NOMBRES - Curiosités, théorie et us Accueil / Dictionnaire / Rubriques / Index / Références / Nouveautés ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 05/03/2018 |
-Ý- RUBRIQUE: NUMÉRATION CONVERSIONS |
||||||
§
Décimal |
§
Binaire |
§
Octal |
||||
§ Base 60 |
||||||
Somm Cl >>> SYSTÈMES b >>> CONVERSION p Tr >>> CONVERSION 32 en 16 >>> EXPLICATIONS >>> FORMULE DE CONVERSION >>> LOGICIEL DE CALCUL >>> EXEMPLES DE CONVERSION |
P |
|||||
CONVERSION
b Comment
convertir un nombre exprimé en b en un
nombre en b Exemple de
r et, ét In fine, on donne l en p |
-Ý- SYSTÈME HEXADÉCIMAL et b
Nombre
hexadécimal
§
Pour écrire les
nombres, utilisation de o
non pas 10
chiffres o
m §
on les note de
la manière suivante |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
§
On peut garder
les nombres 10, 11 etc. o
Mais alors, il
faut considérer le nombre comme un bloc En fait, §
L'hexadécimal
étant très répandu en informatique, §
et pour ne pas
confondre, §
on utilise
généralement les lettres A, B… |
On
compte
Bloc- chiffres |
14 |
15 |
1, 1 |
1, 2 |
… |
1,10 |
1, 11 |
1, 12 |
Avec lettres |
E |
F |
11 |
12 |
|
1A |
1B |
1C |
Nombre en base 32
§
Pour écrire les
nombres, utilisation de o
non pas 10
chiffres o
mais 32
symboles |
-Ý- CONVERSION PAR LE BINAIRE
§
En pratique: o
Pour convertir
un nombre base 32 en 16
ou en 8 ou en 2 o
C'est très f |
Exemple pour conversion base 32 en base 16
§ Une valeur hexadécimale
(24) est représentée en binaire o de façon unique par un groupe de 4 bits § Une valeur en base 32
(25) est représentée en binaire o de façon unique par un groupe de 5 bits § De sorte que o
un nombre
binaire s'exprime § en base 16 en regroupant les bits par paquets de 4 § en base 32 en regroupant les bits par paquets de 5 § Soit une méthode simple et rapide de conversion, o
résumée en : |
N32 => binaire5 => binaire4
=> N16 |
Exemple
[2, 2 , 2] 32 = ? |
Notation base 32 |
2 |
2 |
2 |
||||||||||||
Notation binaire |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
Paquet de 4 bits |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
Notation base 16 |
0 |
8 |
4 |
2 |
[2,
2 , 2] 32 = [8, 4 , 2] 16 |
Méthode
|
Autre exemple
[2 , 22 , 17] 32 = ? |
|
Digit 3 |
Digit 2 |
Digit 1 |
Notation base 32 |
2 |
22 |
17 |
Notation binaire |
00010 |
10110 |
10001 |
Paquet de 4 bits |
000 1010 1101 0001 |
||
Notation base 16 |
10 |
13 |
1 |
[2 , 22 , 17] 32 = [10 , 13 ,
1] 16 |
-Ý- CONVERSION 32 en 16
§
Ce qui suit
sert à illustrer l'utilisation des bases §
En réponse à
une demande d'un visiteur du site |
