collection de nombres, nombres et somme des diviseurs

§ NOMBRE avec somme des DIVISEURS CARRÉE

Définition

§ Nombres dont la somme des diviseurs est un carré

Exemples

Illustration

66 => 1 + 2 + 3 + 6 + 11 + 22 + 33 + 66 = 144 = 12²

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 26/11/2011

-Ý- Rubrique: DÉCOMPOSITION des nombres

§ Produit des diviseurs

Exemple: nombres premiers

§ Somme des diviseurs

Exemple: nombres parfaits

Sommaire de cette page

>>> Nombres et leurs Diviseurs

>>> Décomposition Selon la Somme des Diviseurs

>>> Nombres Abondants ou Excessifs

>>> Nombres Superabondants

>>> Nombres Étranges ou Tordus

>>> Nombres Déficients ou Défectueux

>>> Nombres Parfaits

>>> Nombres Unitairement Parfaits

>>> Nombres Semi-Parfaits ou Pseudo-Parfaits

>>> Nombres Presque Parfaits

>>> Nombres Quasi Parfaits

>>> Nombres Triparfaits

>>> Nombres Sublimes

>>> Nombres Amiables

>>> Nombres Sociables Ou Chaînes Amiables

>>> Nombres Intouchables

>>> Nombres Fortement Composés selon définition de Ramanujan

>>> Nombres avec diviseurs à somme carrée

>>> Suite Aliquote

>>> Nombres Économes, Équidigitaux, Prodigues

>>> Nombres rigolos ou nombres de Smith

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Somme des diviseurs = carré

Inventaire des nombres(entiers, rationnels, irrationnels, réels, transcendants…)

Diviseurs / Premiers / Parfaits / Amiables

PGCD / Théorie des nombres / Calcul mental / Géométrie

§ Les nombres sont classés par ensembles :

entier, rationnel, réel ...

Mais aussi

§ Un nombre se décompose

de façon unique en facteurs premiers

§ Propriété qui permet de classer les nombre selon des critères de divisibilité

SOMME des DIVISEURS

§ Les nombres PREMIERS tiennent la vedette

v Objet la page précédente

§ Lorsque le nombre est COMPOSÉ,

o on a plutôt regardé les propriétés additives des diviseurs

o Ce sont alors les nombres parfaits qui ont le haut du pavé

v Objet de cette page

-Ý - NOMBRES ET LEURS DIVISEURS

SOMME DES DIVISEURS

§ La classification des nombres

selon la somme de leur diviseurs

est inépuisable …

§ On compare cette somme à la valeur du nombre lui-même

§ Une cartographie montrant les diverses comparaisons

est disponible en

Introduction pour débutants aux nombres abondants, parfaits …

-Ý - Décomposition selon la somme des diviseurs

Déficients

Défectueux

Parfaits

Abondants

Excessif

Presque parfaits

Semi-parfaits

Multiparfaits

Quasi parfaits

Superabondants

Colossalement Abondants

Étranges ou tordus

Sublimes

Par exemple

Nombre déficient	§ La somme de leurs diviseurs est inférieure au nombre	S < N
Presque parfait	§ 1 en moins dans la somme de leurs diviseurs	S = N - 1
Parfait	§ Il y a égalité	S = N
Quasi-parfait	§ 1 en plus	S = N + 1
Nombre abondant	§ La somme de leurs diviseurs est supérieure au nombre	S > N

-Ý - Nombres abondants ou excessifs

Nom	§ NOMBRES ABONDANTS § NOMBRES EXCESSIFS
Définition	§ Un nombre entier est abondant o s'il est inférieur o à la somme de ses diviseurs propres
Exemples	12	18	20	24	30
	36	40	42	48	etc.
Illustration	§ Les diviseurs de 12 sont: o 1, 2, 3, 4 et 6 o et leur somme est 16 § Le nombre 12 est abondant o C'est le plus petit nombre abondant
Quantité	§ Il y en a 21 inférieurs à 100.
Propriétés	§ Le plus petit abondant impair est o 945 o Le premier trouvé a été 45 045 § Tous les multiples de 6 (sauf 6) o sont abondants § Tous les nombres premiers et leurs multiples o sont abondants § Tous nombre supérieur à 20 161 est o la somme de deux nombres abondants § Tous les multiples d'un nombre abondant ou parfait o sont abondants § Tous les diviseurs d'un nombre déficient ou parfait o sont déficients § Les puissances d'un nombre premier o les moins déficientes o sont les puissances de 2 § Somme des diviseurs de 2ⁿ = 2ⁿ -1: o nombres déficients, presque parfaits.

