NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Glossaire

Nombres

Premiers

 

 

INDEX

 

Nombres premiers

 

Introduction

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Propriétés

Infinité

Théorème des nombres premiers

Curiosités

Un

 

Sommaire de cette page

>>> Chiffres croissants

>>> Somme paire ou impaire

>>> Chaine de Cunningham

>>> Différence entre premiers

>>> Nombres premiers et leurs puissances

>>> Nombres semi premiers

>>> Premiers en base

>>> Premiers en progression arithmétique

>>> Motifs en puissance de 2

>>> Premiers, concaténation de deux nombres premiers

 

 

 

 

Chiffres croissants

Il y a exactement cent nombres premiers dont tous les chiffres sont croissants.

On ne peut pas dépasser 123456789 et, dans cette veine, le plus grand est 23456789.

 

Liste des 100 nombres premiers croissants

Voir Nombre 100

 

 

 

Somme paire ou impaire

 

*      1968: une hypothèse affirme que la somme des chiffres d'un nombre premier a autant de chance d'être paire qu'impaire.


L'exemple ci-contre liste tous les nombres premiers de 10 000 à 10 200. Il y en a exactement 23 dont la somme des chiffres est paire et 23 impaire.

*      2010: cette hypothèse est démontrée par Christian Mauduit et Joël Rivat.

*      Les outils utilisés mêlent combinatoire et analyse de Fourier discrète.


*      Les deux Français ont aussi trouvé la formule qui donnent des nombres premiers en binaires avec autant de 0 que de 1.

 

P                     SP                SI

10 007            8             

10 009            10           

10 037                            11

10 039                            13

10 061            8             

10 067            14           

10 069            16           

10 079                            17

10 091                            11

10 093                            13

10 099                            19

10 103                            5

10 111            4             

10 133            8             

10 139            14           

10 141                            7

10 151            8             

10 159            16           

10 163                            11

10 169                            17

10 177            16           

10 181                            11

10 193            14           

 

Total              23            23

Science et Vie – Juillet 2010

 

 

 

Chaine de Cunningham

 1           3203 00071 95970 29781

2           6406 00143 91940 59561

3         12812 00287 83881 19121

4         25624 00575 67762 38241

5         51248 01151 35524 76481

6      1 02496 02302 71049 52961

7      2 04992 04605 42099 05921

8      4 09984 09210 84198 11841

9      8 19968 18421 68396 23681

10    16 39936 36843 36792 47361

11    32 79872 73686 73584 94721

12     65 59745 47373 47169 89441

13   131 19490 94746 94339 78881

14   262 38981 89493 88679 57761

15   524 77963 78987 77359 15521

16 1049 55927 57975 54718 31041

*      Chaîne de Cunningham

Séquence de k nombres premiers dont le suivant vaut le double plus un;

ou, variante : moins un.

 

 

*      En 1997, Tony Forbes a trouvé une chaîne du second type avec k = 16

 

 

DIFFÉRENCE ENTRE PREMIERS

 

Pyramide des différences entre les nombres premiers

 

*      On conjecture que le premier 1 se poursuit indéfiniment.

*      Pas de démonstration.

*      Vérifié jusqu'à : 3 x 1011.

Andrew M. Odlyzko

Suite en Conjecture de Gilbreath

 

 

Nombres premiers et leurs puissances

 

Pour N < 100

*     En noir les nombres premiers.

*     En bleu les nombres premiers élevés au carré.

*     En rouge, élevé à une puissance.

 

Total

*     35 nombres premiers et leurs puissances inférieurs à 100

 

2

3

4

5

7

8

9

11

13

16

17

19

23

25

27

29

31

32

37

41

43

47

49

53

59

61

64

67

71

73

79

81

83

89

97

 

 

 

 

 

Voir Plus petits nombres possédant 2n diviseurs / Type de nombres selon facteurs

 

Nombres semi-premiers

 

*     Semi-premier: nombre qui n'a que deux diviseurs, pas nécessairement distincts.

