NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Définition

>>> Propriétés

>>> Exemple

 

 

 

 

 

NOMBRES NORMAUX

 

Caractérise la répartition des chiffres dans les nombres, leur fréquence; de même que la fréquence de tout bloc de k chiffres.

 

 

 

Nombres NORMAUX

 

Définition

Un nombre est dit normal si chaque chiffre et chaque groupe de chiffres (par deux, trois …) apparaissent avec le même fréquence.

 

Commentaires

On ignore encore si  et e sont normaux ou non.

 


Exemple

0,1234567891011121314

15161718192021....

Nombres consécutifs concaténés.

 

Mahler a démontré en 1961 que ce nombre est transcendant. 

Voir Formes des nombres

 

 

Propriétés

Nombre Normal

*    La fréquence limite de chaque chiffre est la même.

*    La fréquence limite de chaque chaîne de chiffres est la même.

En base 10

*    La fréquence limite de chaque chiffre est 1/10.

*    La fréquence limite de chaque groupe de 2 chiffres est 1/100

*    Etc.

*    Pour une séquence donnée de 10 chiffres, la fréquence sera: 1 / 1010

*    Il y a 10! Combinaisons de chaînes de 10 chiffres.

*    Pour toutes les chaînes de 10 chiffres, la fréquence sera 10! / 1010 = 1 / 2755,73

En base b

*    Un nombre normal dans toutes les bases est dit absolument normal.

En 1909

*    Émile Borel définit le concept de normalité pour caractériser le degré de ressemblance entre les chiffres de p et ceux d'une séquence aléatoire.

*    Attention: la normalité d'un nombre est nécessaire mais non suffisante pour que ses chiffres soient aléatoires.

e

*    Tous deux sont supposés normaux en base 10.

*    Non prouvé.

*    Mais vrai sur les premiers millions de décimales de ces deux constantes.

*    Si p  semble parfaitement normal, e semble comporter un biais.

e

ln 2

2

*    Ces constantes semblent absolument normales.

*    Mais il n'y pas de démonstration pour la moindre base, ni 10, ni 2, ni autre.

 

 

Exemples

 

Voir

*       Nombre normal 0,2357 …

*       Chiffres dans p

 

 

 

 

Suite

*       Quantité de 3 et fréquence des chiffres

*       Loi de Benford

*       ChiffresIndex

DicoNombre

*       Infini

*       Nombres de 0 à l'infini et de leurs propriétés

*       Un

*       Zéro

Voir

*       Calcul mental Index

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