple de 6 plus 1	= 3n² – 3n + 1 = 3n (n – 1) + 1	Voir Nombre cubains
k = 3 Donne 6n	= 6n
k = 4 Donne 18n	= 18n 1^3 – 2^3 – 4^3 + 5^3 = 18 x 3 = 54 2^3 – 3^3 – 5^3 + 6^3 = 18 x 4 = 72
k= 4 L'écart de 3^e niveau entre cubes est égal à 6	= 6

Voir Machine de Babbage

Somme de cubes = carré ou cube
Somme de cubes = carré La somme des cubes des nombres de 1 à n est égale à: Soit le nombre triangulaire d'ordre n au carré. Conséquence: toutes les sommes de cubes consécutifs commençant par 1 sont des carrés. Exemple: 1^3 + 2^3 + 3^3 = 6^2 = 36 Le plus petit carré avec premier terme différent de 1 est: 9^3 + 10^3 + … + 25^3 = 323^2 = 104 329	a, b, q, S, S^2 q = quantité de termes Avec premier nombre = 1 1, 2, 2, 3, 9 1, 3, 3, 6, 36 1, 4, 4, 10, 100 1, 5, 5, 15, 225 … Avec premier nombre différent de 1 9, 25, 17, 323, 104329 14, 25, 12, 312, 97344 23, 25, 3, 204, 41616 25, 29, 5, 315, 99225 14, 34, 21, 588, 345744 28, 35, 8, 504, 254016 25, 39, 15, 720, 518400 33, 65, 33, 2079, 4322241 69, 100, 32, 4472, 19998784 96, 100, 5, 2170, 4708900
Somme de cubes = cube La somme des cubes des nombres de a à b est égale à: Exemple Somme des cubes de 6 à 69 et calcul de sa racine cubique: Lecture de la table 3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3 = 216 11^3 + 12^3 + 13^3 + 14^3 = 20^3 = 8000 6^3 + 7^3 + …+ 69^3 = 180^3 = 5 832 000	a, b, q, S, S^3 q = quantité de termes 3, 5, 3, 6, 216 11, 14, 4, 20, 8000 3, 22, 20, 40, 64000 6, 30, 25, 60, 216000 15, 34, 20, 70, 343000 6, 69, 64, 180, 5832000 11, 109, 99, 330, 35937000 34, 158, 125, 540, 157464000 291, 339, 49, 1155, 1540798875 213, 365, 153, 1581, 3951805941 213, 555, 343, 2856, 23295638016 273, 560, 288, 2856, 23295638016 556, 654, 99, 2805, 22069810125 646, 798, 153, 3876, 58230605376 406, 917, 512, 5544, 170400029184

Voir Nombre 180 / Nombre 216

Table des nombres, somme de trois cubes consécutifs / Nombres somme de 1 à 5 cubes

Suite	Somme de puissances Somme de cubes – Tables
Table	Carrés, cubes … et leurs cumuls
Voir	Carrés Constantes Cubes Factorielles et somme des entiers Isopérimètre Nombres consécutifs Index Nombres géométriques Pairs et impairs Somme cubes Tautochronie Théorèmes
DicoNombre	Nombre 6
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Identite/SomCube.htm