NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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NOMBRES

 

Débutants

Nombres

Débutants

Nombres parfaits

DÉCOMPOSITION

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

 

Décomposition

  

Noms des nombres

 

Types de nombres

Produit des diviseurs

Exemple: nombres premiers

Somme des diviseurs

Exemple: nombres parfaits

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres et somme des diviseurs

>>> Décomposition selon la somme des diviseurs

 

>>> Nombres Déficients ou Défectueux

>>> Nombres Abondants ou Excessifs

>>> Nombres Fortement Composés selon définition de Ramanujan

>>> Nombres Superabondants

>>> Nombres Colossalement abondants

 

>>> Nombres Parfaits

>>> Nombres Unitairement Parfaits

>>> Nombres Semi-Parfaits ou Pseudo-Parfaits

>>> Nombres Presque Parfaits

>>> Nombres Quasi Parfaits

>>> Nombres Triparfaits

>>> Nombres Sublimes

>>> Nombres Amiables

>>> Nombres Sociables Ou Chaînes Amiables

 

>>> Nombres Étranges ou Tordus

>>> Nombres Intouchables

>>> Nombres avec diviseurs à somme carrée

 

>>> Nombres Économes, Équidigitaux, Prodigues

>>> Nombres rigolos ou nombres de Smith

 

 

 

 

NOMBRES et leur structure

Diviseurs et ADDITION

 

*    Les nombres peuvent être  classés par ensembles : entiers, rationnels, réels ...
Mais aussi: un nombre se décompose de façon unique en facteurs premiers, propriété qui permet de les classer selon des critères de divisibilité.

 

*    Ici, nous nous intéressons à la somme des diviseurs propres comparée au nombre lui-même. Les diviseurs propres sont tous les diviseurs sauf le nombre lui-même.

 

Selon la somme par rapport au nombre

Rappel, vous pouvez consulter la Page débutants

 

 

 

 

Décomposition selon la somme des diviseurs

Déficients

ou défectueux

Parfaits

Abondants

ou excessif

Presque parfaits

Semi-parfaits,

Multiparfaits

Quasi parfaits,

Superabondants,

Colossalement Abondants,

Étranges ou tordus

 

Sublimes

 

 

Par exemple

Nombre déficient

La somme de leurs diviseurs est inférieure au nombre.

S < N

Presque parfait

1 en moins dans la somme de leurs diviseurs.

S = N – 1

Parfait

Il y a égalité.

S = N

Quasi-parfait

1 en plus.

S = N + 1

Nombre abondant

La somme de leurs diviseurs est supérieure au nombre.

S > N

 

 

 

  

Nombres DÉFICIENTS ou défectueux

Définition

Un nombre entier est déficient s'il est inférieur à la somme de ses diviseurs propres.

Exemple

Les diviseurs propres de 10 sont: 1, 2, 5 et leur somme (8) est inférieure à 10. Le nombre 10 est déficient.

Liste

4, 8, 9, 10, 14, 15, 18, 21 …

Il en existe une infinité, aussi bien pairs qu'impairs.

Propriétés

La déficience d'un nombre s'étend de n – 1 pour les nombres presque-parfaits à 1 pour les nombres premiers.

 

Sont déficients:

les puissances d'un nombre premier, y compris les puissances de 2;

les produits p . q  avec p et q premiers différents;

les diviseurs des nombres déficients ou des nombres parfaits.

Anglais

Deficient or defective numbers

Suite

Nombres déficients

 

 

Nombres ABONDANTS ou excessifs

Définition

Un nombre entier est abondant s'il est inférieur à la somme de ses diviseurs propres.

Exemple

Les diviseurs propres de 12 sont: 1, 2, 3, 4 et 6 et leur somme () est 16.

Le nombre 12 est abondant. C'est le plus petit nombre abondant.

Liste

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48 …

Ils sont 21 inférieurs à 100.

Propriétés

*    Le plus petit abondant impair est:  945.

*    Le premier trouvé a été 45 045.

*    Tous les multiples de 6 (sauf 6) sont abondants.

*    Tout nombre supérieur à 20 161 est la somme de deux nombres abondants.

*    Tous les multiples d'un nombre abondant ou parfait sont abondants.

*    Tous les diviseurs d'un nombre déficient ou parfait sont déficients.

*    Les puissances d'un nombre premier les moins déficientes sont les puissances de 2

*    La somme des diviseurs de 2n est égale à 2n – 1; ces ont des nombres déficients, presque parfaits.