Table de conversion: base 32 en base16
Exemple [1 ,
4]Base 32 = [2 , 4]Base 16 |
32 = > |
16 |
|
32 = > |
16 |
|
32 = > |
16 |
||||||
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
2 |
0 |
|
2 |
0 |
4 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
2 |
1 |
|
2 |
1 |
4 |
1 |
0 |
2 |
0 |
2 |
|
1 |
2 |
2 |
2 |
|
2 |
2 |
4 |
2 |
0 |
3 |
0 |
3 |
|
1 |
3 |
2 |
3 |
|
2 |
3 |
4 |
3 |
0 |
4 |
0 |
4 |
|
1 |
4 |
2 |
4 |
|
2 |
4 |
4 |
4 |
0 |
5 |
0 |
5 |
|
1 |
5 |
2 |
5 |
|
2 |
5 |
4 |
5 |
0 |
6 |
0 |
6 |
|
1 |
6 |
2 |
6 |
|
2 |
6 |
4 |
6 |
0 |
7 |
0 |
7 |
|
1 |
7 |
2 |
7 |
|
2 |
7 |
4 |
7 |
0 |
8 |
0 |
8 |
|
1 |
8 |
2 |
8 |
|
2 |
8 |
4 |
8 |
0 |
9 |
0 |
9 |
|
1 |
9 |
2 |
9 |
|
2 |
9 |
4 |
9 |
0 |
10 |
0 |
10 |
|
1 |
10 |
2 |
10 |
|
2 |
10 |
4 |
10 |
0 |
11 |
0 |
11 |
|
1 |
11 |
2 |
11 |
|
2 |
11 |
4 |
11 |
0 |
12 |
0 |
12 |
|
1 |
12 |
2 |
12 |
|
2 |
12 |
4 |
12 |
0 |
13 |
0 |
13 |
|
1 |
13 |
2 |
13 |
|
2 |
13 |
4 |
13 |
0 |
14 |
0 |
14 |
|
1 |
14 |
2 |
14 |
|
2 |
14 |
4 |
14 |
0 |
15 |
0 |
15 |
|
1 |
15 |
2 |
15 |
|
2 |
15 |
4 |
15 |
0 |
16 |
1 |
0 |
|
1 |
16 |
3 |
0 |
|
2 |
16 |
5 |
0 |
0 |
17 |
1 |
1 |
|
1 |
17 |
3 |
1 |
|
2 |
17 |
5 |
1 |
0 |
18 |
1 |
2 |
|
1 |
18 |
3 |
2 |
|
2 |
18 |
5 |
2 |
0 |
19 |
1 |
3 |
|
1 |
19 |
3 |
3 |
|
2 |
19 |
5 |
3 |
0 |
20 |
1 |
4 |
|
1 |
20 |
3 |
4 |
|
2 |
20 |
5 |
4 |
0 |
21 |
1 |
5 |
|
1 |
21 |
3 |
5 |
|
2 |
21 |
5 |
5 |
0 |
22 |
1 |
6 |
|
1 |
22 |
3 |
6 |
|
2 |
22 |
5 |
6 |
0 |
23 |
1 |
7 |
|
1 |
23 |
3 |
7 |
|
2 |
23 |
5 |
7 |
0 |
24 |
1 |
8 |
|
1 |
24 |
3 |
8 |
|
2 |
24 |
5 |
8 |
0 |
25 |
1 |
9 |
|
1 |
25 |
3 |
9 |
|
2 |
25 |
5 |
9 |
0 |
26 |
1 |
10 |
|
1 |
26 |
3 |
10 |
|
2 |
26 |
5 |
10 |
0 |
27 |
1 |
11 |
|
1 |
27 |
3 |
11 |
|
2 |
27 |
5 |
11 |
0 |
28 |
1 |
12 |
|
1 |
28 |
3 |
12 |
|
2 |
28 |
5 |
12 |
0 |
29 |
1 |
13 |
|
1 |
29 |
3 |
13 |
|
2 |
29 |
5 |
13 |
0 |
30 |
1 |
14 |
|
1 |
30 |
3 |
14 |
|
2 |
30 |
5 |
14 |
0 |
31 |
1 |
15 |
|
1 |
31 |
3 |
15 |
|
2 |
31 |
5 |
15 |
En base 16 (en jaune) § On constate que le motif vertical des "unités" 1, 2, 3, 4…14, 15 § se répète de manière symétrique § Quant au chiffre des "dizaines" il tout simplement multiplié par 2 |
-Ý- EXPLICATIONS
§
Avec un peu de
maths, o
on peut comprendrepourquoi c'est si simple §
Évidemment, 32
= 2 x 16 o
alors: |
Base 32 |
N32 = |
c x 322 |
+ b x 321 |
+ a x 320 |
Base 16 |
N16 = |
c x (2 x16)2 |
+ b x (2
x 16)1 |
+ a x (2
x 16)0 |
|
22
c x 162 |
+ 21
b x 161 |
+ 20
a x 160 |
|
4
c x
162 |
+ 2 b x 161 |
+ 1 a x 160 |
Rappel
x0 = 1 |
et |
x1 = x |
Et les retenues…ne pas les oublier!
