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ORIENTATION GÉNÉRALE    -   M'écrire   -   Édition du: 30/01/2012

Débutants

Général

RUBRIQUE   Divisibilité

Glossaire Général

 

An - Bn

 

 

§  Index Divisibilité

§  A^n + B^n

§  Somme puissances

 

 

§  A² + B²

§  A^n – B^n

§  Soustraction puissances

 

 

 

 

 

Identités remarquables (rappel)

-Ý-

 

an - bn

 

n

Développement

1

(a-b)

 

2

(a-b)  (a+b)

 

3

(a-b)

(a^2+a*b+b^2)

4

(a-b)  (a+b)

(a^2+b^2)

5

(a-b)

(a^4+a^3*b+a^2*b^2+a*b^3+b^4)

6

(a-b)  (a+b)

(a^2+a*b+b^2)*(a^2-a*b+b^2)

7

(a-b)

(a^6+a^5*b+a^4*b^2+a^3*b^3+a^2*b^4+a*b^5+b^6)

8

(a-b)  (a+b)

(a^2+b^2)*(a^4+b^4)

9

(a-b)

(a^2+a*b+b^2)*(a^6+a^3*b^3+b^6)

10

(a-b)  (a+b)

(a^4+a^3*b+a^2*b^2+a*b^3+b^4)*(a^4-a^3* b+a^2*b^2-a*b^3+b^4)

11

(a-b)

(b^10+a^10+a^9*b+a^8*b^2+a^7*b^3+a^6*b^4+a^5*

b^5+a^4*b^6+a^3*b^7+a^2*b^8+a*b^9)

12

(a-b)  (a+b)

(a^2+a*b+b^2)*(a^2-a*b+b^2)*(a^2+b^2)*(a^4-a^2*b^2+b^4)

13

(a-b)

(b^12+a^12+a^11*b+a^10*b^2+a^9*b^3+a^8*b^4+a^7*

b^5+a^6*b^6+a^5*b^7+a^4*b^8+a^3*b^9+a^2*b^10+a*b^11)

14

(a-b)  (a+b)

(a^6+a^5*b+a^4*b^2+a^3*b^3+a^2*b^4+a*

b^5+b^6)*(b^6-a*b^5+a^2*b^4-a^3*b^3+a^4*b^2-a^5*b+a^6)

15

(a-b)

(a^4+a^3*b+a^2*b^2+a*b^3+b^4)*(a^2+a*b+b^2)*

(b^8-a*b^7+a^3*b^5-a^4*b^4+a^5*b^3-a^7*b+a^8)

16

(a-b)  (a+b)

(a^2+b^2)*(a^4+b^4)*(a^8+b^8)

17

(a-b)

b^16+a^16+a^15*b+a^14*b^2+a^13*b^3+a^12*b^4+

a^11*b^5+a^10*b^6+a^9*b^7+a^8*b^8 +a^7*b^9+a^6*b^10+

a^5*b^11+a^4*b^12+a^3*b^13+a^2*b^14+a*b^15)

18

(a-b)  (a+b)

(a^2+a*b+b^2)*(a^6+a^3*b^3+b^6)* (a^2-a*b+b^2)*(a^6-a^3*b^3+b^6)

19

(a-b)

b^18+a^18+a^17*b+a^16*b^2+a^15*b^3+a^14*b^4+

a^13*b^5+a^12*b^6+a^11*b^7+a^10*b^8+a^9*b^9+a^8*b^10+

a^7*b^11+a^6*b^12+a^5*b^13+a^4*b^14+a^3*b^15+a^2*b^16+a*b^17)

20

(a-b)  (a+b)

(a^4+a^3*b+a^2*b^2+a*b^3+b^4)*(a^4-a^3*b+a^2*b^2-

a*b^3+b^4)*(a^2+b^2)*(a^8-a^6*b^2+a^4*b^4-a^2*b^6+b^8)

 

Notation ordinateur avec * comme pour la multiplication et ^ pour l'élévation à la puissance

 

Voir  Identités remarquables

 

 

Divisibilité de an - bn

-Ý-

 

   Divisibilité par (a + b) ?

