NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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CHIFFRES

 

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Nombres

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Chiffres

 

 

INDEX

 

Chiffres

Nombre normal

Probabilité

 Loi de Benford

Auto-descriptifs

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres auto-descriptifs

>>> Changement de base

>>> Programmation

 

 

 

 

Nombres auto-descriptifs

Self-descriptive numbers

Autobiographical numbers

 

Nombres dont les chiffres indiquent la quantité de chiffres qu'ils contiennent.

 

Ce nombre (1210) contient un 0,

deux 1, un 2 et zéro 3.

 

 

 

Nombres auto-descriptifs

 

Ils sont sept en base 10:

 

1 210

2 020

21 200

3 211 000

42 101 000

521 001 000

6 210 001 000

 

En ajoutant des 0 à droite, on peut prolonger avec

72 100 001 000

821 000 001 000

etc.

 

 

Ces nombres ont des chiffres qui comptent le nombre de fois que le chiffre apparait. Dans le cas du dernier nombre,  on compte six fois le 0, deux fois le 1, une fois le 2, une fois le 6 et zéro fois les autres.

Structure

Astucieusement, le compte commence par les 0. Ce qui permet de placer un grand chiffre en tête, et de distribuer autant de 0 que nécessaire plus loin.

En commençant par compter les 1, il serait impossible de créer un nombre auto-descriptif. Si par exemple, un nombre 2 est placé sous le 3, il faudra placer deux 3 qui, à leur tour, vont exiger trois fois les nombres indiqués; etc.

Contexte

Ce genre de nombres a été présenté dans la revue "Pour la Science" d'avril/juin 2008 sous le titre "Jeux de suites" par Éric Angelini.

Il est clairement décrit dans l'encyclopédie des suites de nombres en OEIS 138 480.

Anglais

Self-Descriptive Number: a 10-digit number satisfying the following property. Number the digits 0 to 9, and let digit n be the number of ns in the number.

There is exactly one such number: 6 210 001 000.

From WolframMathWorld

 

 

Changement de base

Si les nombres précédents sont  considérés écrits dans la base correspondante à leur longueur, alors on peut les convertir en base décimale.

 

 

De sorte que, par exemple,  1210 en base 4 donne 100 en décimal:

1x43 + 2x42 +1x4 + 0 = 64 + 32 + 4 = 100.

 

Notez que pour tous ces nombres la base est égale à la somme des chiffres: 1 + 2 + 1 = 4.

Le dernier chiffre est toujours un zéro.

Les nombres en base 10 sont divisible par la base. Ce sont des nombres de Harshad dans leur base respective

 

 

 

Programmation

 

Boucle de recherche pour tous les nombres n de 1 à cent mille.

Par la conversion en base 10, N contient la liste de tous les nombres de n, mais à l'envers.

q est la quantité de chiffres dans n.

Q est la liste en préparation pour recevoir la quantité de tel ou tel chiffre dans n.

 

Boucle d'analyse des chiffres de n. Dans C est placé le chiffre en cours d'analyse, en prenant la liste N à l'envers.

Si C = 5, par exemple, le nombre en position 5 dans Q est incrémenté de 1.

 

Cette boucle avec k calcule la valeur (nc) du nombre formé par la quantité de tel ou tel chiffre.

 

Si ce nombre est égal au nombre initial, demande d'impression.

 

En bleu, les valeurs trouvées jusqu'à 100 000. Il suffit de mettre 10 milliards dans la boucle initiale et attendre patiemment pour obtenir les sept nombres auto-descriptifs.

Voir ProgrammationIndex

 

 

 

 

Suite

*        Loi de Benford

*           Loi équirépartie

*         ChiffresIndex

Voir

*         Commentaire numérique

*         Dénombrement

*         Phrases en autoréférence

*         Probabilités

Sites

*         Self-descriptive numberWikipedia

*         OEIS 138 480 – Autobiographical numbers: the first digit specifies how many 0 in the number, the next digit specifies how many 1

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Formes/Autodesc.htm