NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Numération

 

Débutants

Décimal

BASES

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

Numération

 

B2

B8

B12

B10

B16

B20

B60

 

Sommaire de cette page

>>> Base 8

>>> Octal en décimal: nombre entier

>>> Octal en décimal: Partie décimale

>>> Décimal en octal

>>> Exemple avec disposition pratique

>>> Programmation – Conversion décimale en base b

>>> Programmation – Somme en octal

>>> Binaire nommé en octal

>>> Table de conversion

 

 

 

CONVERSION en OCTAL

Base 8

 

Comment convertir un nombre exprimé en base 8 (octal) en un nombre en base 10 (décimale) et inversement.

 

En résumé

En octal, on compte avec 8 symboles.

Le nombre décimal 8 s'écrit 10 en octal.

Voir Construction du système décimal

 

 

 

BASE 8

 

*    Le système de numération à base 8 est un moyen de représenter les nombres avec 8 symboles. Selon sa place, le symbole indique ("pèse") une valeur particulière.

*    Octet: un nombre binaire de huit bits, nommé byte en anglais. Un kilooctet (ko) comprend mille octets (en fait 1024).
A sequence of adjacent bits, usually eight, operated on as a unit by a computer.

*    Symboles (valeur et leur baptême usuel)  0  1  2  3  4  5  6  7, soit les huit premiers chiffres de notre système décimal.

 

*    Positions: chaque position successive en allant vers la gauche indique une valeur huit fois plus importante que celle juste à droite:   …. 512,   64,  8,  1.

*    Ce que cela veut dire:

 

Position

3

2

1

0

Valeur

83

82

81

80

Ou

512

64

8

1

 

*    Exemples:                         1210 = 1x8 + 4x1 = 148

 

*    La numération octale est aussi simple que la numération en binaire.
Elle a longtemps été utilisée aux débuts des ordinateurs, abandonnée au profit de l'hexadécimal, malgré l'obligation de passer à 16 chiffres (16 symboles).
Pourtant la meilleure base serait la duodécimale (12), mais peu pratique pour le passage au binaire.

*    Le philosophe danois Emmanuel Swedendorg s'est fait l'avocat de l'octal et a même écrit un livre sur ce sujet.

 

 

Additions en octal

Voir Somme en octal (programmation)

 

 

NOMBRE ENTIER – Octal vers décimal

 

 Quelle est la valeur du nombre en octal: 4321 ?

 

Position

3

2

1

0

 

 

Valeur

83

82

81

80

 

 

Chiffres du nombre

4

3

2

1

 

 

Calcul

 

 

 

 

1 x 80 =

1

 

 

 

 

 

2 x 81 =

16

 

 

 

 

 

3 x 82 =

192

 

 

 

 

 

4 x 83 =

2 048

Total

 

 

 

 

 

2 257

 

Exemple de lecture: en 4e position (colonne de gauche) qui représente la valeur 83 (= 512), on trouve le chiffre 4 dans le nombre en octal; cette position "pèse": 4 x 512 = 2 048 en décimal.

 

4 3218  =  2 25710

 

Quelques exemples de conversion

1 7508 = 1 00010

2 7128 = 1 11110

3 641 1008 = 1 000 00010

4 172 1078 = 1 111 11110

 

 

 

PARTIE DÉCIMALE – Octal vers décimal

 

0, 4321

Position

 

1

2

3

4

 

 

Valeur

 

8-1

8-2

8-3

8-4

 

 

Chiffres du nombre

0,

4

3

2

1

 

 

Calcul

 

 

 

 

 

1 x 8-4 =

0,000244140625

 

 

 

 

 

 

2 x 8-3 =

0,00390625

 

 

 

 

 

 

3 x 8-2 =

0,046875

 

 

 

 

 

 

4 x 8-1 =

0,5

Total

 

 

 

 

 

 

0,551025390625

 

 

DÉCIMAL en OCTAL

 

458 en octal

 

Division par 8

Reste

Résultat

458

57

2

 

 

 

 

7

1

 

 

 

 

0

7

 

 

 

 

 

 

7

1

2

 

 

    458 10 

=  712 8 

=  111 001 010 2

 

 

0,458 en octal

 

Multiplication

 par 8

Entier

Résultat

 

 

 

0,

3

5

2…

0,458

3,664

3

 

 

 

 

0,664

5,312

5

 

 

 

 

0,312

2,496

2

 

 

 

 

 

0,45810 

=  0,3528   

=  0,011 101 010 012

 

 

Exemple avec disposition pratique: décimal en octal

 

 

 

Programmation – Conversion décimale en base b

 

On commence par deux procédures qui traitent séparément la partie entière et la partie décimale.

