NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 02/04/2012 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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		Sommaire de cette page >>> Puissances de 2 et binaire >>> Somme des puissances de 2 >>> Divisibilité par 3 >>> Triangle de Pascal >>> Progression des puissances de 2 >>> Puissance de 2 1 >>> Formule originale >>> Papier plié

PUISSANCE de 2

Propriétés

Puissances de 2 et voisins

Puissance	Mersenne	Sierpinski	Fermat	Fermat généralisé
2 ^n	2 ^p – 1	k . 2 ^n + 1	2 ^2^à la puissance k + 1	n ^2 à la puissance k + 1

PUISSANCES DE 2 ET BINAIRE
Numération Comme les puissances de 10 sont à la base du système décimal, les puissances de 2 sont à la base du système de numération binaire Remarque 1112 = 710 = 2^2 + 2^1 + 2^0 10002 = 810 = 2^3 Plus généralement 2^n – 1 = 11 …11 en binaire 2^n = 1 00 …00 en binaire	10112 = 1 x 2^3 + 0 x 2^2 + 1 x 2^1 + 1 x 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 1110 Toutes les puissances de 2 de 0 à 4. n fois le 1 Un 1 et n fois le 0

SOMME DES PUISSANCES DE 2

Observations

On calcule les puissances de 2 et leur somme cumulée S_n

n	2^n	Sn
0	1	1
1	2	3
2	4	7
3	8	15
4	16	31
5	32	63
6	64	127
7	128	255
8	256	511
9	512	1 023
10	1 024	2 047

On note, par exemple

1 024 – 1	= 1 023
2^10 – 1	= S9
2^n+1 – 1	= Sn

Exemple développé avec S₉

1 023	= 2^10 - 1 = 2^9 + 2^8 + 2^7 + 2^6 + 2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0 = 512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1en binaire Somme des puissances successives de 2
1 024	= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 1 en binaire = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 en binaire La conversion binaire montre explicitement la relation entre 1 023 et 1 024 .

Théorèmes

La somme des puissances de 2 est égale à

la puissance de deux suivante moins 1.

S_n = 2ⁿ⁺¹ – 1

Une puissance de deux est égale à la somme de

toutes les puissances de deux inférieures plus un.

2ⁿ⁺¹ = S_n + 1

2ⁿ = S_n-1 + 1

Exemple

S100	= 2^101 – 1 = 2 535 301 200 456 458 802 993 406 410 751

Voir Nombre presque-parfaits

Démonstration par induction
On suppose que la formule est vraie pour n.	Sn = 2^n-1 + 2^n-2 + … + 2 + 1 = 2^n – 1
On passe à n+1.	Sn+1 = 2^n + 2^n-1 + 2^n-2 + … + 2 + 1 Sn+1 = 2^n + Sn
On remplace Sn par sa valeur dans la formule de récurrence.	Sn+1 = 2^n + 2^n – 1
Deux fois 2^n	Sn+1 = 2^n+1 – 1
La relation obtenue est la formule de récurrence appliquée à n+1.	Si la formule est vraie pour n, elle est vraie pour n+1
Or elle est vraie pour 1.	S0 = 2^0 = 1 = 2^1 – 1 = 2 – 1 = 1
Formule vraie pour n+1, si vraie pour n Or vraie pour 1 Donc vraie dans tous les cas.

Voir Démonstration par induction

Démonstration par sommes
Il faut commencer par une astuce comme souvent en maths. Désolé!	2^n = 2^n (2 – 1) 2^n = 2^n+1 – 2^n
Muni de cet outil voyons notre somme.	Sn = 2^n + 2^n-1 + 2^n-2 + … + 2 + 1
Remplaçons par notre formule magique. On se souviendra que 2^0 = 1. (Voir Explication)	Sn = 2^n + 2^n-1 + 2^n-2 + … + 2^1 + 2^0	Sn = 2^n+1 – 2^n + 2^n – 2^n-1 + 2^n-1 – 2^n-2 + … + 2^2 – 2^1 + 2^1 – 2^0
Additionnons, en observant les termes qui s'éliminent deux à deux.	Sn = 2^n+1 – 2^0 = 2^n+1 – 1

