NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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IDENTITÉS

 

Débutants

Somme

SOMMES de 1 à n

 

Glossaire

Addition

 

 

INDEX

 

Sommes

 

Calcul

 

Identités

 

Index et Bases

Carrés

Cubes

2, 3, 5 …

Somme des puissances de 2 à 20

 

Sommaire de cette page

>>> Somme des cubes

>>> Observations

>>> Cubes empilés en pyramide

>>> Somme de cubes

>>> Différences de cubes

 

 

 

 

 

 

SOMMES des CUBES

avec nombres consécutifs

Voir Cubes / Somme de k cubes / Somme des trois cubes

 

 

 

Somme des CUBES

>>>

Cubes

13 + 23 + … + n3

= 1/4 n² (n + 1)²

>>>

Cubes pairs

23 + 43 + … + (2n)3

=    2 n² (n + 1)²

>>>

Cubes impairs

13 + 33 + … + (2n – 1)3

=       n² (2n² – 1)

>>>

(1) Inverses

1/13 + 1/23 + 1/33

= 1,20205689…

= (3)

(2) Inverses pairs

1/23 + 1/43 + 1/63

= 0,15025711…

(3) Inverses impairs (1)-(2)

1/13 + 1/33 + 1/53

= 1,05179978…

 

(4) Inverses alternés (3)-(2)

1/13 – 1/23 + 1/33 – …

= 0,90154267…

 

(5) Inverses pairs alternés

1/23 – 1/43 + 1/63 – …

= 0,11269283…

 

(6) Inverses impairs alternés

1/13 – 1/33 + 1/53 – …

= 0,96894614…

 

Quinconce

13 + 3.22 + 33  + 3.42 + 53  + 3.62 + 73  … + T

Impair => T = n3

Pair     => T = (n1) n²

n pair 

S = 1/8 n(n3+4n²+10n+8)

n impair

S = 1/8 (n+1) (n3+7n²3n1)

 

 

Cubes en progression arithmétique

S = 53 + 113 + 173 + 233 = 18 536

F = 5     L= 23 = F + (n-1) r

n = 4     r = 6

Voir Brève 535

T = 1/2 n (F + L)

S = r.T2 + T.F (F – r)

 

 

 

Observations

 

Cubes

 

Somme des cubes = carré

=  13 + 23 + 33 + … +  n3

= ( 1 + 2  + 3 +    + n )2

= 1/4 (n4 + 2n3 + n2 )

= Tn2

Voir Démonstration

 

Conséquence évidente: 

La somme des cubes des nombres consécutifs est divisible par la somme de ces nombres. En effet:

13 + 23 + 33 + … +  n3 = (1 + 2 + 3 +    + n) (1 + 2 + 3 +    + n)

13 + 23 + 33 = 36 = (1 + 2 + 3) (1 + 2 + 3) = 6 x 6

 

 

Parfaits

Tous les nombres parfaits pairs sont la somme

des cubes de nombres impairs consécutifs.

 

6

Exception

28

13 + 33

496

13 + 33 + 53 + 73

8 128

13 + 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153

Etc.

 

 

 

 

 

 

Cubes empilés en pyramide

 

Problème

*      Nous disposons de cubes de 1 cm de côté.

*      Combien de cubes pour former une pyramide de cubes de taille 1, puis 2, puis 3, etc.

*      Disposant de 2500 petits cubes quelle est la hauteur de la pyramide?

 

Solution

*      Chaque plus gros cube de taille n (n petits cubes sur un côté) compte n3 petits cubes. Pour n = 2, il y a 23 = 8 petits cubes. Pour 3, ce sera 3 x 3 x 3 = 27.

*      De sorte que: la quantité de cubes au fur et à mesure de la construction de la pyramide passe par les valeurs successives:1, 1 + 8 = 9, 9 + 27 = 36 … La suite est donnée sur le tableau ci-dessous.

*      La hauteur progresse également en commençant par 1, puis 1 + 2 = 3, 3 + 3 = 6 …

 

 

Tableau donnant la quantité de cubes et la hauteur

 

Avec 2500 cubes, il est possible de construire une pyramide jusqu'à l'ordre 9, soit 45 cm de haut avec exactement 2025 cubes. Il en reste 2500 – 2025 = 475.

 

Somme des cubes

Nous venons de calculer la somme cumulée des cubes et la somme cumulée des entiers (les nombres triangulaires). Les deux sommes sont l'une le carré de l'autre. Ainsi 45² = 2025.

