NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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COMPTER

 

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COMPTER

 

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SAUTS de la GRENOUILLE

 

Glossaire

COMPTER

 

 

INDEX

 

Combinatoire

 

Fibonacci

Compter

Grenouilles

Nénuphars

 

Sommaire de cette page

>>> Sauts de grenouille

>>> Pour s'échauffer

>>> Sprint

>>> Calcul & valeurs

>>> Grenouilles de Fibonacci

 

 

 

 

 

 

SAUTS de la GRENOUILLE

 

Où la grenouille rejoint les lapins chez Fibonacci.

 

 

 

SAUTS DE GRENOUILLE

 

Nénuphars

Une grenouille saute sur des nénuphars.

*      Elle saute toujours sur le nénuphar suivant.

*      Mais, elle peut aussi atteindre le nénuphar d'après.

*      Il y a 4 nénuphars alignés (par exemple)

*      La grenouille part du premier.

*     Quel est le nombre de possibilités pour atteindre le dernier nénuphar.

 

Échelle

On pose parfois le problème de la grenouille avec une échelle. La grenouille montre les barreaux de l'échelle et peut en sauter un.

 

 

 

POUR S'ÉCHAUFFER

 

La grenouille commence par 2 puis 3 ou 4 nénuphars pour s'entraîner.

 

Voici les trajets possibles:

Sur l'illustration, on développe tous les trajets possibles:

*   Le trajet direct avec le saut normal de 1 nénuphar,

*   Les trajets comportant des sauts longs de 2 nénuphars.

 

 

2 nénuphars

3 nénuphars

4 nénuphars

 

image002.gif

1 trajet

2 trajets

3 trajets

 

 

Remarque très importante

Notons Tn la quantité totale de trajets possibles pour n nénuphars:

 

T2

T3

T4

 

 

T4 = T3 + T2

 

 

 

 

 

SPRINT

 

Avec un peu de méthode, la grenouille peut se lancer sur la prairie des nénuphars, et compter tous les chemins possibles.

 

 

 

 

CALCUL & VALEURS

 

Principe du calcul

 

On fait le compte pour 2 puis 3 puis 4 … nénuphars.

On remarque que pour 4 nénuphars (T4),  il y deux cas:

*    Le premier:

la grenouille fait un saut de 1 nénuphar

et se retrouve comme elle l'était avec 3 nénuphars: T3

*    Le deuxième:  

la grenouille fait un saut de 2 nénuphars

et se retrouve comme elle l'était avec 2 nénuphars: T2

T4 = T3 + T2

Cette propriété se vérifie toujours

Tn = Tn-1 + Tn-2

Or, on sait que

T2 = 1

T3 = 2

 Il suffit maintenant de faire les comptes successifs:

T4 = T3 +  T2 = 2 + 1 = 3

T5 = T4 +  T3 = 3 + 2 = 5

 

Valeurs

Nénuphars

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

 

Trajets

1

2

3

5

8

13

21

34

55

89

144

233

377

 

 

 

 

GRENOUILLES DE FIBONACCI

 

 Suite de Fibonacci

*    Nous avons reconnu la suite des nombres de Fibonacci.

*    Chacun est la somme des deux précédents.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 …

 

 

Lapins de Fibonacci

*    Rappelons-nous le coup des lapins de Fibonacci.

*    Et comparons aux grenouilles.

 

Couple de Lapins

Grenouille

*   Chacun vit sa vie.

*   Trajet direct de la grenouille.

*   Chacun attend un cycle pour donner vie à un autre couple de lapins.

*   La grenouille peut se lancer dans un trajet avec un saut de 2 nénuphars.

 

*   On constate que les graphes représentant les deux cas sont rigoureusement équivalents.

*   Le saut de la grenouille est même plus simple à comprendre que l'histoire des couples de lapins qui engendre des couples qui se reproduisent en consanguinité.

 

 

Fractales

*   Regardez le graphe des trajets possibles ci-dessus.

*   Chacune des parties plus ou moins grandes se répète vers la droite. Voir le groupe montré en vert sur le graphe, par exemple.

*   Ce phénomène d'auto similarité est typique des fractales.

 

 

 

 

 

 

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