Anglais

An abundant number or excessive number is a number for which the sum of its proper divisors is greater than the number itself.

Suite

Nombres abondants

 

 

Nombres fortement composés

selon définition de Ramanujan

Définition

Suite des nombres qui établissent un nouveau record en quantité de diviseurs.

Exemple

1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040 …

Propriétés

Infinité.

Ramanujan (1915) en a fait la liste jusqu'à 6 746 328 388 800, en oubliant 293 318 625 600.

Les facteurs sont les premiers consécutifs.

Les exposants vont à égalité ou en décroissant.

L'exposant final est toujours égal à 1.

Anglais

Highly composite number.

Suite

Nombres fortement composés

 

 

 

Nombres SUPERABONDANTS

Définition

Un nombre n tel que, pour tout k < n, on ait:

Ce nombre dépasse tous les précédents en proportion d'abondance.

Exemple

'(12) = 16

'(24) = 36  >  16, alors 24 est superabondant

Liste

1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1 260, 1 680, 2 520, 5 040, 10 080, 15 120, 25 200, 27 720, 55 440, 110 880, 166 320 …

Il en existe une infinité.

Propriété

Les dix-neuf premiers superabondants sont aussi hautement composés.

Suite

Nombres superabondants

 

 

Nombres COLOSSALEMENT ABONDANTS

Définition

Un nombre n est dit colossalement abondant si et seulement si il existe un nombre e > 0 tel que, pour tout k > 1:

 

Liste

1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1 260, 1 680, 2 520, 5 040, 7 560, 10 080, 15 120, 20 160, 25 200, 27 720, 45 360, 50 400, 55 440 …

Propriété

Ils sont aussi superabondants.

 

  

 

Nombres PARFAITS

Définition

 

Nombres égal à la somme de ses diviseurs propres (sigma prime).

 

Définition alternative avec la part aliquote: celle-ci est tout simplement un quotient exact du nombre. Par exemple les parts aliquotes de 10 sont 10/10 = 1, 10/5 = 2 et 10/2 = 5. Un nombre parfait est un nombre qui est égal à la somme de ses parts aliquotes.

Exemple

'(6) = 1 + 2 + 3 = 6

Liste

6, 28, 496, 8 128 …

Propriétés

On ne sait toujours pas s'il existe des nombres parfaits impairs.  En fait, on ne sait pratiquement rien sur la perfection des nombres impairs!

 

Ils sont tous de la forme 2n – 1 (2n – 1)

où (2n – 1) est un nombre de Mersenne premier.

 

Anglais

Perfect numbers

Suite

Nombres parfaits

 

 

  

Nombres UNITAIREMENT PARFAITS

Définition

Soit d un diviseur de n, il est un diviseur unitaire de n s'il est premier avec n/d.

Un nombre unitairement parfait est égal à la somme de ses diviseurs unitaires.

Liste

6, 60, 90, 87 360, 1,4582… 1023

Propriétés

On ne connaît que ces cinq là.

On conjecture qu'ils sont en nombre limité.

Anglais

Unitary perfect number

Suite

Nombres unitairement parfaits

 

 

 Nombres semi-parfaits ou pseudo-parfaits

Définition

Nombre égal à la somme de certains de ses diviseurs.

Exemple

20 = 1 + 4 + 5 + 10

Liste

6, 12, 18,  20, 24, 28, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96 …

100, 102, 104, 108, 112, 114, 120, 126, 132, 138, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 168, 174, 176, 180, 186, 192, 196, 198, 200, 204, 208, 210, 216, 220, 222, 224, 228, 234, 240, 246, 252, 258, 260, 264, 270, 272, 276, 280, 282, 288, 294, 300, 304, 306, 308, 312, 318, 320, 324, 330, 336, 340, 342, 348, 350, 352, 354, 360, 364, 366, 368, 372, 378, 380, 384, 390, 392, 396, 400, 402, 408, 414, 416, 420, 426, 432, 438, 440, 444, 448, 450, 456, 460, 462, 464, 468, 474, 476, 480, 486, 490, 492, 496, 498, 500, 504, 510, 516, 520, 522, 528, 532, 534, 540, 544, 546, 550, 552, 558, 560, 564, 570, 572, 576, 580, 582, 588, 594, 600, 606, 608, 612, 616, 618, 620, 624, 630, 636, 640, 642, 644, 648, 650, 654, 660, 666, 672, 678, 680, 684, 690, 696, 700, 702, 704, 708, 714, 720, 726, 728, 732, 736, 738, 740, 744, 748, 750, 756, 760, 762, 768, 770, 774, 780, 784, 786, 792, 798, 800, 804, 810, 812, 816, 820, 822, 828, 832, 834, 840, 846, 852, 858, 860, 864, 868, 870, 876, 880, 882, 888, 894, 896, 900, 906, 910, 912, 918, 920, 924, 928, 930, 936, 940, 942, 945, 948, 952, 954, 960, 966, 968, 972, 978, 980, 984, 990, 992, 996, 1000, …

Propriétés

Contraire des nombres étranges.