 

Ø Puissance n = 2k (paire)

§  Divisible par a - b

§  Divisible par a + b

a - b

a + b

| an - bn    avec n = 2k

| an - bn    avec n = 2k

Ø Puissance n = 2k+1 (impaire)

§  Divisible par a - b

a - b

| an - bn    avec n = 2k+1

 

  

Conclusion

 

an - bn est divisible par a - b pour toutes les puissances n impaires

et en plus par a + b pour les puissances n paires

 

 

 

 

Applications numériques

-Ý-

 

 

Cas d'une puissance diminuée d'une unité

Exemple

34 – 14 = 81 – 1 = 80

             = 2 x 40 (divisible par 3-1 = 2)

             = 8 x 10 (divisible, en plus par 3+1 = 4)

 

                   S = 2n – 1         S / 1              S / 3

n = 1              1                  1                  1/3

2                  3                  3                  1

3                  7                  7                  7/3

4                  15                 15                 5

5                  31                 31                 31/3

6                  63                 63                 21

7                  127                127                127/3

8                  255                255                85

9                  511                511                511/3

10                 1023               1023               341

Toutes les puissances paires de 2, diminuées d'une unité, 

sont divisibles par 3 (= 2² - 1)

 

                   S = 3n – 1              S / 2              S / 8

n = 1              2                  1                  1/4

2                  8                  4                  1

3                  26                 13                 13/4

4                  80                 40                 10

5                  242                121                121/4

6                  728                364                91

7                  2186               1093               1093/4

8                  6560               3280               820

9                  19682              9841               9841/4

10                 59048              29524              7381

Toutes les puissances paires de 3, diminuées d'une unité, 

sont divisibles par 8 (= 3² - 1)

 

                   S = 4n – 1              S / 3              S / 15

n = 1              3                  1                  1/5

2                  15                 5                  1

3                  63                 21                 21/5

4                  255                85                 17

5                  1023               341                341/5

6                  4095               1365               273

7                  16383              5461               5461/5

8                  65535              21845              4369

9                  262143             87381              87381/5

10                 1048575            349525             69905

Toutes les puissances paires de 4, diminuées d'une unité, 

sont divisibles par 15 (= 4² - 1)

 

                   S = 5n – 1              S / 4              S / 24

n = 1              4                  1                  1/6

2                  24                 6                  1

3                  124                31                 31/6

4                  624                156                26

5                  3124               781                781/6

6                  15624              3906               651

7                  78124              19531              19531/6

8                  390624             97656              16276

9                  1953124            488281             488281/6

10                 9765624            2441406            406901

Toutes les puissances paires de 5, diminuées d'une unité, 

sont divisibles par 24 (= 5² - 1)

 

                   S = 6n – 1              S / 5              S / 35

n = 1              5                  1                  1/7

2                  35                 7                  1

3                  215                43                 43/7

4                  1295               259                37

5                  7775               1555               1555/7

6                  46655              9331               1333

7                  279935             55987              55987/7

8                  1679615            335923             47989

9                  10077695           2015539            2015539/7

10                 60466175           12093235           1727605

Toutes les puissances paires de 6, diminuées d'une unité, 

sont divisibles par 35 (= 6² - 1)

 

                   S = 7n – 1              S / 6              S / 48

n = 1              6                  1                  1/8

2                  48                 8                  1

3                  342                57                 57/8

4                  2400               400                50

5                  16806              2801               2801/8

6                  117648             19608              2451

7                  823542             137257             137257/8

8                  5764800            960800             120100

9                  40353606           6725601            6725601/8

10                 282475248          47079208           5884901

Toutes les puissances paires de 7, diminuées d'une unité, 

sont divisibles par 48 (= 7² - 1)

 

 

Généralisation

 

Toutes les puissances, paires et impaires, de a, diminuées d'une unité, 

sont divisibles par a -1

 

Toutes les puissances paires de a, diminuées d'une unité, 

sont divisibles par a² -1

 

 

 

 

 

Autres exemples (divisibilité pour les puissances paires)

-Ý-

 

      3n – 2n

n        S           S/5

2        5           1

4        65          13

6        665         133

8        6305        1261

10       58025       11605

 

 

 

      5n – 4n

2      9            1

4      369          41

6      11529        1281

8      325089       36121

10     8717049      968561

 

 

 

       4n – 3n

n       S           S/7

2       7           1

4       175         25

6       3367        481

8       58975       8425

10      989527      141361

 

 

 

       6n – 5n

2    11           1

4    671          61

6    31031        2821

8    1288991      117181

10   50700551     4609141

 

Exemple

54 – 44 = 625 – 256 = 369 qui est divisible par (5 + 4) = 9, en effet: 369 = 9 x 41

 

 

 

 

-Ý-

Voir

§  Divisibilité  - Index

§  Somme de puissances

 

Aussi

§  Diviseurs

§  Nombres consécutifs

§  Formes polynomiales divisibles