DIVISIBILITÉ par 3
2^n = 2 x 2 x … 2	N'est évidemment pas divisible par 3 (aucun des facteurs n'est divisible par 3).
2^2n = 3k + 1	Les puissances paires de 2, divisées par 3, donne un reste de 1.
2^2n+1= 3k + 2	Les puissances impaires de 2, divisées par 3, donne un reste de 2.
Illustration

Voir Divisibilité des puissances de 2 moins unité

TRIANGLE DE PASCAL
La somme des coefficients de la ligne n du triangle de Pascal vaut 2 ^n. Explications On peut retrouver facilement cette propriété en remarquant que 2 = 1 + 1 Et alors, on calcule 2^n = (1 + 1)^n sur la base du développement du binôme. Celui-ci fait intervenir les coefficients du binôme qui ne sont autres que les termes du triangle de Pascal.

PROGRESSION DES PUISSANCES DE 2
Plus grand nombre avec 3 deux	= (2²)² = 2^(2²) ^² = 4^2 = 2^4 =	16
	222 =	222
	22² =	484
	2²² =	4 194 304
Plus grand nombre avec 4 deux	2 222	10 ^3
	222 ² = 49 284	10 ^4
	= ((2²)²)² = 2^2^2^2 = 65 536	10 ^5
	= 484 ^2	10 ^14
	22 ²²	10 ^29
	2 ²²²	0,67 10 ^67
	= 2 ²²^² = 2^484	0,5 10 ^146
	= 2²^²² = 2^4 194 304	10 ^1 262 612

Voir Échecs / Tour de Brama ou de Hanoi

PUISSANCE DE 2 – 1

2^67 – 1 = 1, 47… 10^20 = 147 573 952 589 676 412 927 = 193 707 721 x 7 618 388 257 287 En 1876, Lucas montre que ce nombre est composé. Il a été factorisé en 1901 par F. Cole. Voir Ce nombre Anecdote: Frank Cole est professeur de mathématiques à l'université Columbia de New York. En 1903, lors d'une cession de la Société mathématique américaine, sans dire un mot, il écrit au tableau le nombre de Mersenne 2^67 – 1, puis sur l'autre tableau le produit de deux nombres, et, enfin, entre les deux le signe égal. Il avait passé trois années de ses temps libres pour arriver à factoriser ce nombre.

PUISSANCE DE 2 1 – Nombres premiers
Pour N <50 Seules 8 + 5 - 1 (3 étant en double) = 12 valeurs de 2^N 1 sont premières pour N < 50. Pour N >50 Nombres 2^N 1 qui sont premiers. (N n'est donné que si l'un des deux nombres est premier) Vérifié jusqu'à 1900 Suite en Nombres de Mersenne

UNE FORMULE ORIGINALE
Équation Exemples Équation amusante découverte et démontrée en 1986 par Pascal Peyremorte

PAPIER PLIÉ

1 125 899 906 842 624 = 1,126 10 ¹⁵ morceaux de papier plié.

On prend une feuille de papier à cigarette de 1/50 mm (très fin!).

il en faut 500 pour faire 1 cm d'épaisseur.

On déchire la feuille en deux et on empile les morceaux.

On recommence l'opération 50 fois.

Quelle est la hauteur de la pile?

La première déchirure donne	2 = 2^1 morceaux
La seconde en donne	4 = 2²
Puis	2^3
Etc.
Au 20^e coup	2^20 = 1 048 576	=> 20 mètres
30^e		=> 20 km
40^e		=> 25 000 km
Au total: 50^e	1 126 000 000 000 000	=> 22 millions de km

Distance à comparer à (en km)

Lune	diamètre	3 476
Terre	circonférence	40 000
Lune	orbite	384 400
Soleil	diamètre	1 392 530
Papier	déchiré	22 000 000
Terre	orbite	150 000 000

Voir Timbres / Feuille pliée - Débutant / Courbe du dragon

Suite	Puissance 2 – Valeurs Puissance de 2 et nombres consécutifs Puissance des nombres – Autres pages Puissances de 2 et logarithmes
Voir	Divisibilité de 2n 1 et x.n 1 Échiquier et grains de blé Identités Nombres bons Octave en musique Partage des œufs Progression géométrique Puissances – Index Puissances de 2 et nombre 142857 Puissances et exposants Somme des inverses des puissances de 2