NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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CHIFFRES

 

Débutants

Nombres

Fréquence

 

Glossaire

Chiffres

 

 

INDEX

 

Chiffres

Nombre normal

Probabilité

 Loi de Benford

Auto-descriptifs

 

Sommaire de cette page

>>> Quantité de chiffres jusqu'à N

>>> Quantité d'un chiffre m de 0 à 99…9

>>> Quantité du même chiffre – Dénombrement

>>> Quantité du même chiffre – Formulation

>>> Programme de comptage des chiffres

>>> Fréquence d'une suite de chiffres

 

 

 

 

Quantité et fréquence des CHIFFRES

 

Sur cette page:

*    Combien de chiffres pour compter de 0 à n ?

*    Combien de fois le chiffre 3 (ou autre) dans cette plage de nombres ?

*    Comment mettre ce dénombrement en formule ?

*    Codage avec tableur et avec un logiciel.

 

 

 

 

Nombres auto-descriptif (self-descriptive numbers)

Nombres dont les chiffres indiquent la quantité de chiffres qu'il contient. Par exemple: 2020 nous indique qu'il contient deux fois le "0" et eux fois le "2". 

Voir Nombre 6 210 001 000

 

 

 

Pour commencer

Quantité de chiffres

pour écrire tous les nombres jusqu'à N

1 N < 10

Q = N

Q1 = 1

Q9 = 9

10  N < 100

Q = 9 + 2(N – 9)          = 2N – 9

Q10 =   11

Q99 = 189

100  N < 1000

Q = 189 + 3(N – 99)    = 3N – 108

Q100 =    192

Q999 = 2 889

1000  N < 10 000

Q = 2889 + 4(N – 999) = 4N – 1107

Q1000 =   2 893

Q9999 = 38 889

 

Exemples

Combien de chiffres pour paginer un livre de 300 pages:

Q300 = 3 x 300 – 108 =  792 chiffres.

Combien de chiffres pour numéroter les 52 maisons de la rue:

Q52 = 2 x 52 – 9 = 95 plaques de chiffres.

Voir Quantité de lettres pour écrire les nombres

 

 

 Quantité du chiffre m de 0 à 99…9

 

Exemple avec le chiffre 3.

 

Dans une centaine, le chiffre 3 est présent:

*    10 fois position unité, et

*    10 fois en position dizaine.

 

La quantité de 3 pour la tranche de 0 à 99 est:   Q100 = 20

 

En tenant compte du nombre privilégié 33, il y a

*    19 nombres contenant un 3, et

*    18 nombres avec 3 unique.

 

 

Cas du chiffre 0.

 

De 0 à 99, le chiffre 0 est présent 10 fois

Dans une centaine, autre que la  première, le chiffre 0 est présent 20 fois.

 

Présence du chiffre 3 dans une centaine

 

Présence du chiffre 0 dans les centaines

 

 

 

Présence du 3 de 0 à 999

 

 

Dans chaque centaine: 10 fois 20 =  200

Chiffre des centaines: 100

 

Total : 300 fois le chiffre 3 pour les nombres de 0 à 999.

Présent dans 271 nombres et dans 243 de façon unique.

 

 

 

Présence du 0 de 0 à 999

 

 

Dans la première centaine: 10 fois le 0

Dans les neuf autres: 9 fois 20 =  180

Chiffre des centaines: 0

 

Total : 190 fois le chiffre 0 pour les nombres de 0 à 999.

Présent dans 181 nombres et dans 172 de façon unique.

 

 

 

Bilan

 

Quantité de chiffres de 0 à N puis par plages

 

Exemple de lecture

 

De 0 à 999, il y a 300 nombres avec un chiffre donné, sauf pour le 0 avec 190 chiffres seulement.

 

Ce chiffre est présent dans 271 nombres; 181 nombres pour le 0.

 

Ce chiffre est présent une seule fois dans 243 nombres; 172 nombres pour le 0.