Voir

§ Nombre abondant

-Ý - Nombres superabondants

Nom	§ NOMBRES SUPERABONDANTS
Définition	§ Un nombre plus " abondant " que 12 Autre définition équivalente: § Nombre dont " l'abondance " est supérieure à celle de 12.
Exemples	24	36	48
Quantité	§ Il en existe une infinité
Abondance	§ La somme des diviseurs, lui-même compris, est nommée s (n) § *Abondance* d'un nombre: s (n) / n § Abondance de 12: s (12) / 12 = 28 / 12 = 7/3 = 2,33... § Tout nombre plus abondant que 12 est superabondant

Nom

§ NOMBRES SUPERABONDANTS entre eux

Définition

§ On peut généraliser cette notion

en prenant les nombres deux à deux.

Exemples

2 et 4 sont superabondant entre-eux

3 et 5 ne le sont pas

Nom

§ NOMBRES COLOSSALEMENT ABONDANTS

Définition

§ Nombre n pour lequel

il existe e > 0

tel que la fonction

s (n) / k^{1 +}^e

atteigne son maximum en n

Propriété

§ C'est un nombre superabondant

-Ý - Nombres étranges ou tordus

Nom	§ NOMBRES ÉTRANGES § NOMBRES TORDUS
Définition	§ Un nombre abondant pour lequel il est impossible de trouver une somme de certains de ses diviseurs égale à lui-même
Exemples	70	836	4 030	5 830	7 192
	7 912	9272	…
Illustration	§ Diviseurs de 70 => 1, 2, 5, 7, 10, 14 et 35 § Somme 74 § Aucune somme partielle égale à 70
Remarque	§ On ignore s'il existe un nombre étrange impair § Contraire des nombres semi-parfaits

-Ý - Nombres déficients ou défectueux

Nom	§ NOMBRES DÉFICIENTS § NOMBRES DÉFECTUEUX
Définition	§ Un nombre entier est déficient s'il est inférieur à la somme de ses diviseurs propres
Exemples	4	8	9	10	14
	15	18	21	…
Illustration	§ Les diviseurs de 8 sont: 1, 2, et 4 et leur somme est 7 Le nombre 8 est déficient
Propriétés	§ Sont déficients: o les puissances d'un nombre premier o les produits *p .* q (¹ 6) avec p et q premiers différents

-Ý - Nombres parfaits

Nom	§ NOMBRES PARFAITS
Définition	§ Nombres égal à la somme de ses diviseurs propres
Exemples	6	28	496	8 128	…
Illustration	6 = 1 + 2 + 3 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
Propriétés	§ On ne sait toujours pas s'il existe des nombres parfaits impairs § En fait, on ne sait pratiquement rien sur la perfection des nombres impairs!

Propriété

Ils sont tous de la forme

2^n-1 (2ⁿ -1)

où (2ⁿ -1) est premier

Voir

§ Nombre parfait

-Ý - Nombres unitairement parfaits

Nom	§ NOMBRES UNITAIREMENT PARFAITS
Définition	§ Soit d un diviseur de n, il est un diviseur unitaire de n s'il est premier avec *n/d* § Un nombre unitairement parfait est égal à la somme de ses diviseurs unitaires
Exemples	6	60	90	87 360	1,4582... 10²³
Quantité	§ On en connaît que 5 § On conjecture qu'ils sont en nombre limité

Voir

§ Nombre unitairement parfait

-Ý - Nombres semi-parfaits ou pseudo-parfaits

Nom	§ NOMBRES SEMI-PARFAITS § NOMBRES PSEUDO-PARFAITS
Définition	§ Nombres égal à la somme de certains de ses diviseurs
Exemples	12	20	24	30	…
Illustration	20 = 1 + 4 + 5 + 10
Propriétés	§ Contraire des nombres étranges

-Ý - Nombres presque parfaits

Nom	§ NOMBRES PRESQUE PARFAITS
Définition	§ Nombre déficient, égal à la somme de ses diviseurs propres à + 1
Exemples	2	4	8	…
Illustration	N = 8 => 1 + 2 + 4 + 8 + 1 = 16 = 2⁴
Propriétés	§ Parmi tous les nombres presque-parfaits *connus* ils sont tous en 2ⁿ aucun en 2ⁿ + 1 aucun en 2ⁿ - 1

Propriétés:

Tous les nombres de la forme 2ⁿ

sont déficients,

presque parfaits.

Aucun autre presque-parfaits en 2ⁿ + 1,

ni de presque-parfaits en 2ⁿ - 1

n'ont été trouvé,

sans qu'il soit prouvé qu'ils n'existent pas.

Voir

§ Nombre presque parfait

-Ý - Nombres quasi parfaits

Nom

§ NOMBRES QUASI PARFAITS

Définition

§ Nombre abondant égal à

la somme de ses diviseurs propres moins 1

Propriétés

§ S'il en existe,

ils sont supérieur à 10³⁵

§ Ils seraient le carré d'un nombre impair

§ et aurait plus de 7 diviseurs distincts.

