NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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DIVISION

 

Débutants

Division

Divisibilité

 

Glossaire

Division

 

 

Index général

 

>>> INDEX

 

Index Divisibilité

A^n + B^n

Somme puissances

A² + B²

A^nB^n

Soustraction puissances

 

Sommaire de cette page

>>> identités remarquables en an – 1n

>>> Identités remarquables en anbn

>>> Programmation

>>> Divisibilité de anbn par (a – b) et (a + b)

>>> Applications numériques – Cas d'une puissance diminuée d'une unité

>>> Autres exemples

 

 

 

 

 

Divisibilité de AnBn

 

 

anbn est toujours divisible par (a – b)

Ex: 7n – 3n divisible par 7 – 3 = 4

       7n – 6n divisible par 7 – 6 = 1, et par 13 si n est pair.

 

Cas où b = 1; où il est question de repdigits

Le développement montre qu'un nombre qu'un nombre à une puissance moins un, est un nombre composé; et, il s'écrit comme un repdigit dans la base puissance moins un. C'est un nombre brésilien.

Voir Identités remarquables

 

 

Identité en an – 1n

Voir Nombres brésiliens / Sommes des puissances successives d'un nombre

 

 

Application aux puissances de 2

Voir Puissance de 2

 

 

 

Identités remarquables en anbn


Développement de anbn selon la valeur de n, avec mise en évidence des facteurs en (a + b et (a – b)

 

Exemple de lecture pour n = 4 => a4 – b4 = (a – b) (a + b) (a²+ b²).

 

Propriété

*    (a – b) est toujours un facteur de anbn , et

*    (a + b) est aussi un facteur pour n pair.

*    (a² + b²) pour n divisible par 4.

*    (a² + ab + b²) pour n divisible par 3. Et d'autres à découvrir …

Notez les formes factorisées pour les puissances de 2, comme:

Pas de magie! Applications en cascade d'une identité remarquable classique:

a32 – b32 = (a16 – b16) (a16 + b16) = (a8 – b8) (a8 + b8) (a16 + b16)  = …

 

 

Table des identités pour n de 2 à 20

Merci à Benoit P. pour son aide

 

Programmation Maple

 

Programme

Alternative abrégée

Programme très simple avec mise en place d'une boucle qui explore les valeurs de n de 2 à 4.

La mémoire A prend la valeur littérale anbn dont la factorisation est placée dans la mémoire B.

Impression de ce que contiennent A et B avec le signe égal placé entre les deux.

 

L'alternative en une seule instruction est possible sans risque d'erreur ici, bien que déconseillée pour des programmes un peu plus complexes.

Voir ProgrammationIndex

 

 

 

 

Divisibilité de anbn par (a – b) et (a + b)

 

Puissance n = 2k (paire)

Divisible par a – b 

Divisible par a + b

 

a – b 

a + b

| anbn    avec n = 2k

| anbn    avec n = 2k

 

Puissance n = 2k+1 (impaire)

Divisible par a – b

a – b 

| anbn    avec n = 2k+1

 

Conclusion

 

anbn est divisible par a – b pour toutes les puissances n impaires.

et en plus par a + b pour les puissances n paires.

 

 

 

 

Applications numériques

Cas d'une puissance diminuée d'une unité

 

Exemple

34 – 14 = 81 – 1 = 80

             = 2 x 40 (divisible par 3 – 1 = 2)

             = 8 x 10 (divisible, en plus par 3 + 1 = 4)

 

   

 

Généralisation

 

Toutes les puissances, paires et impaires, de a, diminuées d'une unité, 

sont divisibles par a -1

 

Toutes les puissances paires de a, diminuées d'une unité, 

sont divisibles par a² -1

 

 

 

 

 

Autres exemples (divisibilité pour les puissances paires)

 

 

Exemple

5444 = 625 – 256 = 369 qui est divisible par (5 + 4) = 9, en effet: 369 = 9 x 41

 

 

 

 

Suite

*  Applications numériques

Voir

*  DivisibilitéIndex 

*  Somme de puissances

*  Diviseurs

*  Nombres consécutifs

*  Formes polynomiales divisibles

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Decompos/Divanmbn.htm