 

*     Cas ou les deux diviseurs sont distincts

6

10

14

15

21

22

26

33

34

35

2x3

2x5

2x7

3x5

3x7

2x11

2x13

3x11

2x17

5x7

 

 

*     Tous les semi-premiers initiaux:

 

4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 49, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, 95, 106, 111, 115, 118, 119, 121, 122, 123, 129, 133, 134, 141, 142, 143, 145, 146, 155, 158, 159, 161, 166, 169, 177, 178, 183, 185, 187 …

OEIS A001358

 

*     33, 34 et 35
Premier triplet de semi-premiers consécutifs.

 

*     818 et 831
Plus grand espace entre deux semi-premiers inférieurs à 1000.

 

Voir Nombres semi-premiers

 

 

 

PREMIERS EN BASE

*     Certains cherchent une représentation des nombres premiers, comme la transformation en base 3, pour tenter d'en tirer une musique.

 

10 nombres premiers en base 3

 

2

3

5

7

11

13

17

19

23

29

2

10

12

21

102

111

122

201

212

1002

 

   

PREMIERS en progression arithmétique

 

 

X = 1,009 …  1092

  

    = 100 99697 24697 14247 63778 66555 87969 84032 95093 24689

              19004 18036  03417 75890 43417 03348 88215 90672 29719

 

X + k. 210 : avec k = 0, 1, 2, ... , 9 sont tous premiers.

 

 

Nombres premiers en progression arithmétique

 

*    On connaît jusqu'à 10 nombres premiers en progression arithmétiques.

 

Pour 10 nombres successifs,

 

*    Calculés en mars 1998, il a fallu 200 ordinateurs, 70 mathématiciens impliqués. Ils ont 93 chiffres et sont espacés de 210 en 210.

 

Pour 11,

 

*    Avec les moyens d'aujourd'hui, il faudrait 10 milliards d'années pour les trouver !

 

Théorème de Green-Tao (2004)

 

Il existe des progressions arithmétiques de nombres premiers arbitrairement longues.

Voir Terence Tao

 

 

 

 

MOTIFS en puissances de 2

 

 

Tous les motifs pour n  100

n

Motif

Valeur = nombre premier

  1

  3

  5

  9

15

39

75

81

89

21  +   1

23  +   3

25  +   5

29  +   9

215 + 15

239 + 39

275 + 75

281 + 81

289 + 89

= 3

= 11

= 37

= 521

= 32 783

= 549 755 813 927

= 37 778 931 862 957 161 709 643

= 2 417 851 639 229 258 349 412 433

= 618 970 019 642 690 137 449 562 201

  

 

 

 

Tous les nombres jusqu'à 1000 dont le carré est la concaténation de deux nombres premiers

 

     n         

17      , 289    ,   2, 89

19      , 361    ,   3, 61

23      , 529    ,   5, 29

27      , 729    ,   7, 29

69     , 4761   , 47, 61

73      5329    , 53, 29

77    , 5929    , 59, 29

123  , 15129  , 151, 29

177  , 31329  , 313, 29

219    47961  , 479, 61

327, 106929, 1069, 29

369, 136161, 1361, 61

381, 145161, 1451, 61

423, 178929, 1789, 29

427, 182329, 1823, 29

473, 223729, 2237, 29

519, 269361, 2693, 61

527, 277729, 2777, 29

531, 281961, 2819, 61

577, 332929, 3329, 29

623, 388129, 3881, 29

627, 393129, 3931, 29

677, 458329, 4583, 29

681, 463761, 4637, 61

723, 522729, 5227, 29

777, 603729, 6037, 29

873, 762129, 7621, 29

877, 769129, 7691, 29

973, 946729, 9467, 29

981, 962361, 9623, 61

 

 

 

Autres curiosités

 

NOMBRES PREMIERS CIRCULAIRES ou permutables

NOMBRES PSEUDO -PREMIERS ou de POULET ou NOMBRES CHINOIS

NOMBRES PREMIERS RÉSISTANTS

SÉQUENCE de NOMBRES NON PREMIERS

PREMIERS et 2n diviseurs => Plus petits nombres possédant 2n diviseurs

Produit avec des nombres premiers >>>

 

 

 

 

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