NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Allure générale de la parabole

>>> Présentation géométrique et analytique

>>> Équation avec trois points

>>> Paraboloïde

>>> Paraboloïde et conoïde

>>> Anglais

>>> Tangentes à la parabole – Propriétés

>>> Autre propriétés remarquables

 

 

 

 

 

PARABOLE et PARABOLOÏDE

 

*    Un objet lancé en l'air décrit une parabole.

*    Courbe simple décrite par une fonction en carré (degré 2).

*    Obtenue aussi par découpe  plane d'un cône, la parabole fait partie de la famille des coniques.

*      Forme des antennes satellites, d'où leur nom de parabole. Le volume de l'antenne est plus exactement un paraboloïde de révolution.

*      Un liquide dans un récipient qui tourne à vitesse constante présente une surface en paraboloïde.

 

Parabole (allégorie)

Une parabole, du grec rapprochement, comparaison, est une manière de communiquer un enseignement via une courte histoire qui utilise les événements quotidiens. Les Évangiles en fait un grand usage.

 

Jésus:           en vérité je vous me dis: y = x².

Un apôtre:    désolé, mais je n'ai pas compris!

Jésus:           normal, c'est une parabole!

Voir Pensées & humour

 

Allure de la courbe PARABOLE

 

*  Son équation (trinôme du second degré):

 

Extremum pour: – b / 2a

 

*  Si f est la distance du sommet au foyer et y = ax² la parabole, f = 1/4a    >>>

 

*   Forme la parabole:                         Note: On a tracé y et –y pour un effet d'esthétique.

Effet du paramètre a

Sur ces courbes a vaut successivement: 1, 2,  … 10, tandis que b et c son maintenus à 0.

 

 

 

La parabole se referme lorsque a croît.

Effet du paramètre c

Sur ces courbes c vaut successivement: 1, 2,  3,  4,  5, tandis que a = 1 et b = 0.

La parabole se relève lorsque c croît.

Voir Magnifiques illustrations de ces paramètres (Site Math is Fun)

 

 

Présentation géométrique et analytique

Propriété fondamentale de la parabole

 

La parabole est le lieu des points tels que PF = PH; à égale distance d'un point F et d'une droite D.
Cas particulier: OF = OE

 

*   F est le foyer

*   D la directrice.

*   O est le sommet

*   la droite OF est l'axe (de symétrie)

 

 

 

 

Propriété de convergence au foyer

 

Toutes les droites parallèles à l'axe se réfléchissent  sur la parabole  et se concentrent sur le foyer.
Raison de son nom, le foyer.

Application pour concentrer les rayons électromagnétiques des satellites (parabole de réception de la télévision ou paraboles des radars). On trouve aussi cette forme dans les lampes torches pour mieux concentrer les rayons lumineux.

 

 

 

 

Propriété de réflexion

 

La tangente AB en T à la parabole.

La parallèle PT à l'axe de la parabole.

 

 

Les angles alpha sont égaux:

 

 

Ce qui explique que tous les rayons verticaux se réfléchissent au foyer.

 

 

 

 

Position du foyer

 

Parabole d'équation y = a x² avec a  = 1.

 

Son foyer est sur l'axe

à l'ordonnée a/4 = 1/4.

 

Nous proposons de vérifier cette propriété sur cette figure à l'échelle.

*    le point P est chois sur la parabole avec x = 6/4 et y = (6/4)² = 9/4;

*    le foyer F est en (0, 1/4);

*    la droite est en -1/4 (OF = OE);

*    PH = 9/4 + ¼ = 10/4 = 5/2

*    PF = 5/2 (voir calcul avec le théorème de Pythagore sur la figure).

 

Nous retrouvons la propriété fondamentale de la parabole: PF = PH.

