NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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NUMÉRATION

 

Débutants

Binaire

BINAIRE

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Numération

Introduction

Nbs Négatifs

Conversion

Table 0 à 512

Code Gray

Informatique

Dualité

Amusement

Logique de Boole

Analog. / Numér.

Magie

 

Sommaire de cette page

>>> Système de numération binaire

>>> Codage binaire

>>> Multiplication égyptienne

>>> Anglais

>>> Binaire aléatoire

>>> Nombres binaires particuliers

>>> Historique

 

 

 

 

 

NOMBRES BINAIRES

  

*      Manière de compter avec les chiffres 0 et 1 uniquement.

*      Méthode utilisée notamment dans les ordinateurs.

 

C'est Leibniz qui a véritablement introduit le système binaire moderne, même si d'une manière ou d'un autre une sorte de système binaire était utilisé bien avant notre ère. >>>

 

*      Une variable qui prend les valeurs 0 ou 1 exclusivement est dite booléenne.

Anglais Binary system

 

Diderot rappelle que le livre Ye-Kim, écrit en Chine à peu près 25 siècles avant J.-C., traitait déjà de l'arithmétique binaire. Au XVIIe siècle, Leibniz la proposa sans succès. Son réel succès est dû au développement de l'informatique.

Voir Histoire

 

 

 

Système de numération binaire

 

*    Système de numération binaire,

ou Système binaire

ou Compter en binaire.

 

*    Système qui consiste à coder un nombre avec seulement deux signes, généralement les deux chiffres 0 et 1.

*    Pour préciser la base 2 lorsqu'il y a risque de confusion, on écrit:

1000110112

 

*    On lit les chiffres les uns après les autres. 1 001 se lit un-zéro-zéro-un et non mille un.

 

Façon d'écrire en binaire

 

1 0 0 0 1 1 0 1 1  Classique

     Morse

OnnnOOnOO     Oui, non

OfffOOfOO     Ouvert, fermé

500055055       5 volts ou 0 volt

        Aimanté ou non

 

*    Le système binaire est un système de numération de position comme le système décimal.

*    En décimal, on passe des unités aux dizaines, puis aux centaines, etc. à chaque changement de puissances de 10;

*    En binaire ce sont les puissances de 2.

Décimal

Décimal

104

103

102

101

100

9

 

 

 

 

9

89

 

 

 

8

9

789

 

 

7

8

9

6 789

 

6

7

8

9

56 789

5

6

7

8

9

 

Binaire

Décimal

16

24

8

23

4

22

2

21

1

20

2

 

 

 

1

0

7

 

 

1

1

1

11

 

1

0

1

1

19

1

0

0

1

1

22

1

0

1

1

0

 

Codage

 

*    Les puissances de 2.

*    Autant de 0 en binaire que la puissance deux en décimal.

 

 

21 = 2décimal  =  10binaire

22 = 4 décimal  =  100binaire

23 = 8 décimal  =  1 000binaire

24 = 16 décimal  =  10 000binaire

25 = 32 décimal  =  100 000binaire

Etc.

 

*    Pour convertir un nombre en binaire: ajouter les puissances de deux nécessaires en les notant avec un "1"; les absences de puissances de deux seront notées "0".

 

Décimal

24

23

22

21

20

23

 

 

 

 

 

= 1 x  16

1

 

 

 

 

+ 0 x  8

 

0

 

 

 

+ 1 x  4

 

 

1

 

 

+ 1 x  2

 

 

 

1

 

+ 1 x  1

 

 

 

 

1

 

23décimal  =  10 111binaire

 

 

Multiplication égyptienne – Exemple très ancien d'application du système binaire

 

*      Comment faire simplement une multiplication? Un Égyptien du nom d'Ahmès (environ – 1650) opérait de la façon suivante.

*      Soit à calculer 13 x 25:

*       on écrit 1 et 25 sur le première ligne.

*       On double sur les lignes suivantes.

1

2

4

8

16

  25

  50

100

200

400

*       On s'arrête lorsque le nombre de la première colonne dépasse 13.

*       On coche (rouge) les lignes telles que la première colonne donne un total de 13
(13 en binaire = 8 + 4 + 1).

 

1

2

4

8

16

  25

  50

100

200

400

*       On somme les lignes cochées.

*      Le produit de 13 par 25 est 325.

13

325

Voir Fractions égyptiennes

 

 

ENGLISH CORNER

 

*    The binary numeral system or base-two numeral system is a system for representing numbers in which a radix (fr. base) of two is used.

*    The commonly-used decimal numeral system has a radix of ten

 

*    Typically, the symbols 0 and 1 are used to represent binary numbers.

 

Owing to its relatively straightforward implementation in electronic circuitry, the binary system is used internally by virtually1 all modern computers.

 

 

1 Virtually = pratiquement. Voir Faux-amis

 

 

 

BINAIRE ALÉATOIRE

 

*    Si on veut être sûr d'obtenir un générateur binaire équilibré (autant de 0 que de 1), on peut utiliser la méthode simple proposée par Von Neumann.

