NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 09/03/2013

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

ITÉRATIONS

 

Débutants

Fibonacci

Nombres de

FIBONACCI et Cie

 

Glossaire

Suite et série

 

 

INDEX

 

Fibonacci

 

Itérations

 

Fibonacci

Lapins

Abeilles

Grenouilles

 

Sommaire de cette page

>>> Le coup du lapin

>>> Compter les lapins

>>> Formulation

>>> Lapins vivants ou morts

>>> Amusement

>>> Suite binaire dorée

>>> Programmation

 

 

 

 

Suite de Fibonacci

LAPINS

  

Leonardo Pisano Fibonacci (v. 1175 – v. 1250) est le plus connu des mathématiciens du Moyen Âge. Il est surtout connu par la suite de nombres éponyme. Elle aurait été découverte en comptabilisant les lapins suite à leur reproduction. Fibonacci met au point la formule qui permet de déduire la quantité de lapins de la saison suivante à partir des quantités des saisons précédentes. Cette formule devient la première formule de récursion connue de l'histoire. Ce fut une contribution majeure à la partie des maths nommée combinatoire.

Anglais: The problem of rabbit's reproduction

 

 

LE COUP DU LAPIN

 

*    Bébé lapin deviendra grand et sera en mesure de procréer. Il lui faudra pour cela attendre un mois …

*    Supposons que, chaque mois, un couple de lapins donne naissance à un autre couple de lapin (consanguinité mise de côté). En commençant par un couple, le mois suivant, il y en aura 2 puis 4, puis 8.En fait, au mois n, ils seront 2n. Dans ce cas la progression est exponentielle.

*    Oui, mais bébé lapin doit devenir grand pour être en mesure de procréer.

 

 

Les naissances des lapins selon Fibonacci

 

*    En janvier un jeune couple de lapins est réuni.

*    En février, ce couple donne naissance à un couple de lapereaux.

*    La suite suit les règles suivantes:

*      Un couple adulte donne naissance à un couple de lapereaux tous les mois;

*      Par contre un couple de lapereaux doit attendre un mois avant d'atteindre sa maturité et, adulte, se mettre à procréer tous les mois.

*    Combien de couples lapins selon le mois de l'année?
 

Illustration

 

*    En haut le numéro du mois de 1 à 7 (rang de la suite de Fibonacci).

*    En vert les lapereaux et en rouge les lapins adulte en âge de procréer.

*    Un numéro identifie chacun des couples.

*    La flèche bleue signale une naissance d'un couple de lapereaux.

Explications

 

*    Total des couples de lapins existants à chaque saisons: 1, 1, 2, 3, 5, 8 … c'est la fameuse suite de nombres de Fibonacci.

*    Au mois 7, parmi les 8 couples existants, seuls 5 sont adultes et vont procréer, soit: 8 + 5 = 13 couples.

*    C'est la règle de calcul pour la saison suivante: il y aura ceux qui sont déjà là plus ceux qui existaient le mois précédent.
Soit, au mois 8, par exemple: 13 existants + 8 nouveaux = 21.

 

Qtén+1 = Qtén + Qté de ceux qui peuvent procréer

Or, ceux qui peuvent procréer étaient présents l'année précédente.

Qtén+1 = Qtén + Qtén-1

 

 

Présentation en arbre

 

 

 

Compter les lapins

 

*    Tableau montrant l'évolution du nombre de lapins, de lapereaux et total de la population de lapins.


 

*    La règle de calcul de la quantité de lapins le mois suivant apparaît très clairement (flèches bleues).
 

 

 

Formulation

 

*    La quantité pour le mois n+1 (21) est égale à celle de tous les présents le mois n (13) plus toutes les naissances.

*    Or, celles-ci résultent du nombre lapins adultes présents (8 lapins en 6e mois) qui est, lui-même, la quantité totale de l'année précédente (8 lapins et lapereaux de l'année encore précédente (total 8 en mois 5).

 

Qn+1 = Qn + Qn–1

 

*    En examinant la croissance la population tous les mois, une surprise nous attende!

