NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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NUMÉRATION

 

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Binaire

BINAIRE

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Numération

Introduction

Nombres négatifs

Conversion

Table 0 à 512

Code Gray

Informatique

Dualité

Amusement

Logique de Boole

Analog. / Numér.

Magie

 

Sommaire de cette page

>>> En pratique, comment faire ?

>>> Première idée

>>> La bonne idée

>>> Vision circulaire

>>> Comprendre l'astuce

>>> Opérations

 

 

 

 

 

NOMBRES NÉGATIFS

en BINAIRES

  

Les nombres négatifs sont codés de façon que les opérations classiques puisent être effectuées normalement. Autrement dit, 2 + (-2) doit bien donner 0 pour somme.

 

 

 

 

En pratique, comment faire?

 

*    Les nombres positifs sont codés normalement; tandis que les nombres négatifs sont codés selon leur complément à deux.

*    En pratique, voici ce qu'il faut faire avec 21 par exemple:

*  De positif à négatif:             coder, inverser et ajouter 1.

*  Pour passer du négatif au positif: inverser et ajouter 1.

 

 

*    En fait, le bit de poids 32 ne joue plus ce rôle "pesant". C'est désormais le bit de signe.

Voir Codage binaire pour traitement numérique

 

 

Première idée

 

*      Ce qui semble le plus naturel serait de prendre les nombres binaires en valeur absolue et d'ajouter en tête un bit de signe: 0 pour positif et 1 pour négatif.

*      Essayons de calculer 2 + (–2) = 0

 

 

*      Ce n'est pas ce que nous voulions:
–4  au lieu de 0!

*      Remarquez que nous avons deux fois le zéro, en plus et en moins. inadmissible.

*      Il faut revoir notre copie.

 

 

 

La bonne idée

 

*      L'idée est simple et elle marche! Au lieu de prendre les en dessous, prenons-les au-dessus. Comment? En poursuivant le compte avec es entiers naturels.

*      Les entiers naturels et leur code binaire sont prolongés: 0, 1, 2 … 7, 8, 9, …14 et 15.

 

 

*      Nous décrétons que le premier bit à gauche est le bit de signe et que les codes binaires des nombres 8 à 15, dont le premier bit est à 1, sont le codage de nombres négatifs.

*      Lesquels? Le code du complément du nombre entier à 16. Ainsi, le 15 naturel de code 1111 devient la valeur négative du nombre: 16 – 15 = 1, soit: –1. 

*      Le bit de poids 16 n'existe pas. C'est lui l'astuce. En effet 2 + (–2) devient  0010 + 1110 = 1 0000 avec le premier 1 qui tombe dans le vide. on l'oublie. Ainsi:  0010 + 1110 = 0000. L'opération est juste.

*      Le fait de complémenter à la puissance de 2 correspondante à un bit de plus est appelé: complément à 2. Deux étant la base de numération.

 

 

 

Vision circulaire

 

*    Les nombres positifs et négatifs sont enroulés sur le cercle.

*    Les nombres sont disposés symétriquement par rapport au diamètre horizontal.

*    Avec  trois bits nous comptons de – 4 à + 3.

*    Remarquez que 2 + (–2) = 0 se comprend également  en binaire sur 3 bits:
010 + 110 = 1 000
soit un bit qui tombe dans le vide (Nous n'en connaissons que trois),
soit 010 + 110 = 000.

Cette remarque explique le vocable de complément à 2 (ou plutôt, à une puissance de 2).

 

 

*    Coté pratique, comment passez de 2 à –2 ?

 

*    C'est particulièrement simple. Il suffit d'ajouter 1 aux bits inversés:

         2 =>  010

Inversion:  101 (ou complément à 1)

Plus1:        110  (ou complément à 2)

 



 

Cerise sur le gâteau

Pour passer d'un format à 4 bits à un format à 8 bits (par exemple), il suffit de prendre les nombres binaires à 4 bits et de remplir tous les nouveaux bits à gauche par le bit de signe.


0100  = 0000 0100 (4 en décimal)

1100 = 1111 1100 (–4 en décimal)

En effet: 1111 1100 => 0000 0011 + 1 = 0000 0100.

 

 

Comprendre l'astuce

 

Astuce du complément

*    L'astuce du complément à 2 pour représenter les nombres négatifs rend faisable le calcul en binaire. On peut en avoir une idée avec cet exemple, classique en calcul mental:

 

120 – 99

= 120 – (100 – 1)

= 120 – 100 + 1

=   20 + 1

=   21

 

Base 10

*    En base 10, pour signifier –7, on peut aussi dire –10 + 3.

En fait, 3 est le complément à 10 (la base de numération) de 7.

*    On note qu'il faut mentionner d'une manière ou d'une autre le –10. On pourrait noter par exemple:

07, le nombre 7 positif, et

13, le nombre 7 négatif => 7 = 10 – 3 = 10 – (10 – 7)

Un autre exemple:

099, le nombre 99 positif, et

101, le nombre 99 négatif => 99 = 100 – (100 – 99)

Le premier chiffre en vert témoigne du signe de l'opération.

 

Base 2

*    En binaire on utilise le complément à 2.

Selon le même principe qu'en décimal:  N = 22 – (22 – N)

 

 

 

 

 

Suite

*    Nombres binaires et traitement numérique

*    Langage des ordinateurs Junior Diaporama

*    Nombres en binaire flottant

Voir

*    Bases de numération

*    Base 20

*    Carré de Dürer en binaire

*    NombresGlossaire

*    Dualité

*    Trigramme

*    Conversion

*    Code Gray

*    Additionneur

*    Nombres binaires et triangle de Pascal

*    Suite binaire dorée

*    Langage binaire des ordinateurs

*    Table 1 à 10 en binaire

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