NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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NOMBRES PREMIERS

 

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Propriétés – Curiosités

 

Glossaire

Nombres

premiers

 

 

INDEX

 

Nombres premiers

 

Débutant

Introduction

Curiosités

Premier + 6n

Produit

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Exploration jusqu'à 100

>>> Principe de la recherche

>>> Record pour le multiplicateur n

>>> Bilan: conjecture ?

>>> Pourquoi pas en kn?

 

 

 

 

NOMBRES PREMIERS

& acolytes en plus et moins 6n

 

Prenons un nombre premier et flanquons-le de deux premiers, l'un en +6n et l'autre en -6n. Existe-t-il une valeur de n telle que ces deux nouveaux nombres soient premiers? C'est le cas par exemple pour 11, car 11 + 6 = 17 et 11 – 6  = 5 qui sont tous deux premiers.

 

Autre exemple

 

 

 

Approche

 

Avec 2, en ajoutant 6n, un nombre pair, le résultat sera pair et donc non premier.

Avec 3, la somme 3 + 6n sera toujours divisible par 3.

Avec 5, la différence, comme pour les précédents, est négative.

Avec 7, la différence 7 – 6 = 1, nombre qui n'est pas premier.

Avec 11, nous rencontrons le premier cas recevable: 11 – 1 x 6 = 5 et 11 + 1 x 6 = 17, deux nombres premiers. Le coefficient multiplicateur n est tout simplement égal à 1.

 

 

Exploration jusqu'à 100

Pour tous les nombres premiers à partir de 11 et jusqu'à 97, nous pouvons trouver deux premiers en P – 6n et P + 6n. Et, même, la valeur du coefficient n est le plus souvent égal à 1  er ne dépasse pas 5.

 

Est-ce si extraordinaire? Pas tellement.

 

Nous savons que tous les nombres premiers sont en 6k + 1 ou 6k – 1. Ajouter ou soustraire 6n à ces nombre redonnent un nombre en 6K + 1 ou en  6K – 1. 

 

Les quatre cas possibles:

 

 

Ces nombres en 6K + 1 et 6K – 1 sont potentiellement des nombres premiers, mais pas tous.

 

En prenant n suffisamment grand, il est très probable de tomber sur deux nombres premiers.

 

Principe de la recherche

 

 

Records pour le multiplicateur n jusqu'à 1 million

 

 

Le tableau est construit sur le même principe que précédemment, mais on ne conserve que les valeurs de P pour lesquelles le coefficient multiplicateur n est plus grand que tous les précédents.

On ne conserve que les n records

 

 

Tous les nombres premiers de 11 à 1 million   réponde à notre exigence. Ils sont tous associée à deux premiers en 6n – 1 et 6 n + 1 avec bien entendu la même valeur de n.

 

Nous constatons que si tous les premiers satisfont notre exigence, la valeur de n nécessaire pour les cibler tous devient de plus grande. Avec 994 549 les deux premiers acolytes sont très éloignées (222 x 6 = 1332).

 

Pour le fun: 222 est un repdigit
et 1332 un palindrome.

 

Graphe de progression

En abscisse la valeur de n et en ordonnée, le ratio de progression du nouvel écart au précédent.

Exemple pour n = 4: l'écart calculée était de 17; alors pour n = 5, l'écart devient 67 – 17 = 50 et 50 / 67 = 0,74. Le suivant pour n = 6: 127 – 50 = 77 et 77/127 = 0,606.

 

 

Ce ratio oscille autour de 0,6. Est-ce toujours vrai?

Ce qui voudrait dire que chaque fois qu'un nouveau record pour n survient, le nouvel écart entre les premiers concernés est 0,6 fois l'écart cumulé précédent.

 

 

 

 

Bilan

 

Conjecture

 

Pour tout nombre premier, supérieur à 7, il existe toujours un couple de nombres premiers en P - 6n et P + 6n.

 

Records

En quelques minutes de calculateur, l'exploration jusqu'à 100 millions, montre que n maximum est égal à 569 pour P = 52 912 507

 

Validité

Cette vérification montre que plus P est grand, plus la valeur du coefficient n est grande. Grande jusqu'où? Rien ne permet de dire que n existe toujours.

Voir Conjectures

 

Propriété vraie en 6n et pourquoi pas kn?

 

On se demande si cette conjecture marche avec une autre amplitude que 6n.

Une simple programmation montre que oui. Mais, ce n'est pas si étrange que cela.

 

 

Si la conjecture en K = 6n est vraie, alors elle vraie aussi pour toute valeur de K = kn divisible par 6, que ce soit k ou  n qui est divisible par 6.

 

Dit-autrement, si nous essayons P + 5n, nous rentrouvrons notre propriété avec n un multiple de 6.

 

Bon, ça marche, mais c'est normal. Alors, reformulons la conjecture.

 

Pour tout nombre premier, supérieur à C, il existe toujours un couple de nombres premiers en P – K et P + K, avec K multiple e 6

 

 

 

La constante C à partir de laquelle, la conjecture semble vraie  est assez variable.

 

 

 

 

 

 

Merci à Rabii E.G. pour la suggestion de cette conjecture

qui a conduit à l'élaboration de cette page

 

 

 

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*         The Prime Pages de Chris K. Cadwell et G.L. Honecker – Le site de référence sur les nombres premiers

*         Prime Number – Wolfram Mathworld

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