NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 08/02/2012 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
	IDENTITÉS
Débutants Addition	SOMMES de 1 à n				Glossaire Addition
INDEX Identités	Index et Bases	Carrés	Cubes	2, 3, 5 …
		Somme des puissances de 2 à 20
	Sommaire de cette page >>> Somme des cubes >>> Observations >>> Somme de cubes >>> Différences de cubes

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SOMMES des CUBES

avec nombres consécutifs

Somme des CUBES
>>>	Cubes	1^3 + 2^3 + … + n^3	= 1/4 n² (n + 1)²
>>>	Cubes pairs	2^3 + 4^3 + … + (2n)^3	= 2 n² (n + 1)²
>>>	Cubes impairs	1^3 + 3^3 + … + (2n+1)^3	= n² (2n² – 1)
>>>	(1) Inverses	1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 …	= 1,20205689… = (3)
	(2) Inverses pairs	1/2^3 + 1/4^3 + 1/6^3 …	= 0,15025711…
	(3) Inverses impairs (1)-(2)	1/1^3 + 1/3^3 + 1/5^3 …	= 1,05179978…
	(4) Inverses alternés (3)-(2)	1/1^3 – 1/2^3 + 1/3^3 – …	= 0,90154267…
	(5) Inverses pairs alternés	1/2^3 – 1/4^3 + 1/6^3 – …	= 0,11269283…
	(6) Inverses impairs alternés	1/1^3 – 1/3^3 + 1/5^3 – …	= 0,96894614…
	Quinconce	1^3 + 3.2^2 + 3^3 + 3.4^2 + 5^3 + 3.6^2 + 7^3 … + T Impair => T = n^3 Pair => T = (n–1) n²	n pair S = 1/8 n(n^3+4n²+10n+8) n impair S = 1/8 (n+1) (n^3+7n²–3n–1)

Observations

Cubes

Somme des cubes = carré

= 1³ + 2³ + 3³ + … + n³

= ( 1 + 2 + 3 + … + n )²

= 1/4 (n⁴ + 2n³ + n² )

= T_n²

Voir Démonstration

Conséquence évidente:

La somme des cubes des nombres consécutifs est divisible par la somme de ces nombres. En effet:

1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = (1 + 2 + 3 + … + n) (1 + 2 + 3 + … + n)

1³ + 2³ + 3³ = 36 = (1 + 2 + 3) (1 + 2 + 3) = 6 x 6

Parfaits

Tous les nombres parfaits pairs sont la somme

des cubes de nombres impairs consécutifs.

6	Exception
28	1^3 + 3^3
496	1^3 + 3^3 + 5^3 + 7^3
8 128	1^3 + 3^3 + 5^3 + 7^3 + 9^3 + 11^3 + 13^3 + 15^3
Etc.

Sommes de k cubes de nombres consécutifs
k = 2 Divisible par 2n+1	= (2n + 1) (n² + n + 1)	2^3 + 3^3 = 5 x 7 = 35 3^3 + 4^3 = 7 x 13 = 91 4^3 + 5^3 = 9 x 21 = 189
k = 3 Divisible par 3n Divisible par 9	= 3n (n² + 2)	1^3 + 2^3 + 3^3 = 6 x 6 = 36 2^3 + 3^3 + 4^3 = 11 x 9 = 99 3^3 + 4^3 + 5^3 = 12 x 18 = 216 Voir Divisiblité par 9
k = 4 Divisible par 2(2n+3)	= 2(2n + 3) (n² + 3n + 6)	1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 10 x 10 = 100 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 = 14 x 16 = 224 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 = 18 x 24 = 432
k = 5 Divisible par 5n	= 5n (n² + 6) 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 = 15 x 15 = 225 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 = 20 x 22 = 440 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 = 25 x 31 = 775
k = 6 Divisible par 6n+15	= 3 (2n + 5) (n² + 5n + 15) 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 = 21 x 21 = 441 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 = 27 x 29 = 783 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 + 8^3 = 33 x 39 = 1287

Différences de k cubes de nombres consécutifs
k = 2 Peut être premier Multiple de 6 plus 1	= 3n² – 3n + 1 = 3n (n – 1) + 1	Voir Nombre cubains
k = 3 Donne 6n	= 6n
k = 4 Donne 18n	= 18n 1^3 – 2^3 – 4^3 + 5^3 = 18 x 3 = 54 2^3 – 3^3 – 5^3 + 6^3 = 18 x 4 = 72
k= 4 L'écart de 3^e niveau entre cubes est égal à 6	= 6

Voir Machine de Babbage

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Suite	Somme de puissances Somme de cubes – Tables
Table	Carrés, cubes … et leurs cumuls
Voir	Carrés Constantes Cubes Factorielles et somme des entiers Isopérimètre Nombres consécutifs Index Nombres géométriques Pairs et impairs Somme cubes Tautochronie Théorèmes
DicoNombre	Nombre 6