§
Oui, ça se
complique un peu! o
En effet, il se
peut que o
a soit supérieur à la
valeur o
de la nouvelle
base (16) §
Alors, o
il faut
retrancher 16 aux unités o
et ajouter 1 de
retenue aux "dizaines" |
Exemple
[0,17]32 = |
0 x 32 + 17 |
= |
17 |
= |
16 + 1 |
= |
1 x 161 + 1 |
= |
[1 , 1]16 |
-Ý- FORMULE DE CONVERSION
Ébauche de formule
a16 = a32 mod 16 § On note: A = a mod
16 § qui veut dire: o
que le nouveau
coefficient o
est tout
simplement le reste de l'ancien o
dans sa
division par 16: 17 / 16 = 1
reste 1 § On remarque aussi o
que la retenue
est égale o
à la partie
entière de la division Rb = Entier
(a32 / 16) § En notant: Rb =
Entier (a / 16) |
Formulation
a,
b, c: coefficients en base 32 A, B, C en base 16 |
N32 = |
c x 322 |
+ b x 321 |
+ a x 320 |
N16 = |
4 c x 162 |
+ 2 b x 161 |
+ 1 a x 160 |
C x 162 |
B x 161 |
A x 160 |
|
|
Avec C = (4c + Rc) mod 16 |
Avec B = (2b+ Rb) mod 16 |
Avec A = a mod 16 |
Avec Rc = Ent (2b / 16) |
Avec Rb = Ent (a / 16) |
|
§
On peut
poursuivre l'établissement de la formule en procédant de la même manière |
-Ý- LOGICIEL DE CALCUL
§
Il existe des
logiciels de calcul mathématique o
qui donne la
conversion automatiquement o
d'une base dans
un autre |
Exemple
L'instruction
correspondante en MAPPLE est: convert ( [c,b,a], base,
32, 16) ) |
Exemple de programme
de
vérification de la formule N32 = [2 , 22 , 17] |
# Coefficients
du nombre en base 32 b :=
22: c :=
2: # Calcul des
coefficients en base 16 A := a mod 16; B := (2*b+ trunc(a/16)
) mod 16; C := (4*c+ trunc(2*b/16)
) mod 16; #Vérification
avec l'instruction incluse X := convert ( [a,b,c], base, 32, 16 ); |
Impression du résultat de calcul
A
:= 1 B
:= 13 C
:= 10 X := [1, 13, 10] |
N16 = [10 , 13 , 1] |
Note:
Mapple donne les coefficients dans l'autre sens
-Ý- EXEMPLES DE CONVERSION
32 => |
|
16 |
|||||
1 |
1 |
1 |
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4 |
2 |
1 |
2 |
2 |
2 |
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8 |
4 |
2 |
3 |
3 |
3 |
|
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12 |
6 |
3 |
4 |
4 |
4 |
|
1 |
0 |
8 |
4 |
5 |
5 |
5 |
|
1 |
4 |
10 |
5 |
6 |
6 |
6 |
|
1 |
8 |
12 |
6 |
7 |
7 |
7 |
|
1 |
12 |
14 |
7 |
8 |
8 |
8 |
|
2 |
1 |
0 |
8 |
9 |
9 |
9 |
|
2 |
5 |
2 |
9 |
… |
|
|
|
|
|
|
|
16 |
16 |
16 |
|
4 |
2 |
1 |
0 |
… |
|
|
|
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|
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31 |
31 |
31 |
|
7 |
15 |
15 |
15 |
32 |
32 |
32 |
|
8 |
4 |
2 |
0 |
Voir |