NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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CHIFFRES

 

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Nombres

Fréquence

 

Glossaire

Chiffres

 

 

INDEX

 

Chiffres

Nombre normal

Probabilité

 Loi de Benford

Auto-descriptifs

 

Sommaire de cette page

>>> Quantité de chiffres jusqu'à N

>>> Fréquence d'un chiffre

>>> Fréquence d'une séquence de chiffres

 

 

 

 

FRÉQUENCE des CHIFFRES

 

Quelle est la probabilité de trouver le chiffre 3 dans un très grand nombre ? Pratiquement certaine ! Tous les très, très grands nombres contiennent un 3 et aussi un 4, un 5…

Voir Paradoxes

 

 

Nombres auto-descriptif (self-descriptive numbers)

Nombres dont les chiffres indiquent la quantité de chiffres qu'il contient. Par exemple: 2020 nous indique qu'il contient deux fois le "0" et eux fois le "2". 

Voir Nombre 6 210 001 000

 

 

 

 

 

Pour commencer

Quantité de chiffres

pour écrire tous les nombres jusqu'à N

1 N < 10

Q = N

Q1 = 1

Q9 = 9

10  N < 100

Q = 9 + 2(N – 9)          = 2N – 9

Q10 =   11

Q99 = 189

100  N < 1000

Q = 189 + 3(N – 99)    = 3N – 108

Q100 =    192

Q999 = 2 889

1000  N < 10 000

Q = 2889 + 4(N – 999) = 4N – 1107

Q1000 =   2 893

Q9999 = 38 889

 

Exemples

Combien de chiffres pour paginer un livre de 300 pages:

Q300 = 3 x 300 – 108 =  792 chiffres

Combien de chiffres pour numéroter les 52 maisons de la rue:

Q52 = 2 x 52 – 9 = 95 plaques de chiffres

Voir Quantité de lettres pour écrire les nombres

 

 

 

 

 

 FRÉQUENCE D'UN CHIFFRE

 

Exemple avec le chiffre 3.

 

*    De 0 à 9 , un seul 3.

 

*    De 10 à 99, 19 fois le chiffre 3 dont 9 en unités (verticale) et 10 en dizaines (horizontale).

 

 

La quantité de 3 pour la tranche de 10 à 99 est:
Q100 = 19

 

 

 

 

 

*    De 101 à 1000, nous avons, pour chaque centaine, tous les nombres de 0 à 99  avec une quantité de 3 égale à celle calculée précédemment: Q100 .

*    Puis les centaines en 3 qui sont au nombre de 100.

 

La quantité de 3 pour la tranche de 100 à 999 est: Q1000 = 9Q100 + 100.

 

 

 

 

 

*    La suite se déduit de la même façon:

 

La quantité de 3 pour la tranche en 10n est:

 

 

 

 

*    Soit un nombre avec n chiffres.
Pour chaque position: 10 possibilités

*    Tous les cas où il n'y pas de 3.
Pour chaque position : neuf possibilités.

*    Quantité de cas avec un 3:

 

Quantité de nombres: 10n

 

 

Quantité de cas: 9n

 

 

Quantité de 3:    10n – 9n

 

 

*    Pourcentage de 3 parmi tous ces chiffres.


*    La quantité 9/10 étant inférieure à 1, sa valeur diminue avec la puissance. Elle tend vers 0 pour n très grand.

 

*    Conséquence: à l'infini tous les nombres contiennent un 3. Il est vrai que plus les nombres sont grands et plus la probabilité d'y trouver un 3 est grande.

 

 

*    La quantité de 3 devient infinie.

 

Presque tous les nombres contiennent un trois

 

 

Cette propriété est valable pour tous les autres chiffres!

 

 

 

 

 

 

 

FRÉQUENCE d'une séquence de chiffres

 

*    Clifford Pickover donne ces exemples avec 333.

Nombre de la forme 3n3

contenant une séquence 333.

 

 


 

 

 

 

 

 

Suite

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Voir

*         Dénombrement

*         Probabilités

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