-Ý - Nombres triparfaits

Nom	§ NOMBRES TRIPARFAITS
Définition	§ La somme des diviseurs, y compris lui-même, fait trois fois le nombre
Exemples	120	676	523 776
	459 818 240	1 476 304 896	31 001 180 160
Illustration	120 x 3 = 1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60+120
Quantité	On ne connaît que 6 nombres triparfaits
Propriétés	§ Trouvé en 1557 par Mersenne

-Ý - Nombres sublimes

Nom	§ NOMBRES SUBLIMES
Définition	§ La quantité de diviseurs et § la somme des diviseurs sont deux nombres parfaits
Exemples	12	608655 5670238378 9896703717 3424316962 2657830773 3518859705 2832486051 2791691264
Illustration	12 est un nombre sublime
Quantité	§ On ne connaît que 2 nombres sublimes

-Ý - Nombres amiables

Nom

§ NOMBRES AMIABLES

§ NOMBRES AMICAUX

Définition

§ Généralisation à des couples de la notion de nombres parfaits:

lLa somme des diviseurs de chacun

est égale à l'autre nombre

Exemples

220

1 184

2 620

5 020

12 285

17 296

1 175 265

9 437 056

…

& 284

& 1 210

& 2 924

& 5 564

& 14 595

& 18 416

& 1 438 983

& 9 363 584

…

Illustration

§ 220 est divisible par

1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55

et 110 qui ajoutés donnent 284

§ Or 284 est divisible par

1, 2, 4, 71

et 142 dont la somme est 220.

Propriétés

§ La paire 12 285 - 14 595 est la première impaire

§ La paire 17 296 - 18 416 est la deuxième connue

Voir

§ Nombres amiables

-Ý - Nombres sociables ou Chaînes amiables

Nom	§ NOMBRES SOCIABLES § CHAÎNES AMIABLES
Définition	§ Généralisation des nombres amiables On peut poursuivre la boucle somme des diviseurs, nouveau nombre, somme de ses diviseurs, etc. et tenter de retrouver le nombre initial après n étapes. § Si c'est le cas, le nombre de départ est dit " sociable d'ordre n "
Exemples	12 496	14 288	15 472	14 536	14 264
Propriétés	§ Deux premiers découverts par P. Poulet, mathématicien français, en 1918 § Ordre 5: 12 496 / 14 288 / ... § Ordre 28: 14316 / ... § En 1969, Henri Cohen, Paris, en découvre 7 d'ordre 4

-Ý - Nombres intouchables

Nom	§ NOMBRES INTOUCHABLES
Définition	§ Nombre qui n'est jamais la somme des diviseurs propres d'un autre nombre
Exemples	2	5	52	88
	96	120	…
Suite	124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, 516, 518, 520, 530, 540, 552, 556, 562, 576, 584, 612, 624, 626, 628, 658 …
Quantité	§ Infinité – Prouvé par Erdös

-Ý - Nombres fortement composés selon définition de Ramanujan

Nom	§ NOMBRES FORTEMENT COMPOSÉS selon la définition de Ramanujan
Définition	§ Suite des nombres qui établissent un nouveau record en quantité de diviseurs
Exemples	1	2	4	6
	12	24	…

Voir

§ Nombres fortement composés

-Ý - Diviseurs à somme carré

Voir

§ Somme diviseur carré

-Ý - Suite aliquote

Nom

§ SUITE ALIQUOTE

Définition

§ Suite formée de la somme des diviseurs d'un nombre,

puis la somme des diviseurs du nouveau nombre,

etc.

Voir

§ Suite aliquote

-Ý - Nombres économes, équidigitaux, prodigues

Nom

§ NOMBRES ÉCONOMES

Définition

§ On compte la quantité de chiffres

pour écrire les facteurs

§ On compare à la quantité de chiffres

du nombre lui-même

§ S'il y en a moins,

le nombre est économe

Exemples

125 = 5³

1024 = 2¹⁰

Nom

§ NOMBRES ÉQUIDIGITAUX

Définition

§ S'il y en a autant,

le nombre est équidigital

Exemples

10 = 2 x 5

49 = 7²

Nom

§ NOMBRES PRODIGUES

Définition

§ S'il y en a plus,

le nombre est équidigital

Exemples

4 = 2²

26 = 2 x 16

Voir

§ Nombres économes, équidigitaux, prodigues

-Ý - Nombres rigolos ou nombres de Smith

Nom	§ NOMBRES RIGOLOS § NOMBRES DE SMITH
Définition	§ Nombre dont la somme des chiffres est égale à la somme de tous les chiffres de ses facteurs premiers
Exemples	4	22	27	58	58	94	121	166
	202	265	…
Illustrations	4 = 2 x 2 22 = 2 x 11 27 = 3 x 3 x 3				=> Somme chiffres = 4 => Somme chiffres = 4 => Somme chiffres = 9
Quantité	376				jusqu'à 10 000

Voir Nombre de Smith / Nombre -motif de Smith / Grand nombre de Smith

-Ý -

Voir

§ Inventaire des nombres

§ Diviseurs

§ Premiers

§ Parfaits

§ Amiables