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ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 18/10/2013

 

Débutants

-Ý- RUBRIQUE: NUMÉRATION CONVERSIONS

Glossaire

§  Décimal

§  Binaire

§  Octal

§  En pratique

§  LES BASES

§  Hexadécimal

§  Bases 16 &  32

§  Base 60

Sommaire de cette page

 

Classique

>>> NOMBRE ENTIER

>>> PARTIE DÉCIMALE

Alternative

>>> MÉTHODE DES PUISSANCES

>>> SIMPLIFICATION

>>> LA MÉTHODE RAPIDE

Théorie

>>> JUSTIFICATION

Pages voisines

 

§  Numération

§  Base 2 - Dualité

§  Puissances de 2

§  Mille en binaire et autres bases

§  Inventaire des nombres

§  Décomposition des nombres

§  Pi en hexadécimal

 

 

 CONVERSION en PRATIQUE

                                                                     

Partie entière

et partie décimale

 

 

Exemple

Convertir

le nombre décimal 545,2347

en base 7

545, 2347 10 = 1406, 143334135364 7

§  Voyons la méthode en commençant par la partie entière

§  Puis la partie décimale

  

 

 

-Ý- NOMBRE ENTIER

Méthode des divisions successives

§  On écrit le nombre sous forme de sa division par 7

N = 7 q + r

§  On poursuit avec le quotient q

§  Et ainsi de suite avec le nouveau quotient

§  Jusqu'à obtenir un quotient nul

§  Les restes successifs donnent le nombre en base 7

§  Cela reste valable pour toute base,

o   en remplaçant 7 par la valeur de la base d'arrivée

 

Notre exemple

N

= 7

x

q

+

r

 

545

= 7

x

77

+

6

Notez le basculement d'un quart de tour des chiffres

77

 

 

11

 

0

11

 

 

1

 

4

1

 

 

0

 

1

545 10

=

1 4 0 6 7

545 en base 10 donne 1406 en base 7

 

-Ý- PARTIE DÉCIMALE

Méthode

§  On multiplie par 7

o   La partie entière est un des chiffres cherchés

§  On "rejoue" avec la partie décimale restante

 

0,2347 en base 7

 

Multiplication

 par 7

Entier

Résultat

Décimales

 

 

0, 1

4

3

3

0,2347

1,6429

1

 

 

 

 

0,6429

4,5003

4

 

 

 

 

0,5003

3,5021

3

 

 

 

 

0,5021

3,5147

3

 

 

 

 

 

-Ý- MÉTHODE DES PUISSANCES

Méthode des puissances successives

§  Cette méthode n'est pas conventionnelle, mais elle est amusante

§  Elle permet de voir la conversion de la partie décimale sous un autre angle

§  Elle consiste, en gros, à se ramener en permanence à la méthode utilisée pour un nombre entier

§  On calcule le produit de la partie décimale

o   avec les puissances de 7 successives

o   Ce produit donne une valeur entière E

§  À chaque fois, on pose la division de ce nombre par 7

E = 7 q + r

§  Les restes successifs constituent les décimales cherchées en  base 7

§  Cela reste valable pour toute base,

o   en remplaçant 7 par la valeur de la base d'arrivée

 

Notre exemple

 

1ère  décimale

 

 

 

 

 

0,2347

x 7

=

1

, 6

 

 

 

 

Produit par 7

 

 

 

E

 

= 7

. q

+

r

Division par 7

de la partie entière

 

 

 

1

 

= 7

x 0

+

1

 

2e décimale

 

 

 

 

 

0,2347

x 72

=

11

, 5

 

 

 

 

Produit par 7

 

 

 

11

 

= 7

x 1

+

4

Division par 7

 

3e décimale

 

 

 

 

 

0,2347

x 73

=

80

, 5

 

 

 

 

Produit par 7

 

 

 

80

 

= 7

x 11

+

3

Division par 7

 

4e décimale

 

 

 

 

 

0,2347

x 74

=

563

, 5

 

 

 

 

Produit par 7

 

 

 

563

 

= 7

x 80

+

3

Division par 7

 

-Ý- SIMPLIFICATION

Deux remarques

§  On peut simplifier le calcul en remarquant que

o   Le quotient q sur une ligne est égal au nombre E de la ligne précédente (ci-dessous en bleu)

 

0,2347

x 77

=

193285

, 5

 

 

 

 

 

 

 

 

193285

 

= 7

x 27612

+

1

 

 

0,2347

x 78

=

1352998

, 7

 

 

 

 

 

 

 

 

1352998

 

= 7

x 193285

+

3

 

 

o   On peut se contenter d'un calcul sur les unités pour trouver le reste r (ci-dessous en bleu)

 

0,2347

x 78

=

1352998

, 7

 

 

 

 

 

 

 

 

1352998

 

= 7

x 193285

+

3

 

 

 

 

 

 

7

x 5 = 35

 

 

 

 

 

 

8

 

 

-5

=

3

 

En combinant les deux

o   les produits par les puissances de 7

o   le calcul du reste avec les unités des deux résultats

 

