NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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PUISSANCES

 

Débutants

Général

Puissances de 2

 

Glossaire

Puissance

 

 

INDEX

 

 

Puissances des nombres

 

Approche

Propriétés

Valeurs

 

Sommaire de cette page

>>> Puissances de 2: jamais somme de consécutifs

>>> Les puissances de 2 sont presque parfaites

>>> Puissances de 2 et binaire

>>> Somme des puissances de 2

>>> Divisibilité par 3

>>> Triangle de Pascal

>>> Puissances de 2 et 2n

>>> Puissances de 2 et cubes

>>> Progression des puissances de 2

>>> Puissance de 2  1

>>> Formule originale

>>> Papier plié

>>> Produit avec puissances de 2

 

 

 

 

PUISSANCE de 2

Propriétés

 

À retenir

 

 

Puissances de 2 et voisins

Puissance

Mersenne

Sierpinski

Fermat

Fermat généralisé

Thabit

2 n

2 p – 1

k . 2 n + 1

2 2 à la puissance k + 1

n 2 à la puissance k + 1

2n+1 + (2n – 1)

est une fraction dyadique

Carol et Kenya

Voir Nombres binaires particuliers / Types de nombres premiers

 

 

 

Amusements avec un nombre en puissances de 2

1 / 998 = 0,001 002 004 008 016 032 064 128 256

                  513 026 052 104 208 416 833 667 ….3

Suite des puissances de 2 jusqu'à 256 = 28.

Application d'une identité remarquable avec les puissances de 2:

Voir Motifs sur les racines carrés

 

 

 

Devinette

Rectifier l'opération en déplaçant un seul chiffre.

Solution

 

Les PUISSANCES de 2

ne pas sommes de consécutifs

La partition des puissances de 2 avec des nombres consécutifs est impossible.

 

Exemple

24 = 16

Parmi les 231 partitions du nombre 16, aucune n'est somme de deux nombres consécutifs ou plus.

 

 

Les PUISSANCES de 2

sont presque parfaites

Toutes les puissances de 2 sont presque parfaites (déficience égale à 1).

Anglais: least deficient or near-perfect numbers.

 

Exemple

24 = 16

Diviseurs propres: 1, 2, 4, 8

Somme: 15

Soit une déficience de 1.

 

 

 

PUISSANCES de 2 et BINAIRE

Numération

Comme les puissances de 10 sont à la base du système décimal, les puissances de 2 sont à la base du système de numération binaire

 

Remarque

   1112 = 710  = 22 + 21 + 20

10002  = 810 = 23

 

Plus généralement

2n – 1 =    11 …11 en binaire

2n       = 1 00 …00 en binaire

 

 

10112 = 1 x 23

           + 0 x 22

           + 1 x 21

           + 1 x 20

= 8 + 0 + 2 + 1 = 1110

 

 

Toutes les puissances de 2 de 0 à 4.

 

 

n fois le 1

Un 1 et n fois le 0

 

Unité des puissances de 2

Les unités des puissances de 2  se répètent selon un cycle de quatre valeur: 2, 4, 8, 6. Soit le tableau résumé suivant:

Voir Unités des puissances

 

SOMME DES PUISSANCES DE 2

 

Observations

*      On calcule les puissances de 2 et leur somme cumulée Sn

 

n

2n

Sn

0

1

1

1

2

3

2

4

7

3

8

15

4

16

31

5

32

63

6

64

127

7

128

255

8

256

511

9

512

1 023

10

1 024

2 047

 

*      On note, par exemple

1 024 – 1

= 1 023

210  1

= S9

2n+1  1

= Sn

 

Exemple développé avec S9

 

1 023

= 210  - 1

= 29 + 28 + 27 + 26 + 25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20

= 512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1

= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1en binaire

Somme des puissances successives de 2

1 024

=    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 1 en binaire

= 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 en binaire

La conversion binaire montre explicitement la relation entre 1 023 et 1 024.

 

Théorèmes

 

La somme des puissances de 2 est égale à

la puissance de deux suivante moins 1.

Sn = 2n+1 – 1

 

 

 

Une puissance de deux est égale à la somme de

toutes les puissances de deux inférieures plus un.

2n+1 = Sn + 1

2n = Sn-1 + 1

 

Exemple

S100

= 2101 – 1 

= 2 535 301 200 456 458 802 993 406 410 751

 

 

Formulation

 

Inverse des puissances de 2

 

Voir Nombre presque-parfaits / Compter les parties de tennis

 

 

 

Démonstration par induction

*      On suppose que la formule est vraie pour n.

