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Édition du: 04/04/2020

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Brèves de Maths

 

INDEX

 

Chiffres

 

Types de nombres

 

 

CHIFFRES – Fréquence

Nombre normal

Probabilité

 Loi de Benford

Quantité de couples

Auto-descriptifs

Combinaisons

 

 

Quantité de couple de 0 à 10n

 

Dans combien de nombres retrouve-t-on un couple de chiffres différents, chacun étant unique ? Comme pour les chiffres 2 et 3 tous deux présents une seule fois dans ces nombres: 123, 132, 203, 213, 230, 231, …

 

 

Sommaire de cette page

>>> Combien de fois le chiffre 2 (ou k)

>>> Combien de 2 et de 3 (ou h et k)

>>> Combien de 2 et de 3 uniques de 0 à 9999

>>> Combien de k et de h uniques par tranches

>>> Programmation Python

>>> Programmation Maple

>>> Bilan

 

Débutants

Nombres

 

Glossaire

Nombres

Chiffres

 

Combien de fois le chiffre 2 (ou k)

haut

 

Nombres à deux chiffres

Quelle est la quantité de 2 dans les nombres de 10 à 99 ?

Avec ces nombres à deux chiffres, il y a 18 cas de présence du 2 et 17 cas avec un 2 unique.

Passage de 2 à k sans difficulté.

 

n

2

22

2seul

10 à 19

1

 

1

20 à 29

10

1

9

30 à 99

7

 

7

Total

18

1

17

 

 

Nombres à trois chiffres

Quelle est la quantité de 2 dans les nombres de 100 à 999 ?

Avec ces nombres à deux chiffres, il y a 252 cas de présence du 2 et 225 cas avec un 2 unique.

 

n

2

22

2seul

100 à 199

19

1

18

200 à 299

100

19

81

300 à 999

133

7

126

Total

252

27

225

 

 

 

Combien de 2 et de 3 (ou h et k)

haut

Nombres à deux chiffres

Quelle est la quantité de 2 et de 3 uniques dans les nombres de 10 à 99 ?

Cas où 2 et 3 sont présents: 23 et 32.

 

n

2seul

3seul

23seul

10 à 19

1

1

 

20 à 29

9

1

1

30 à 39

1

9

1

40 à 99

6

6

 

Total

17

17

2

 

 

Nombres à trois chiffres

Quelle est la quantité de 2 et de 3 uniques  dans les nombres de 100 à 999 ?

De 100 à 199, on  trouve 18 fois le 2 unique et le trois unique, mais seulement 2 fois ensemble pour: 123 et 132.

De 200 à 299 on a le 3 unique 18 fois dont deux uniques auxquels il faut retirer les cas de 2 doubles: 223 et 232.

 

 

n

2seul

3seul

23seul

100 à 199

18

18

2

200 à 299

81

18

16

300 à 399

18

81

16

400 à 999

108

108

12

Total

225

225

46

 

Liste des nombres à trois chiffres ayant un 2 et un 3 uniques

Ils sont 46 nombres à trois chiffres avec un 2 unique ET avec un 3 unique.

Même compte pour deux chiffres quelconques (h et k) mais différents.

 

123, 132, 203, 213, 230, 231, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 243, 253, 263, 273, 283, 293, 302, 312, 320, 321, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 342, 352, 362, 372, 382, 392, 423, 432, 523, 532, 623, 632, 723, 732, 823, 832, 923, 932.

Nombres à quatre chiffres

Quelle est la quantité de 2 et de 3 uniques dans les nombres de 1000 à 9999 ?

Ils sont 720.

 

n

2seul

3seul

23seul

1000 à 1999

243

243

48

2000 à 2999

729

243

192

3000 à 3999

243

729

192

4000 à 9999

1 458

1 458

288

Total

2 673

2 673

720

 

 

Combien de 2 et de 3 uniques de 0 à 9999

haut

Récapitulatif pour les nombres jusqu'à 9 999 avec 2 et 3 uniques (ou h et k uniques).

Ils sont 768.

 

et

 

Liste des 768 nombres avec 2 et 3 uniques

 

n

2seul

3seul

23seul

0 à 9

1

1

0

10 à 99

17

17

2

100 à 999

225

225

46

1000 à 9999

2 673

2 673

720

Total

2 916

2 916

768

Voir DicoNombre 768

 

 

