NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

 

>>> Loueur de vélos

>>> Gain maximum

>>> Bilan

 

 

 

 

ÉQUATIONS du 2e degré

 Exemple du loueur de vélos

 

Exemple d'un problème concret résolu. Ici, il ne s'agit pas de trouver les racines, mais de déterminer le maximum de la fonction du second degré.

 

 

 

Loueur de vélos

 

Un vélo se loue à la journée pour 25 €. À ce prix là, tous les jours le loueur a 100 clients.

Il estime que chaque augmentation de ce prix de 0,5 € lui fera perdre un client. Il réfléchit et se rend compte qu'en augmentant le prix, il serait encore gagnant sur la journée.

Jusqu'où peut-il aller? Quelle recette quotidienne, pour combien de vélos et à quel prix?

 

 

S'il loue ses 100 vélos à 25 euros, il gagne G = 2500 euros par jour.

 

À 25,5 euros, il n'en louerait que 99 soit: G = 26 x 99 = 2524,5 euros, ce qui est plus intéressant.

 

Jusqu'où peut-il aller comme cela: 98, 97, 96 … vélos? Quel est le  gain quotidien maximum?

 

 

Illustration

En horizontal (abscisse) la quantité de vélos loués. En vertical (ordonnées) le prix de la location. Les rectangles (x . y) représentent le gain quotidien (G).

 

Soit x le nombre de vélos loués, x est inférieur à 100.

 

Ils sont loués à:

25 + 0,5 (100 – x)  euros.

 

Et le gain se calcule comme indiqué ci-contre.

 

 

Équation

 

G = (25 + 0,5 (100 – x)) x = 25x + 50x – 0,5x²

   = – 0,5x² + 75x 

  = x (– 0,5x + 75)

 

Pour information

Les racines sont: x = 0 et x = 150

S'agissant d'une fonction du deuxième degré, son graphe est une parabole. Alors, on pressent que le maximum sera au milieu, soit x = 75.

 

 

 

Gain maximum

 

Méthode 1

Nous connaissons les paraboles et nous savons que le maximum est atteint pour – b / 2a.

 

G = - 0,5x² + 75x

a = - 0,5

b = 75

Max = 75/(2 x 0,5) = 75

Méthode 2

Utilisation d'un tableur et recherche de la valeur maximale.

Initialiser avec 100 et 99 en indiquant les valeurs et en faisant calculer le produit. Puis sélectionnez ces six cellules et tirez la poignée en bas à droite vers le haut aussi longtemps que nécessaire.

Vous observez que le maximum est situé entre 70 et 80 et, plus précisément pour la valeur 75.

 

Soit la réponse immédiate:

*    Gain maximum: 2 812,50€

*    Pour 75 vélos loués

*    À 37,5€ par jour

 

 

Initialisation

Recherche du maximum

 

 

Méthode 3

Nous construisons la courbe de gain en fonction de la quantité de vélos loués.

Cette méthode est une variante de la précédente, car, une fois les valeurs du tableur établies, il suffit de demander le dessin de la courbe.

Le maximum est visible pour x = 75.

Autre possibilité: faire dessiner la courbe avec un logiciel de calcul mathématique comme Maple et la commande plot.

 

 

 

 

Méthode 4

Calcul de la dérivée et recherche de son passage à la valeur 0 qui indique que la fonction n'augment plus et va se mettre à décroitre.

 

 

Fonction:

G = - 0,5x² + 75x

Sa dérivée:

G' = - 0,5 (1/2) x + 75 = - x + 75

La dérivée est nulle pour x = 75

Alors G vaut: -0,5 (75)² + 75 . 75

                    = 75² (1-0,5) = 2 812,5 €

Coût de la location: 2 812,5 / 75 = 37,5 €/jour

 

 

Bilan

 

Compte tenu des données du problème, sa mise en équation donne: G = - 0,5x² + 75x et sa dérivée est: - x + 75 qui s'annule pour x = 75.

Soit la réponse à la question: le loueur peut ne louer que 75 vélos et il obtiendra un chiffre d'affaires maximum; et moins de coût de maintenance; au détriment, cependant, de la satisfaction du plus grand nombre …

 

Note: le mot gain a été utilisé pour signifier ce que gagne le loueur. Le vrai terme pour cette rentrée d'argent est chiffres d'affaires. Après avoir payé toutes ses dépenses, il lui restera un pécule qui constituera son bénéfice. S'il lui manque de l'argent pour couvrir ses frais, il sera en pertes.                 

Voir Ma petite entreprise (gérée par un junior)

 

 

 

 

 

Suite

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