 

 

Formulation

 

PRÉSENCE

 

La quantité de nombres ayant le chiffre m (une ou plusieurs fois) est donné par la formule réurente suivante:

 

 

 

TOUS

dans une plage en puissance de10

 

On écrit 99…9k un nombe comportant k fois le chiffre 9.

Pour un plage de 0 à 99…9k , la quantité de chiffres, autre que 0, est égale à:

 

Pour la quantité  de 0:

 

 

 

Quantité du même chiffre - Formulation

 

TOUS jusqu'à N = 1000a + 100b + 10c + d

 

Prenons le cas du chiffre 3 et d'un nombre dont tous les chiffres sont supérieurs à 3: 4567.

Le 3 "unité" est présent 1  fois dans 456 dizaines plus le 3 en tant qu'unité finale dans 4563.

Le 3 "dizaine" est présent 10 fois dans 45 centaines et 10 fois dans les dizaines finales de 4530 à 4539.

Le 3 "centaine" est là 100 fois dans 4 milliers et 100 fois dans la finale  4300 à 4399.

Le 3 "millier" est présent 1000 fois dans la finale 3000 à 3999.

 

Décompte des 3
dans une plage où {a, b, c, d} > 3

Plage classique; Finale complète

 

 

Avec l'exemple n = 2222, tous les chiffres sont inférieurs à 3

 

Le décompte est identique pour les plages des chiffres unités, dizaines et centaines.

Par contre, en final, on ne dépasse par le 3, donc 0 fois le 3 partout

Par exemple pour les milliers, pas de nombres en 3000, donc pas de 3.

 

Décompte des 3
dans une plage où {a, b, c, d} < 3

Plage classique; Finale vide

 

 

Les cas précédents sont simples. La présence du chiffre cherché dans le nombre n créé une difficulté pour le compte "final".

 

Le décompte plage est identique.

Le final pour 2 et 5 suit également al même règle: rien pour 2 car inférieur à 3 et 10 pour la dizaine 5 car supérieure à 3.

Le 3 en position de centaine donne une finale tronquée. Comment?

*      avec 5 dizaines => 50 fois le 3, et

*      avec 2 unités => 3 fois le 3 (2350, 2351 et 2352).

*       

Décompte des 3
dans une plage comportant un 3

Plage classique;

Finale partiellemnt tronquée

 

Cas pathologique du 3333.

Le décompte plage est toujours le même. Il faut s'intéresser à la finale tronquée

 

Le dernier nombre (3333) compte un 3 en position unité => 1

 

De 3330 à 3333, il y a 4 fois le 3 en position des dizaines => 4

 

De 3300 à 3329, il y a 30 fois le 3 en position des centaines => 30

De 3330 à 3333, il y a 4 fois le 3 en position des centaines => 4

 

De 3000 à 3299,  il y a 300 fois le 3 en position des milliers => 300.

De 3300 à 3329,  il y a 30 fois le 3 en position des milliers => 30.

De 3330 à 3333,  il y a 4 fois le 3 en position des milliers => 4.

 

 

Décompte des 3
dans une plage où {a, b, c, d} = 3

Plage classique;

Finale complétement tronquée

Formulation
On cherche la quantité Q de chiffres k (de 1 à 9, hors 0) des nombres N jusqu'à quatre chiffres.

 

Notations


Si m > k =>    mm = 1, sinon    mm = 0
Si m = k => mmm = 1 sinon mmm = 0
Idem pour d, c et u.

 

Légende

En noir, le compte "plage" et en couleur le compte "final"; avec, en rouge, le compte "dépassement" de k, et en bleu, le compte égal k.

 

 

Formule développée

Q = 300m + 20c + d
+ (1000mm + 100cc + 10dd+ uu)
+ (100c + 10d + u + 1)mmm
+ (10d + u + 1)ccc
+ (u +1)ddd
+ uuu

 

Formule plus compacte

 

Voir Formation des nombres

 

 

 

Programme de comptage des chiffres

Programme de comptage du chiffre m dans une plage donnée de nombres

 

Commentaires

Le chiffre à compter est en m.

kte compte la totalité des chiffres m;

kt, la quantité de nombres avec m présent, et

ktx, la quantité de nombres avec un seul m.