*    Par exemple pour passer de 21 à 34, il faut multiplier 21 par 1,6.
Pour passer de 34 à 55, le mois suivant, le rapport est 1,61.
Plus on progresse et plus le rapport converge vers la valeur 1, 618 …. qui est le nombre d'or.
 

 

Bilan

Le mode de reproduction des lapins n'est sans doute pas exactement selon cette loi. Notamment, une portée n'est que rarement limitée à un couple male-femelle. De plus, ils ne vivent pas indéfiniment …

Voir Croissance logistique qui tient compte

du manque de nourriture.

 

 

Lapins vivants ou morts

 

*    Même règle, mais le lapin de vit que deux ans.

*    En rose, la ligne de vie et en bleu de la procréation.

*    Les lapins sont identifiés par un numéro (ici de 1 à 20 dans les colonnes centrales).

*    Dans ce cas la formule de récurrence est également très simple:

 

Qn+1 = Qn–1 + Qn–2

 

C'est la suite de Padovan.

 

 

 

 

Amusement

 

*    Prenons A pour Adulte et N pour nouveau-né. Le passage à la ligne suivante (mois suivant) consiste à remplacer N par A et A par AN.


 

 

 

 

Suite binaire dorée

 

*    La même chose que ci-dessus en binaire. Certains anglophones s'en amusent en l'appelant: rab-bit. D'autres, en référence au nombre d'or, l'appellent la suite binaire dorée.

 

0

1

10

101

1011 0

1011 0101

1011 0101 1011 0

1011 0101 1011 0101 1010 1

1011 0101 1011 0101 1010 1101 1010 1101

 

*    La suite des bits se poursuit indéfiniment, remarquant que

*      la précédente est le début de la suivante; et

*      la suite est le développement de la nouveauté de la précédente.

 

Exemple

101

10110

10110    101

Le début 10110 est répété; la partie nouvelle (10) est développée en 101.

 

Illustration originale

*    La droite de pente égale au nombre d'or. Mettre 1 lorsque la droite coupe le quadrillage horizontal (trait bleu) et 0 pour le vertical (trait rouge).

 

 

Autres façons de créer la suite binaire dorée

*      La 2e colonne donne les multiples du nombre d'or (1,618). Sa partie décimale est comparée à l'inverse du nombre d'or (0,618). La colonne de droite est à 1 si l'inverse est plus grand que la partie décimale et -1 dans l'autre cas.

 

*    Encore plus amusant! Considérez les parties entières des multiples du nombre d'or M = (1, 3, 4, 6, 8 …). Si dans la suite des nombres N = (1, 2, 3, 4, 5, 6…) le nombre est présent dans M, mettre 1 sinon mettre 0. Ce qui donne: (1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1 …).

 

 

Fractale

*    La suite binaire dorée présente une structure fractale: elle contient une copie d'elle-même. Une des figurations consiste à dessiner un trait pour chaque bit; en avant si le bit est nul; à droite ou à gauche selon que le bit 1 est d'un rang pair ou impair.

 

Notes: Plus d'information sur le site indiqué. Il existe aussi une figure fractale dite lapin de Douady qui n'a rien à voir avec celle-ci.

 

Anglais: the rabbit sequence or the golden sequence or the golden string.

Voir Spectre numérique d'un nombre réel

 

 

Programmation

 

La programmation est assez élémentaire.

Les premières valeurs sont placées en a et b. Une troisième variable c est mise en jeu pour mémoriser temporairement le total.

La boucle for  … do … od fait tourner une boucle de calcul dix fois.
Le calcul du total a + b est placé en c et les valeurs de a et b sont mises à jour.

L'impression donne le rang (deux de plus que le pointeur i) et la valeur numérique du total c.
 

Voir Programmation

 

 

 

 

Suite

*         Abeilles

*         Grenouilles

Voir

*         Calcul mentalIndex

*         Chaîne d'Or

*         Croissance logistique

*         GéométrieIndex

*         Nombre d'or

Site

*         The Golden String of 0s and 1s - the RabBIT sequence par Ron Knott

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Iteration/FiboLapi.htm