NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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TRIANGLE de PASCAL

 

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Sommaire de cette page

>>> PASCAL et Nombre 100…01n

 


 

TRIANGLE DE PASCAL

 

Comment faire surgir le triangle de Pascal

avec des nombres binaires?

 

 

 

 

Approche

 

*      Calculons les puissances successives de 11:

 

n, 11n

 

1, 11

2, 121

3, 1331

4, 14641

5, 161051

 

*      Surprise!

*        Jusqu'à la ligne 4, on retrouve intégralement le début du triangle de Pascal.

*        Cela déraille après la ligne n = 5 (puissance 5), du fait de l'apparition du nombre 10 et d'une retenue qui se propage.

 

*      Idée

*        Et si nous ajoutions un zéro entre les deux 1, pour laisser la place aux coefficients de s'exprimer …

 

 n, 101n

 

 1, 101

 2, 10201

 3, 1030301

 4, 104060401

 5, 10510100501

 6, 1061520150601

 7, 107213535210701

 8, 10828567056280801

 9, 1093685272684360901

10, 110462212541120451001

 

*      Ouais! Ça marche jusqu'à la ligne 8.

*        Même si encore bien compact.

*        Alors allons-y, insérons davantage de zéros …

 

Voir Diconombre  11 / 111

 

 

Poursuivre avec 5 zéros intermédiaires (par exemple)

 

Calculons les puissances successives de 100001

 

1,  1000001

2,  1000002000001

3,  1000003000003000001

4,  1000004000006000004000001

5,  1000005000010000010000005000001

6,  1000006000015000020000015000006000001

7,  1000007000021000035000035000021000007000001

8,  1000008000028000056000070000056000028000008000001

9,  1000009000036000084000126000126000084000036000009000001

10, 1000010000045000120000210000252000210000120000045000010000001

 

*      Vous retrouvez-là, en rouge, les valeurs des coefficients de chaque ligne du triangle de Pascal! Bien espacés.

 

*      Les cinq 0 laissent la place pour atteindre des coefficients de 6 chiffres.

Le premier à apparaître et supérieur à 1 million est (25, 8) = 1 081 575.

Nous sommes donc tranquilles jusqu'à la ligne 25.

*      Note: Le plus grand à apparaître inférieur à 1 million est (71, 67) =  971 635.

 

Voir Nombres zébrés  

 

 

 

 

Comment se forment les nombres?

 

*      Une explication du mystère…

*        Prenons une ligne => 

 

*      Pour obtenir la ligne suivante, ou passez à la puissance suivante, comme vous voulez, il suffit de multiplier par 101.

*        Soit multiplier par 100 et ajouter le nombre.

*      On obtient, la ligne suivante du triangle.

*        Normal c'est pilepoil la définition du triangle de Pascal.

*        On ajoute les deux nombres de la ligne du dessus.

 

Celui du dessus (effet de la multiplication par 1), et

Celui du dessus à gauche (effet de la multiplication par 100).

 

 

 

1013 = 1030301

 

 

  

     1 03 03 01

             x 101

+   1 03 03 01

1 03 03 01 00

1 04 06 04 01

 

 

 

 

1   3   3   1

1   4   6   4   1

Voir Multiplication

 

 

Démonstration par récurrence

 

*      La propriété est vraie pour  1.

*      On prend l'exemple de tranches de six chiffres.

*      Montrons que si elle est vraie pour n (hypothèse) elle est vraie pour n+1 (héritage).

 

1 000001 1 = 1 000001

 

1 000001 n = A (notation)

qui donne la ligne n du triangle de Pascal

*      Calcul de =>

en remarquant que c'est la multiplication de la puissance précédente par le nombre en 1 et 0.

*      Ce qui n'est pas bien compliqué:

*        la multiplication par un million provoque un décalage de 6 places vers la gauche, cad. ajout de six 0, et

*        Pour obtenir le résultat, ajouter A.

 

1 000001  n+1

= A  x 1 000001

 

 

 

 

= A x (1 000 000 +  1)

= A x 1 000 000 + A x 1

= A000000 + A

 

Ce qui correspond à la construction du triangle de Pascal

 

Pour s'en convaincre revoir comment se forment les nombres

 

Voir Démonstration par récurrence

 

 


 

Suite

*    Triangle de Pascal – Binôme

*    Triangle de Pascal – Introduction

*    Triangle de Pascal – Tableau

Voir

*    Combinaisons

*    Formule du binôme

*    Petit théorème de Fermat

Aussi

*    GéométrieIndex

*    Récurrence

*    Théorie des nombres

*    Nombres zébrés

*    Démonstration par récurrence