Tous les nombres en 6 k sont semi-parfaits.

Nombre pseudo parfait primitif

Un pseudo-parfait dont aucun de ses diviseurs n'est lui-même pseudo-parfait: 6, 20, 28, 104, 272 …

Anglais

Pseudoperfect or semiperfect numbers (prononcez "sudo pefékt")

Primitive pseudoperfect

Voir OEIS A005835 

 

 Nombres presque parfaits

Définition

Nombre déficient, égal à la somme de ses diviseurs propres à + 1 près.       '(n) = n – 1

Exemple

n = 16, somme des diviseurs propres: 1 + 2 + 4 + 8 = 15.

Liste

1, 2, 4, 8, 16, 32 …

Propriétés

 

Tous les nombres de la forme 2n sont déficients, presque parfaits. En existe-t-il d'autres? Question ouverte.

Aucun autre presque-parfaits en 2n  + 1, ni de presque-parfaits en 2n  - 1 n'ont été trouvé, sans qu'il soit prouvé qu'ils n'existent pas.

 

Anglais

Almost perfect number

Suite

Nombres presque parfaits

 

 

 

Nombres quasi parfaits

Définition

Nombre abondant, égal à la somme de ses diviseurs propres à – 1 près.       '(n) = n + 1

Exemple

n = 16, somme des diviseurs propres: 1 + 2 + 4 + 8 = 15.

Propriétés

S'il en existe, ils sont supérieurs à 1035.

Ils seraient le carré d'un nombre impair et aurait plus de 7 diviseurs distincts.

Anglais

Quasiperfect number

 

 

 

Nombres triparfaits

Définition

La somme des diviseurs, y compris lui-même, fait trois fois le nombre.

L'index du nombre vaut 3.

Un nombre k-parfait est un nombre dont l'index vaut k.

Exemple

= 1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60+120 = 360 = 3 x 120

Liste

, 459 818 240, 1 476 304 896, 51 001 180 160

Propriétés

Trouvés en 1557 par Mersenne.

On ne connaît que six nombres triparfaits. On pense que c'est tout.

Multi parfait

k-parfait

2-parfaits: 6, 28, 496, 8128 …

3-parfaits: 120, 672, 523 776 …

4-parfaits: 30 240, 32 760, 2 178 540, 23 569 920 …

5-parfaits: 14 182 439 040, 31 998 395 520, 518 666 803 200 …

Anglais

Triperfect number, multi-perfect number, k-perfect number

Suite

Nombres triparfaits, nombres multiparfaits

 

 

Nombres sublimes

Définition

Quantité de diviseurs et somme des diviseurs sont deux nombres parfaits

Exemple

12 est un nombre sublime, car il a 6 diviseurs qui font la somme 28.

Liste

12,  608655 5670238378 9896703717 3424316962 2657830773 3518859705 2832486051 2791691264

Propriétés

On ne connaît que 2 nombres sublimes.

Anglais

Sublime number

Suite

Nombres sublimes

 

 

Nombres amiables ou amicaux

Paires amiables ou amicales

Définition

Généralisation à des couples de la notion de nombres parfaits: la somme des diviseurs de chacun est égale à l'autre nombre

Exemple

220 est divisible par: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 et 110 qui ajoutés donnent 284. Or 284 est divisible par 1, 2, 4, 71 et 142, dont la somme est 220.

Liste

220

1 184

2 620

5 020

12 285

17 296

1 175 265

9 437 056

& 284

& 1 210

& 2 924

& 5 564

& 14 595

& 18 416

& 1 438 983

& 9 363 584

Propriétés

La paire 12 285 / 14 595 est la première impaire.

La paire 17 296 / 18 416 est la deuxième connue.

Anglais

Amicable pair

Suite

Nombres amiables

 

 

 

Nombres sociables

Chaînes amiables ou amicales

Définition

Généralisation de la notion de nombres amiables. On peut prolonger la boucle

somme des diviseurs, nouveau nombre,

somme de ses diviseurs, etc.

et tenter de retrouver le nombre initial après n étapes.