23, 32, 123, 132, 203, 213, 230, 231, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 243, 253, 263, 273, 283, 293, 302, 312, 320, 321, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 342, 352, 362, 372, 382, 392, 423, 432, 523, 532, 623, 632, 723, 732, 823, 832, 923, 932, 1023, 1032, 1123, 1132, 1203, 1213, 1230, 1231, 1234, 1235, 1236, 1237, 1238, 1239, 1243, 1253, 1263, 1273, 1283, 1293, 1302, 1312, 1320, 1321, 1324, 1325, 1326, 1327, 1328, 1329, 1342, 1352, 1362, 1372, 1382, 1392, 1423, 1432, 1523, 1532, 1623, 1632, 1723, 1732, 1823, 1832, 1923, 1932, 2003, 2013, 2030, 2031, 2034, 2035, 2036, 2037, 2038, 2039, 2043, 2053, 2063, 2073, 2083, 2093, 2103, 2113, 2130, 2131, 2134, 2135, 2136, 2137, 2138, 2139, 2143, 2153, 2163, 2173, 2183, 2193, 2300, 2301, 2304, 2305, 2306, 2307, 2308, 2309, 2310, 2311, 2314, 2315, 2316, 2317, 2318, 2319, 2340, 2341, 2344, 2345, 2346, 2347, 2348, 2349, 2350, 2351, 2354, 2355, 2356, 2357, 2358, 2359, 2360, 2361, 2364, 2365, 2366, 2367, 2368, 2369, 2370, 2371, 2374, 2375, 2376, 2377, 2378, 2379, 2380, 2381, 2384, 2385, 2386, 2387, 2388, 2389, 2390, 2391, 2394, 2395, 2396, 2397, 2398, 2399, 2403, 2413, 2430, 2431, 2434, 2435, 2436, 2437, 2438, 2439, 2443, 2453, 2463, 2473, 2483, 2493, 2503, 2513, 2530, 2531, 2534, 2535, 2536, 2537, 2538, 2539, 2543, 2553, 2563, 2573, 2583, 2593, 2603, 2613, 2630, 2631, 2634, 2635, 2636, 2637, 2638, 2639, 2643, 2653, 2663, 2673, 2683, 2693, 2703, 2713, 2730, 2731, 2734, 2735, 2736, 2737, 2738, 2739, 2743, 2753, 2763, 2773, 2783, 2793, 2803, 2813, 2830, 2831, 2834, 2835, 2836, 2837, 2838, 2839, 2843, 2853, 2863, 2873, 2883, 2893, 2903, 2913, 2930, 2931, 2934, 2935, 2936, 2937, 2938, 2939, 2943, 2953, 2963, 2973, 2983, 2993, 3002, 3012, 3020, 3021, 3024, 3025, 3026, 3027, 3028, 3029, 3042, 3052, 3062, 3072, 3082, 3092, 3102, 3112, 3120, 3121, 3124, 3125, 3126, 3127, 3128, 3129, 3142, 3152, 3162, 3172, 3182, 3192, 3200, 3201, 3204, 3205, 3206, 3207, 3208, 3209, 3210, 3211, 3214, 3215, 3216, 3217, 3218, 3219, 3240, 3241, 3244, 3245, 3246, 3247, 3248, 3249, 3250, 3251, 3254, 3255, 3256, 3257, 3258, 3259, 3260, 3261, 3264, 3265, 3266, 3267, 3268, 3269, 3270, 3271, 3274, 3275, 3276, 3277, 3278, 3279, 3280, 3281, 3284, 3285, 3286, 3287, 3288, 3289, 3290, 3291, 3294, 3295, 3296, 3297, 3298, 3299, 3402, 3412, 3420, 3421, 3424, 3425, 3426, 3427, 3428, 3429, 3442, 3452, 3462, 3472, 3482, 3492, 3502, 3512, 3520, 3521, 3524, 3525, 3526, 3527, 3528, 3529, 3542, 3552, 3562, 3572, 3582, 3592, 3602, 3612, 3620, 3621, 3624, 3625, 3626, 3627, 3628, 3629, 3642, 3652, 3662, 3672, 3682, 3692, 3702, 3712, 3720, 3721, 3724, 3725, 3726, 3727, 3728, 3729, 3742, 3752, 3762, 3772, 3782, 3792, 3802, 3812, 3820, 3821, 3824, 3825, 3826, 3827, 3828, 3829, 3842, 3852, 3862, 3872, 3882, 3892, 3902, 3912, 3920, 3921, 3924, 3925, 3926, 3927, 3928, 3929, 3942, 3952, 3962, 3972, 3982, 3992, 4023, 4032, 4123, 4132, 4203, 4213, 4230, 4231, 4234, 4235, 4236, 4237, 4238, 4239, 4243, 4253, 4263, 4273, 4283, 4293, 4302, 4312, 4320, 4321, 4324, 4325, 4326, 4327, 4328, 4329, 4342, 4352, 4362, 4372, 4382, 4392, 4423, 4432, 4523, 4532, 4623, 4632, 4723, 4732, 4823, 4832, 4923, 4932, 5023, 5032, 5123, 5132, 5203, 5213, 5230, 5231, 5234, 5235, 5236, 5237, 5238, 5239, 5243, 5253, 5263, 5273, 5283, 5293, 5302, 5312, 5320, 5321, 5324, 5325, 5326, 5327, 5328, 5329, 5342, 5352, 5362, 5372, 5382, 5392, 5423, 5432, 5523, 5532, 5623, 5632, 5723, 5732, 5823, 5832, 5923, 5932, 6023, 6032, 6123, 6132, 6203, 6213, 6230, 6231, 6234, 6235, 6236, 6237, 6238, 6239, 6243, 6253, 6263, 6273, 6283, 6293, 6302, 6312, 6320, 6321, 6324, 6325, 6326, 6327, 6328, 6329, 6342, 6352, 6362, 6372, 6382, 6392, 6423, 6432, 6523, 6532, 6623, 6632, 6723, 6732, 6823, 6832, 6923, 6932, 7023, 7032, 7123, 7132, 7203, 7213, 7230, 7231, 7234, 7235, 7236, 7237, 7238, 7239, 7243, 7253, 7263, 7273, 7283, 7293, 7302, 7312, 7320, 7321, 7324, 7325, 7326, 7327, 7328, 7329, 7342, 7352, 7362, 7372, 7382, 7392, 7423, 7432, 7523, 7532, 7623, 7632, 7723, 7732, 7823, 7832, 7923, 7932, 8023, 8032, 8123, 8132, 8203, 8213, 8230, 8231, 8234, 8235, 8236, 8237, 8238, 8239, 8243, 8253, 8263, 8273, 8283, 8293, 8302, 8312, 8320, 8321, 8324, 8325, 8326, 8327, 8328, 8329, 8342, 8352, 8362, 8372, 8382, 8392, 8423, 8432, 8523, 8532, 8623, 8632, 8723, 8732, 8823, 8832, 8923, 8932, 9023, 9032, 9123, 9132, 9203, 9213, 9230, 9231, 9234, 9235, 9236, 9237, 9238, 9239, 9243, 9253, 9263, 9273, 9283, 9293, 9302, 9312, 9320, 9321, 9324, 9325, 9326, 9327, 9328, 9329, 9342, 9352, 9362, 9372, 9382, 9392, 9423, 9432, 9523, 9532, 9623, 9632, 9723, 9732, 9823, 9832, 9923, 9932.