Sn = 2n-1 +  2n-2 +  + 2 + 1

     = 2n – 1

*      On passe à n+1.

Sn+1 =   2n +  2n-1 +  2n-2 +  … + 2 + 1

Sn+1 =   2n +  Sn

*      On remplace Sn  par sa valeur dans la formule de récurrence.

Sn+1 =   2n +  2n – 1

*      Deux fois 2n

Sn+1 =   2n+1 – 1

*      La relation obtenue est la formule de récurrence appliquée à n+1.

Si la formule est vraie pour n, elle est vraie pour n+1

*      Or elle est vraie pour 1.

S0 = 20 = 1

     = 21 – 1 = 2 – 1 = 1

*      Formule vraie pour n+1, si vraie pour n

Or vraie pour 1

Donc vraie dans tous les cas.

Voir Démonstration par induction

 

 

 

Démonstration par sommes

*      Il faut commencer par une astuce comme souvent en maths. Désolé!

2n  = 2n (2 – 1)

2n  = 2n+1  – 2n

*      Muni de cet outil voyons notre somme.

Sn = 2n + 2n-1 + 2n-2 +  + 2 + 1

*      Remplaçons par notre formule magique.

On se souviendra que 20  = 1.

 (Voir Explication)

Sn = 2n 

+ 2n-1 

+ 2n-2

+ 

+ 21

+ 20

Sn = 2n+1 2n 

+ 2n – 2n-1

+ 2n-1 – 2n-2

+ 

+ 22 – 21

+ 21 – 20

*      Additionnons, en observant les termes qui s'éliminent deux à deux.

Sn = 2n+1 20  = 2n+1 1

 

 

DIVISIBILITÉ par 3

2n = 2 x 2 x … 2

*      N'est évidemment pas divisible par 3 (aucun des facteurs n'est divisible par 3).

22n = 3k + 1

*      Les puissances paires de 2, divisées par 3, donne un reste de 1.

22n+1 = 3k + 2

*      Les puissances impaires de 2, divisées par 3, donne un reste de 2.

Illustration

Voir Divisibilité des puissances de 2 / Divisibilité des puissances de 2 moins unité

 

 

TRIANGLE DE PASCAL

 

La somme des coefficients de la ligne n du triangle de Pascal vaut 2 n.

 

 

 

Explications

 

*      On peut retrouver facilement cette propriété en remarquant que

2 = 1 + 1

*      Et alors, on calcule 2n = (1 + 1)n
sur la base du développement du binôme.
Celui-ci fait intervenir les coefficients du binôme qui ne sont autres que les termes du triangle de Pascal.

 

 

 

 

PUISSANCES de 2 et 2n

Montrez que

2n

> 2n  pour n > 2

Point de départ

23

= 8 > 2 x 3 = 6

Vrai pour 3

Hypothèse

2k

> 2k

Démontrez sous cette hypothèse

2k + 1

> 2 (k + 1)

Développement de la puissance

= 2 x 2k

Selon l'hypothèse

> 2 x 2k

Factorisation

>  2 (k + 1)

Induction

Propriétée vraie pour k = 3.

Propriétée rai pour k + 1  si vraie pour k

Alors, toujours vraie pour n > 2.    

Voir Démonstration par induction

 

PUISSANCES de 2 et cubes

Montrez que

2n

> n3  pour n > 9

Point de départ

210

= 1024 > 1000

Vrai pour 10

Hypothèse

2k

> k3

Démontrez sous cette hypothèse

2k + 1

> k3 + 1

Développement de la puissance

= 2 x 2k

Selon l'hypothèse

> 2 x k3

Explicitation

>  k3 + k3

>  k3 + k . k2

Minoration pour nous arranger

>  k3 + 7 . k2

>  k3 + 3 . k2 + 3 . k2 + k2

>  k3 + 3 . k2 + 3 . k + 1

> (k + 1)3

Induction

Propriétée vraie pour k = 10

Propriétée rai pour k + 1  si vraie pour k

Alors, toujours vraie pour n > 9.    

 

 

PROGRESSION DES PUISSANCES DE 2

Plus grand nombre avec 3 deux

 

  = (2²)² = 2(2²) ² =

42 = 24  =

16

222 =

222

22² =

484

2²² =

4 194 304

Plus grand nombre avec 4 deux

 

2 222

10 3

222 ² = 49 284

10 4

  = ((2²)²)² = 2^2^2^2

= 65 536  

 

10 5

 = 484 2 

10 14

22 ²²

10 29

2 ²²²

0,67 10 67

  = 2 ²²^² = 2  484

0,5 10 146

  = 2²^²² = 24 194 304

10 1 262 612

Voir Échecs / Tour de Brama ou de Hanoi

 

 

PUISSANCE DE 2 – 1

 

267 – 1 = 1, 47… 10 20

= 147 573 952 589 676 412 927

= 193 707 721 x 7 618 388 257 287

 

*      En 1876, Lucas montre que ce nombre est composé. Il a été factorisé en 1901 par F. Cole.