 

 

 

 

 

Sommes de k cubes de nombres consécutifs

*      k = 2

Divisible par 2n+1

 

= (2n + 1) (n² + n + 1)

23 + 33 = 5 x   7 =   35

33 + 43 = 7 x 13 =   91

43 + 53 = 9 x 21 = 189

*      k = 3

Divisible par 3n Divisible par 9

= 3n (n² + 2)

13 + 23 + 33 =   6 x   6 =     36

23 + 33 + 43 = 11 x   9 =     99

33 + 43 + 53 = 12 x 18 =   216

Voir Divisiblité par 9

Carré somme de trois cubes consécutifs

(Trois seuls cas jusqu'à au moins un million)

  9 = 3² = 03 + 13 + 23

36 = 6² = 13 + 23 + 33

41 616 = 204² = 233 + 243 + 253

Cube sommes de trois cubes consécutifs

216 = 63 = 33 + 43 + 53

59 6503 = 413583 + 413593 + 413603

119 3003 = 827173 + 827183 + 827193

Etc. (très nombreux)

*      k = 4

Divisible par 2(2n+3)

= 2(2n + 3) (n² + 3n + 6)

13 + 23 + 33 + 43 =   10 x   10 =     100

23 + 33 + 43 + 53 =   14 x   16 =     224

33 + 43 + 53 + 63 =   18 x   24 =     432

*      k = 5

Divisible par 5n

= 5n (n² + 6)

13 + 23 + 33 + 43 + 53 =   15 x   15 =     225

23 + 33 + 43 + 53 + 63 =   20 x   22 =     440

33 + 43 + 53 + 63 + 73 =   25 x   31 =     775

 

*      k = 6
Divisible par 6n+15

= 3 (2n + 5) (n² + 5n + 15)

13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 = 21 x 21 =     441

23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 = 27 x 29 =     783

33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 = 33 x 39 =   1287

 

 

Différences de k cubes de nombres consécutifs

*      k = 2

Peut être premier

Multiple de 6 plus 1

= 3n² – 3n + 1

= 3n (n – 1) + 1

Voir Nombre cubains

*      k = 3

Donne 6n

= 6n

*      k = 4

Donne 18n

= 18n

13  23  43 + 53 = 18 x 3  =   54

23  33  53 + 63 = 18 x 4  =   72

*      k= 4

L'écart de 3e niveau entre cubes est égal à 6

= 6

Voir Machine de Babbage

 

Somme de cubes  = carré ou cube

 

Somme de cubes = carré

La somme des cubes des nombres de 1 à n est égale à:

Soit le nombre triangulaire d'ordre n au carré.

Conséquence: toutes les sommes de cubes consécutifs commençant par 1 sont des carrés.

 

Exemple: 13 + 23 + 33 = 62 = 36

 

Le plus petit carré avec premier terme différent de 1 est:

93 + 103 + … + 253 = 3232 = 104 329

 

 

a,   b,   q,   S,   S2

q = quantité de termes

Avec premier nombre = 1

1, 2, 2, 3, 9

1, 3, 3, 6, 36

1, 4, 4, 10, 100

1, 5, 5, 15, 225

Avec premier nombre  différent de 1

9, 25, 17, 323, 104329

14, 25, 12, 312, 97344

23, 25, 3, 204, 41616

25, 29, 5, 315, 99225

14, 34, 21, 588, 345744

28, 35, 8, 504, 254016

25, 39, 15, 720, 518400

33, 65, 33, 2079, 4322241

69, 100, 32, 4472, 19998784

96, 100, 5, 2170, 4708900

 

Somme de cubes = cube

La somme des cubes des nombres de a à b est égale à:

 

Exemple

Somme des cubes de 6 à 69 et calcul de sa racine cubique:

Lecture de la table

33 + 43 + 53 = 63 = 216

113 + 123 + 133 + 143 = 203 = 8000

63 + 73 + …+ 693 = 1803 = 5 832 000

 

 

 

a,   b,   q,   S,   S3

q = quantité de termes

 

3, 5, 3, 6, 216

11, 14, 4, 20, 8000

3, 22, 20, 40, 64000

6, 30, 25, 60, 216000

15, 34, 20, 70, 343000

6, 69, 64, 180, 5832000

11, 109, 99, 330, 35937000

34, 158, 125, 540, 157464000

291, 339, 49, 1155, 1540798875

213, 365, 153, 1581, 3951805941

213, 555, 343, 2856, 23295638016

273, 560, 288, 2856, 23295638016

556, 654, 99, 2805, 22069810125

646, 798, 153, 3876, 58230605376

406, 917, 512, 5544, 170400029184

 

Voir Nombre 180 / Nombre 216

Table des nombres, somme de trois cubes consécutifs /  Nombres somme de 1 à 5 cubes

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Somme de puissances

*    Somme de cubes – Tables

Table

*    Carrés, cubes … et leurs cumuls

Voir

*    Carrés

*    Constantes

*    Cubes

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