 

Démonstration

 

 

Prenons les notations suivantes

P (x, y)  et f la distance focale

Exprimons les distances

PH = PF

Élévation au carré

y² + 2yf + f² = x² + y² – 2yf + f²

x² = 4yf

Équation de la parabole "verticale"

Équation de la parabole "verticale" avec sommet décalé: O (a, b)

Équation de la parabole "horizontale"

 

 

Équation connaissant trois points

 

Tentative avec le foyer

Connaissant le sommet nous savons que l'équation est de la forme suivante, mais sans connaître la distance focale:

 

 

Recherche de l'équation avec les trois points

Nous devons passer par la résolution d'un système d'équations à trois inconnues. Écrivons l'équation générique de la parabole pour les trois points:

P =>    11/4 = (9/4)²a +  (9/4)b + c
Q => 8,25/4 = (2/4)²a –  (2/4)b + c

R =>       6/4 = (7/4)²a +  (7/4)b + c

 

La résolution faite nous donne les valeurs de a, b et c et, donc l'équation de la parabole:

 

 

 

 

Calcul de la distance focale

En reprenant les termes des deux équations:

Nous vérifions que l'équation avec f devient:

 

 

 

 

En volume (3D): Paraboloïde

 

Équation simple en 3D: z = x² + y²

 

 

Paraboloïde et conoïdes

 

Paraboloïde

 

L'arc de parabole SA est en rotation autour de SH. Le volume engendré est un paraboloïde de révolution.


 

 

 

 

 

Le centre de gravité du volume se situe au 2/3 de SH:

 

 

Résultat trouvé par Archimède, puis confirmé par Fermat.

 

 

Conoïde

 

L'arc de parabole AS est en rotation autour de AH. Le volume engendré est un nouveau conoïde de révolution selon le vocable de Fermat.

 

 

Le centre de gravité du volume se situe au 11/16 de AH:

En 1650, Fermat détermine également l'aire latérale du conoïde.

D'après Les Mathématiques, plaisir et nécessité – Albert Ducrocq et André Warusfel – Vuibert – 2000

 

 

 

English corner

In the plane, fix both a line D and a point F not on D.  The collection of all points P  such that the length of PD is equal to that of PF is called a parabola. The line D is called the directrix and the point F is called the focus.  Yhe line through the focus that is perpendicular to the directrix is the axis of the parabola.

 

The parabola is defined as the locus of a point which moves so that it is always the same distance from a fixed point (called the focus) and a given line (called the directrix).

Voir Bagage anglais

 

 

 

 

Niveau avancé**

 

Tangentes à la parabole

 

*    Parabole d'équation: y = kx²

*    Deux tangentes à la parabole en A et en B.

Propriété

*    Le point d'intersection C:

*      Son abscisse est la moyenne arithmétique des abscisses des deux points de tangence; et

*      Son ordonnée est la moyenne géométrique des ordonnées.

 

 

 

Calcul

 

Dérivée en A = pente en A

p = 2k a

Tangente en A: droite y = px + q

y = 2k a x + q

kxA² = 2k a a + q

q = - ka²

y = 2kax –ka²

Équation de la tangente à la parabole au point A: et pour B

y = 2kax – ka²

y = 2kbx – kb²

Même ordonnée au point d'intersection pour calculer x

2kax – ka² = 2kbx – kb²

Et l'ordonnée y

y = ka(a+b) – ka² = kab

 

 

Autre propriétés remarquables

Deux points (A, B) quelconques sur la parabole et le milieu M du segment AB.

Propriétés

*      La verticale (en fait, la parallèle à l'axe de la parabole) passe par le point C, point d'intersection des deux tangentes en A et B.

*      Elle passe également par le point T, point de tangence de la tangente parallèle à AB.

*      Le point T de la parabole est le plus éloigné de la droite AB (longueur maximum sur une perpendiculaire à AB).

*      L'aire du segment de parabole ABT est égale à 4/3 de l'aire du triangle ABT.

 

 

*    Les points M, T et C sont alignés.

*    Aire du segment de parabole ABT (zone bleue sous AB) = 4/3 aire du triangle ABT.

 

Voir explications en Calcul du segment de parabole par Archimède

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Aire du segment de parabole

*    Équation de la parabole (exemple)

*    Courbes élémentaires

Voir

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Sites

*      Paraboles – Patrice Debart

*      Les coniques – Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET

*      Les coniques – Serge MEHL

*      Les coniques – Applets par XiTi

*      Les coniques – Bibm@th

*    Les coniques simples par M@ths et tiques

*    Paraboloïde de révolution - Ferréol

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