 

Combien de k et de h uniques par tranches

haut

Toutes les tranches de nombres

Combien de nombres par tranche ayant un seul chiffre k et un seul chiffre h avec k différent de h ?

 

Ils sont 122 880 jusqu'à 1 million

et 1 376 256 jusqu'à 10 millions.

 

n

k ou h seul

k et h seuls

0 à 9

1

0

10 à 99

17

2

100 à 999

225

46

1 000 à 9 999

2 673

720

10 000 à 99 999

29 889

9 472

100 000 à 999 999

321 489

112 640

1 000 000 à 9 999 999

3 365 793

1 253 376

 

 

Programmation Python

haut

 

 

 

Commentaire

La fonction compte dénombre la quantité de caractères n dans le mot N. On traite les nombres comme des chaines de caractères.

Le compteur de caractères kt est initialisé à 0.

La boucle analyse les caractères les uns après les autres.

Si le caractère analysé N[k] est celui recherché, alors incrémenter le compteur kt.

En fin de boucle, retourner la valeur de ce compteur.

 

Le programme principal analyse les nombres de 0 à 9999 (exemple).

Q et R indique respectivement la quantité de 2 et de 3 mis sous forme de caractère avec les guillemets. De même que le nombre k est converti en chaine de caractères (str pour string).

Si chacun vaut 1 (présent une seule fois), alors le compteur C23 est incrémenté.

La quantité de nombres jusqu'à quatre chiffres comprenant un 2 et un 3, chacun unique, est bien: 768.

 

 

Programmation Maple

haut

 

Commentaire

Programme est réalisé avec la même logique que pour  Python.

 

Cette fois, les nombres sont convertis en listes de chiffres et la procédure Compte dénombre la fréquence du chiffre spécifié.

Le programme principal compte la fréquence de chaque nombre (ktx et kty) et celle de l'occurrence simultanée (ktxy).

Le nombre n est transformé en sa liste de chiffres N par convert. C'est cette liste qui est passée dans la procédure qui la connait alors sous le nom de L.

Dans la procédure c'est T qui compte la fréquence du chiffre n.

 

Voir ProgrammationIndex

 

 Bilan

Comment dénombrer la quantité de chiffres sous conditions particuières ?

*      La première méthode consiste à les compter à la main ou à l'aide d'un tableur. Valable pour les petits nombres.

*      La deuxième consiste à élaborer une formule de dénombrement. En l'occurrence, elle devient vite compliquée et sans garantie de justesse.

*      La troisième façon consiste à utiliser un programme. C'est la façon la plus rapide. Ici, le programme Python s'avère beaucoup rapide que le programme Maple. En effet, Python dispose d'instructions simples pour manipuler les nombres comme des chaines de caractères.

 

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