 

Procédure Décimal-Octal-Entier (DOE) avec entrée de la partie entière n et de la base b.

Boucle de balayage de tous les chiffres du nombre entier; en fait jusqu'à un quotient (q) nul.

Les restes successifs de la division par la base sont placés dans la liste LL. Les chiffres de celle-ci sont inversés pour former la liste L des chiffres dans le bon ordre.

 

 

La procédure  Décimal-Octal-Décimal (DOD) avec n sous la forme0, …

On limite la recherche à 30 décimales (par exemple).

 La partie entière de la multiplication par la base est placée dans une liste L.

Si avant les 30 itérations, le nombre devient nul, on stoppe le travail en positionnant le compteur d'itérations à 100 (par exemple).

 

 

Le programme principal fait appel à ces deux procédures.

Le nombre n et la base sont définis. La partie entière de n est obtenue en prenant sa valeur plancher (floor).

On affiche la concaténation des retours des deux procédures.

 

Ici, le résultat est donc affiché avec 30 décimales.

 

 

Autre programme principal  qui affiche le résultat sous la forme classique d'un nombre avec décimales.

 

La partie entière est transformée en nombre (nNE) à partir des chiffres (NE). Idem pour la partie décimale.

Les deux nombres sont ajoutés, la partie décimale étant multipliée par la puissance de 10 négative correspondant à sa quantité de chiffres.

 

Ce nombre (nbase) est prêt à d'autres usages dans le programme.

 

Pour info: vous trouverez de nombreux convertisseurs en ligne sur Internet.

Celui-ci est fourni par RapidTable >>>

 

Programmation – Somme en octal

 

 

Procédure nommée Soctal:

somme de deux nombres exprimés en octal avec somme en octal.

 

Première conversion: chaque nombre A et B est transformé en liste de chiffres (mis dans l'ordre inverse).

Puis conversion octal vers décimal, toujours en liste de chiffres.

Sommation pondérée par les puissances de 10 pour restituer les nombres (classiques) en décimal.

Addition de A et B en décimal, puis conversion de la somme en octal.

 

 

 

Exemple d'addition de deux nombres en octal, avec somme en octal.

 

1 234 5678 + 76 54 3218

= 11 111 1108

 

 

 BINAIRE nommé en OCTAL

 

*    Face à un nombre binaire un peu long, l'énumération des bits (suite des zéros et des uns) n'est pas commode. Il est plus facile de les nommer en les regroupant par trois. Chaque paquet de trois est nommée par sa valeur en octal, comme l'indique cette table.

 

Binaire

Octal

4

2

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

0

2

0

1

1

3

1

0

0

4

1

0

1

5

1

1

0

6

1

1

1

7

 

Exemple avec le nombre binaire 101111010001

 

Binaire

101

111

010

001

Octal

5

7

2

1

 

Pour information ce nombre vaut 3 025 en décimal.

 

Cette façon de nommer un nombre binaire est employée en informatique, car plus compacte que le binaire, et plus facile à écrire. Cependant, aujourd'hui, l'hexadécimal – regroupement en paquets de quatre bits – est plus utilisé.

 

 

 

 

 

Table de conversion

 

Nombres entiers de 1 à 100

 

Nombres décimaux de 0 à 1 avec un pas de 0,05 = 1/20

Voir  Tables

 

 

 

Suite

*    Base duodécimale

*    Voir menu en haut de page

Voir

*    Base 2 - Dualité

*    Décomposition des nombres

*    Hexadécimal

*    Inventaire des nombres

*    NumérationIndex

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