Voir Ce nombre

 

Anecdote: Frank Cole est professeur de mathématiques à l'université Columbia de New York. En 1903, lors d'une cession de la Société mathématique américaine, sans dire un mot, il écrit au tableau le nombre de Mersenne 267 – 1, puis sur l'autre tableau le produit de deux nombres, et, enfin, entre les deux le signe égal. Il avait passé trois années de ses temps libres pour arriver à factoriser ce nombre.

 

 

 

PUISSANCE DE 2  1 – Nombres premiers

 

Pour N <50

 

*      Seules 8 + 5 - 1 (3 étant en double) = 12 valeurs de 2N  1 sont premières pour N < 50.

 

Pour N >50

 

*      Nombres 2N  1 qui sont premiers.
(N n'est donné que si l'un des deux nombres est premier)

Vérifié jusqu'à 1900

Suite en Nombres de Mersenne

 

Factorisations historiques

*      En 1730, Euler montre que:

 

*      En 1880, Landry et Le Levasseur montrent que:

 

*      En 1970, Morrison et Brillhart montrent que:

 

Voir Machine à factoriser des frères Carissan

 

 

 

UNE FORMULE ORIGINALE

 

Équation

 

 

Exemples

Équation amusante découverte et démontrée  en 1986 par Pascal Peyremorte

 

 

 

PAPIER PLIÉ

 

 

1 125 899 906 842 624 = 1,126 10 15  morceaux de papier plié.

 

On prend une feuille de papier à cigarette de 1/50 mm (très fin!).

il en faut 500 pour faire 1 cm d'épaisseur.

On déchire la feuille en deux et on empile les morceaux.

On recommence l'opération 50 fois.

Quelle est la hauteur de la pile?

 

 

La première déchirure  donne

2 = 21 morceaux

 

La seconde en donne

4 = 2²

 

Puis

23

 

Etc.

 

 

Au 20e coup

220 = 1 048 576

=> 20 mètres

30e

 

=> 20 km

40e

 

=> 25 000 km

Au total: 50e

1 126 000 000 000 000

=> 22 millions de km

 

 

Distance à comparer à (en km)

Lune

diamètre

3 476

Terre

circonférence

40 000

Lune

orbite

384 400

Soleil

diamètre

1 392 530

Papier

déchiré

22 000 000

Terre

orbite

150 000 000

 

 

Voir Périmètre du papier plié  / Timbres / Feuille pliée - Débutant / Courbe du dragon

 

 

Produit avec puissances de 2

 

Produit infini avec les puissances de 2.

 

Euler a montré que de produit peut être calculé plus facilement avec la somme infinie:

1 – x – x2  + x5 + x7 – x12 – x15 + x22 + x26 – x35 – x40 + …

 

Les exposants sont les nombres pentagonaux généralisés: n(3n – 1 ) / 2 avec n = 0, +1, -1, +2, -2 …
 

Voir Sommes de suites qui rendent fou

 

 

 

 

 

Solution de la devinette

Rectifier l'opération en déplaçant un seul chiffre.

Retour

 

 

 

Suite

*    Puissance 2 – Valeurs

 

*    Carré magique multiplicatif avec les puissances de 2

*    Multipuissances

*    Presque puissances de 2

*    Puissance de 2 en informatique (méga, giga …)

*    Puissance de 2 et (1 + i)

*    Puissance de 2 et l'année 2014

*    Puissance de 2 et nombres consécutifs

*    Puissance de 2 et puissances des complexes

*    Puissance des nombres – Autres pages

*    Puissances de 2 et logarithmes

*      Puissances de 2 et nombre 142857

*      Suite avec les inverses des puissances de 2

*      Somme des inverses des puissances de 2

Voir

*    Conjectures de Polignac

*      Divisibilité de      2n  1 et x.n 1  

*      Échiquier et grains de blé

*    Identités

*      Mesure du temps (quartz)

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*    Partage des œufs

*    Progression géométrique

*    PuissancesIndex

*    Puissances et exposants

DicoNombre

*    Nombre 0,2887 …

Sites

*    Jeu du 2048 – Déplacez des tuiles, comme sur un jeu de taquin – jeu à la mode en 2014

*    OEIS A001318 – Generalized pentagonal numbers

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