Si c'est le cas, le nombre de départ est dit " sociable d'ordre n ".

Liste

12 496, 14 288, 15 472, 14 536, 14 264 …

Propriétés

Deux premiers découverts par P. Poulet, mathématicien français, en 1918.

Ordre 5: 12 496 / 14 288 / ...

Ordre 28: 14316 / ...

En 1969, Henri Cohen, Paris, en découvre 7 d'ordre 4.

Anglais

Sociable numbers

Suite

Nombres sociables

 

 

Nombres étranges ou tordus

Définition

Un nombre abondant pour lequel il est impossible de trouver une somme

de certains de ses diviseurs, égale à lui-même.

Exemple

Diviseurs de 70 = {1, 2, 5, 7, 10, 14, 35}    Somme 74

Aucune somme partielle n'est égale à 70.

Liste

70, 836, 4 030, 5 830, 7 192, 7 912, 9 272 …

Propriété

On ignore s'il existe un nombre étrange impair.

Contraire des nombres semi-parfaits.

Voir nombres pseudo-parfaits

Anglais Weird numbers

 

 

 

Nombres intouchables

Définition

Nombre qui n'est jamais la somme des diviseurs propres d'un autre nombre

Liste

2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, 516, 518, 520, 530, 540, 552, 556, 562, 576, 584, 612, 624, 626, 628, 658 …

Propriétés

Infinité – Prouvé par Erdös.

Conjecture non démontrée: 5 est le seul intouchable impair.

Anglais

Untouchable number: not the sum of the proper divisors of any number

Voir Auto-nombres

 

 

Intouchables

Film d'Olivier Nakache et d'Éric Toledano (2011).

Avec Omar Sy, François Cluzet, Audrey Fleurot

 

Avec 19,44 millions d'entrées (2012) c'est le deuxième plus gros succès français dans l'histoire de son box office, derrière Bienvenue chez les Ch'tis. Le film est devenu en 2012 le film français le plus vu hors de France détrônant ainsi Le Fabuleux Destin d'Amélie Poulain qui détenait le titre depuis près de dix ans.

 Source Wikipédia.

 

 

 

Diviseurs à somme carré …

Définition

Nombres dont la somme des diviseurs est un carré.

Exemple

66 => 1 + 2 + 3 + 6 + 11 + 22 + 33 + 66 = 144 = 12²

Liste

3, 22, 66, 70, 81

Suite

Somme diviseurs carré

Somme diviseurs cube

Somme diviseurs puissance

 

 

 

Nombres économes, équidigitaux, prodigues

Définition

On compte la quantité de chiffres pour écrire les facteurs.

On compare à la quantité de chiffres du nombre lui-même.

*    S'il y en a moins, le nombre est économe: 125 = 53, 1024 = 210

*    S'il y en a autant, le nombre est équidigital: 10 = 2 x 5, 49 = 7²

*    S'il y en a plus, le nombre est prodige: 4 = 2², 26 = 2 x 13

Suite

Nombres économes, équidigitaux, prodigues.

 

 

 

Nombres rigolos ou nombres de Smith

Définition

Nombre dont la somme des chiffres est égale à la somme de tous les chiffres de ses facteurs premiers.

Exemple

  4 = 2 x   2       Somme chiffres = 4

22 = 2 x 11       Somme chiffres = 4

27 = 3 x 3 x 3   Somme chiffres = 9

666 = 2 x 3 x 3x 37  Somme chiffres = 18

Liste

4, 22, 27, 58, 94, 121, 166, 202, 265 …

Propriété

Ils sont 376 jusqu'à 10 000.

Les nombres premiers sont exclus car trivial.

Nombre k-smith: somme des chiffres = k fois sommes des chiffres des facteurs. Ex: 32 est 2-smith car 3+2 = 5 et 2+2+2+2+2 = 10.

Suite

Nombre de Smith / Nombre -motif de Smith /  Grand nombre de Smith

 

 

 

 

 

Retour

*    Nombres selon produits des diviseurs

Suite

*    Produit des diviseurs

*    Nombres selon leurs facteurs

Voir

*    Inventaire des nombres: Entiers, rationnels, irrationnels, réels, transcendants…

*    Diviseurs: Décomposition des nombres: premiers et composés

*    Premiers: Propriétés, quantités

*    Parfaits: Somme de diviseurs

*    Amiables: L'un est somme des diviseurs de l'autre

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