 

*    On couple les bits

01 01 00 10 11 11 10 10 10 00 11 01 11 00 10 01

*    On supprime les 00 et 11

01 01 10 10 10 10 01 10 01

*    01 devient 0 et 10 devient 1

0 0 1 1 1 1 0 1 0

 

Probabilités:

du 0

du 1

du 01

du 10

p

1 – p

p (1 – p)

(1 – p) p

 

 

= 1/2

= 1/2

 

 

 

 

Grand-père des calculettes

En 1918, Bloch et Abraham (français) construisent une machine à additionner en binaire. La présence ou l'absence de courant témoignent des 0 et des 1.

Voir Additionneur binaire – Diaporama de découverte Junior / Inventions

 

 

Nombres binaires particuliers

Puissance de 2

2n

n = 10

1 024 = 100 0000 00002

1 suivi de dix 0

Mersenne

2n – 1

n = 10

1 023 = 11 1111 11112

dix fois le nombre1

Thabit

2n+1 + (2n – 1)

n = 10

2 048 + 1 023 = 3 071

= 1011 1111 11112

10 suivi de dix 1

Fermat

n = 3

28 + 1 = 257

= 1 0000 00012

Carol et Kenya

(2n – 1)2 – 2

 

(2n + 1)22 

n = 3

(23 – 1)2 – 2 = 47

= 101111

 

(23 + 1)2 – 2 = 79

= 1001111

Voir Autres en puissance de 2

 

 

Historique

Vers – 3000  

 Calcul des périodes religieuses sous l'empereur chinois Fou-Hi (Fohy). Son symbole magique taoïste est l'octogone avec trigramme.

Vers – 1650

Multiplication égyptienne: application implicite de la numération binaire

Verts – 300

Aristote (-384 à -322) définit les bases de la logique.

1600

Thomas Harriot (1560-1621) laisse plusieurs milliers de pages manuscrites sur lesquelles apparaissent les  premières expressions du binaire connue en France.

 

Simon Steven (1548-1620), Francis Bacon (1651-1626), Claude-Gaspar Bachet (1581-1628), Blaise Pascal (1623-1662), Erhard Weigel (1625-1699) se sont intéressés aux systèmes de numérations d'une manière ou d'une autre.

1703

Gottfried Leibniz (1646-1716) publie Explication de l'arithmétique binaire. Un système connu des Chinois dont il s'interroge sur l'utilité. Il s'était intéressé à ce système dès 1697 comme en atteste ses lettres.  

 

Titre complet: Explication  de l’arithmétique binaire qui se sert des seuls caractères 0 & 1 avec des remarques sur son utilité & sur ce qu’elle donne le sens des anciennes figures chinoises de Fohy.

Manuscrit de 1679: De progressione dyadica, publié en 1966 sous le titre: Herr von Leibniz, Rechnung mit Null und Eins (calcul avec des zéros et des uns).

1847

Georges Boole (1818-1864) met au point l'algèbre de Boole, basée sur l'utilisation du système binaire.

En 1854 l’anglais Boole publie un ouvrage dans lequel il démontre que tout processus logique peut être décomposé en une suite d’opérations logiques (et, ou, non) appliquées sur deux états (zéro-un, oui-non, vrai-faux, ouvert-ferme).

1867

Charles Sanders Peirce trouve des ressemblances entre l'algèbre de Boole et la théorie des circuits électriques.

L'algèbre de Boole reste encore méconnue est bien abstraite.

1938

Claude Shannon (1916-2001). Dans sa thèse, il remet à jour l'algèbre de Boole et voit son utilité en électronique. Il définit le bit (BInary digiT)

1937

George Stibitz (1904-1995) réalise des circuits numériques avec des relais (élément de commutation électrique à base d'électroaimants).

Avec Samuel Williams, il construit un calculateur basé sur cette technologie.

1937

L'ABC (Atanasoff–Berry Computer) est l'un des tout premiers ordinateurs électronique numérique avec l'ENIAC, testé avec succès en 1942

Suite en historique de l'informatique

 

 

 

 

 

Suite

*    Additionneur

*    Carrés distincts (application du binaire)

*    Code Gray

*    Combien de blocs de 0 et de 1 (énigme)

*    Conversion

*    La table 1 à 10 en binaire

*    Langage binaire des ordinateurs

*    Langage des ordinateurs Junior Diaporama

*    Les nombres négatifs en binaire

*    Nombres binaires et triangle de Pascal

*    Palindromes binaires

*    Suite binaire dorée

Voir

*    Bases de numération

*    Base 20

*    Carré de Dürer en binaire

*    NombresGlossaire

*    Dualité

*    Trigramme

Sites

*    Système binaire – Wikipédia

*    Binary systemWikipedia (plus complet, en anglais)

*    History of binary and other nondecimal numeration – Anton Glaser – pdf 231 pages. Histoire détaillée à partir des années 1500.

*    Le manuscrit «De Progressione Dyadica» de Leibniz par Yves Serra, ingénieur.

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Numerati/BINAIRE/Introduc.htm