 

La plage de recherche est définit en lançant la boucle en n

Les chiffres de n sont placés en N (effet de convert).

Si le chiffe appartient à cette liste de chiffre (member), le compteur kt est incrémenté.

Avec l'indicateur t, on recherche combine de fois m est présent dans N. Le compteur kte est alimenté en conséquence.

Si ce compteur vaut 1, le compter ktx est incrémenté.

En bleu les résultats pour la plage 0 – 999.

 

 

Pour la plage 0 à 1234 et le chiffre 3, on aurait respectivement: 349, 317 et 286.

Pour la plage 0 à 9876 et le chiffre 9, on aurait respectivement: 3 744, 3 316 et 2 905.

 

 

Avec un tableur

Avec 999, le tableur détecte bien trois 9 (colonne S) et signale en colonne I, qu'il existe au moins un 9 dans ce nombre.

En pied de tableau, on peut faire la somme de ces valeurs.

 

Instructions à placer

B3: =CNUM(STXT($A3;1;1))

C3: =CNUM(STXT($A3;2;1))

D3: =CNUM(STXT($A3;3;1))

E3: =SI(B3=$E$1;1;0)

F3: =SI(C3=$F$1;1;0)

G3: =SI(D3=$G$1;1;0)

H3: =SOMME(E3:G3)

I3: =SI(H3>0;1;0)

 

 

Commentaires

Un bon moyen de s'entrainer à la pratique du tableur.

Les nombres sont en colonne B, la valeur du chiffre à tester est en F9 et recopiée en G9 et H9.

 

En B3, C3 et D3: extraction des chiffres de n qui est en A3.
STX extrait le ième caractère
CNUM convertit le caractère en nombre.

En F3, G3 et H3: test si le chiffre m est présent. Si oui, l'indicateur est mis à 1 sinon 0.

En H3: somme des indicateurs, témoin de la quantité de présence de m dans n

En I3: mis à 1 si la somme n'est pas nulle.

Voir ProgrammationIndex

 

 

FRÉQUENCE d'une suite de chiffres

 

Origine de cette recherche

 

Clifford Pickover donne ces exemples avec le bloc 333. Il examine les nombres de la forme 3n3 contenant au moins le bloc 333.

 

Une recherche systématique montre que la quantité de ces nombres est plus grande comme le montre ce tableau du bas.

 

Tableau

 

Le décalage des nombres dans le tableau témoigne d'une quantité de plus en plus grande des blocs de 3 consécutifs: de 3 à 6.

 

Programme de recherche des blocs de chiffres

 

 

 

Commentaires

La procédure convertit le nombre n en un liste de chiffres (convert); quantité de chiffres en q.

La boucle en i compare chaque chiffre à la consigne m et compte la quantité (kt). Si un autre chiffre que m survient, kt est mis à zéro après avoir mémoriser la quantité comptée.

Cette quantité 'locale" est comparée à la quantité mémorisée (ktm) pour ne conserver que la plus grande quantité.

 

Autres cas

 

Est-ce une particularité du nombre 3 ? Non, pas vraiment.

Le tableau suivant montre le résultat d'une recherche pour le chiffre k pour les nombres en k . nk.

Ils sont assez nombreux pour quatre chiffres identiques de suite. On n'a listé, sauf pour 1 et 2, que les nombres avec bloc de 5.


Tableau des valeurs mentionnés par Pickover

 

Tableau suite à recherche systématique

 

Voir ProgrammationIndex

 

 

 

Suite

*         Loi de Benford

*           Loi équirépartie

*         ChiffresIndex

Voir

*         Dénombrement

*         Probabilités

*         Paradoxes

DicoNombre

*         Nombre     189

*         Nombre   2 889

*         Nombre 38 889

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