 

 

 

 

Calcul

 

0,2347

x 77

=

193285

7 x 5 = 35

 

0,2347

x 78

=

1352998

8 - 5 = 3

= 3

 

 

 

 

L'unité 5 du produit par 7 est baptisée m

 

Attention! Gardez tout de même un petit peu de prudence

en calculant le reste avec ce truc

En particulier, mettre une dizaine si nécessaire

-Ý- LA MÉTHODE RAPIDE

Voici la méthode des puissances successives

§  On calcule le produit de la partie décimale

o   avec les puissances de 7 successives

o   on ne conserve que la partie entière E

§  On calcule le reste avec le truc indiqué ci-dessus

o   Exemple (En bleu sur le tableau)

o   11 => unité 1

o   1 x 7 = 7

o   Or l'unité de 80 est 0

o   On prend 10 pour pouvoir faire la soustraction

o   Différence 10 - 7 = 3

 

N

x 7 i

 

E

m

r

0, 2347

x 71

=

1

0

1

 

x 72

 

11

7

4

 

x 73

 

80

7

3

 

x 74

 

563

0

3

 

x 75

 

3944

1

3

 

x 76

 

27612

8

4

 

x 77

 

193285

4

1

 

x 78

 

1352998

5

3

 

x 79

 

9470991

6

5

 

x 710

 

66296940

7

3

 

x 711

 

464078586

0

6

 

x 712

 

3248550106

2

4

 

Résultat

0, 2347 10 = 0, 143334135364 7

 

Autres exemples

N

x 7 i

 

E

m

r

0, 1

x 71

=

0

0

0

 

x 72

 

4

0

4

 

x 73

 

34

8

6

 

x 74

 

240

8

2

 

x 75

 

1680

0

0

 

x 76

 

11764

0

4

 

x 77

 

82354

8

6

 

x 78

 

576480

8

2

 

x 79

 

4035360

0

0

 

x 710

 

28247524

0

4

 

x 711

 

197732674

8

6

 

x 712

 

1384128720

8

2

 

0, 1 10 = 0, 046204620462 7

 

N

x 7 i

 

E

m

r

0, 5

x 71

=

  3

0

3

 

x 72

 

24

1

3

 

x 73

 

171

8

3

 

x 74

 

1200

7

3

 

x 75

 

8403

0

3

 

x 76

 

58824

1

3

 

x 77

 

411771

8

3

 

x 78

 

2882400

7

3

 

x 79

 

20176803

0

3

 

x 710

 

141237624

1

3

 

x 711

 

988663371

8

3

 

x 712

 

6920643600

7

3

 

0, 5 10 = 0, 333333333333 7

 

 

-Ý- JUSTIFICATION

Partie entière

§  Décomposition du nombre en divisions par 7 emboîtées

 

745 =

7 x

77

+ 6

 

7 x (

7 x

11

+ 0

) + 6

 

7 x (

7 x (

7 x

1

+ 4

) + 0

) + 6

 

7 x (

7 x (

7 x (

7 x

0

+ 1

) + 4

) + 0

) + 6

745

 en base 7 =>

1

4

0

6

 

Partie décimale - classique

§  Décomposition du nombre en multiplications par 1/7 emboîtées

 

0,2347 =

1/7 (

1 +

0,6429

)

 

1/7 (

1 +

1/7 (

4 +

0,5003

)

)

 

1/7 (

1 +

1/7 (

4 +

1/7 (

3 +

0,5021

)

)

)

 

1/7 (

1 +

1/7 (

4 +

1/7 (

3 +

1/7 (

3 +

0,5147

)

)

)

)

0,2347

= 0,

1

 

4

 

3

 

3

en base 7

 

Partie décimale - alternative

Idée

§  Se ramener à la conversion d'un nombre entier

§  Mais, il faut rester dans le monde des puissances de 7

Astuce

§  Si je choisi une 7n

d = d x 7n / 7n

d = N / 7n

§  Il suffit de convertir N et non plus d

§  Le numérateur N aura une partie entière d'autant plus grande que je choisirai une grande puissance de 7

En pratique

o   On multiplie le nombre par 7n , 74 par exemple

o   On obtient une grande partie entière

o   On utilise la méthode de conversion d'une partie entière

 

0,2347

x 74

 

 

x 2401

=563,5

Partie entière

563

 

563 =

7 x

80

+ 3

 

7 x (

7 x

11

+ 3

) + 3

 

7 x (

7 x (

7 x

1

+ 4

) + 3

) + 3

 

7 x (

7 x (

7 x (

7 x

0

+ 1

) + 4

) + 3

) + 3

On retrouve bien nos valeurs:

1

4

3

3

Vérification

 

 

 

 

 

1 x 73

+ 4 x 72

+ 3 x 7

+ 3

= 

343

+ 196

+ 21

+ 3

=

563

Et 563 / 74 =

0,23448

Approximation du nombre cherché

On obtiendra une meilleure précision

en prenant une puissance de 7 plus grande

 

-Ý-

Voir

§  Numération