NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Forme des nombres

 

Débutants

Général

PALINDROMES

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Général

Introduction

Triangles

Carrés

Cubes

Premiers

Retard

Produit

Division

Dates

Palinquad

11, 101, 111 …

Programmation

Langue

Numéro

Année 2011

Concaténation

Palintiples

 

Sommaire de cette page

>>> Approche des palindromes

>>> Nombres palindromes

>>> Propriétés et curiosités

>>> Forme générique

>>> Phrases palindromes

>>> Nombres palindromes composés 

>>> Nombres palindromes premiers

>>> Nombres strictement non-palindromes

 

 

 

 

 

 

 

NOMBRES PALINDROMES

 

*           Nombres dont les chiffres peuvent se lire dans les deux sens.

*           Une catégorie de chiffres qui passionne par leur symétrie:

*    Sont-ils premiers, combien d'entre eux ?

*    Comment se comportent leurs produits ?

*    Et leur carré, cube...

Monsieur, prénom et nom, SVP? LÉON NOËL

Voir Anacyclique

 

 

Devinette

Trouver la somme de tous les palindromes à trois chiffres divisibles par 13.

Solution

 

 

 

 

APPROCHE DES PALINDROMES

 

MOTS PALINDROMES

 

Les mots palindromes sont des mots à symétrie bilatérale

(qui s'épellent de la même façon dans les deux sens)

 

Exemples

RADAR

ROTOR

ÉTÉ

Voir Langue et palindromes

 

PHRASES PALINDROMES

 

Une phrase complète possédant une symétrie bilatérale

est un palindrome.

 Exemple

ÉSOPE RESTE ICI ET SE REPOSE

Voir Langue et palindromes

 

NOMBRES PALINDROMES

 

Un nombre palindrome est un nombre

qui garde la même valeur

quand on prend ses chiffres à l'envers.

 Exemples

 11

101

45654

12345678987654321

Voir Nombres palindromes

 

ANNÉES PALINDROMES

 

1881

1991

1961

2002

2112

Palindromes

Réversible

Dernière année palindrome

Prochaine année palindrome

 Voir Dates palindromes

 

 

 NOMBRES PALINDROMES – Liste

0

 

101

1001

10001

100001

...

1

11

111

1111

10101

101101

 

2

22

121

1221

10201

102201

 

3

33

131

1331

10301

...

 

4

44

141

1441

10401

 

 

5

55

151

1551

10501

 

 

6

66

161

1661

10601

 

7

77

171

1771

10701

765567

8

88

181

1881

10801

 

9

99

191

1991

10901

 

 

 

202

2002

11011

 

 

 

 

212

2112

11111

 

 

 

 

222

2222

11211

 

 

 

 

232

2332

11311

 

 

 

 

242

2442

11411

 

 

 

 

252

2552

11511

 

 

 

 

262

2662

11611

 

 

 

 

272

2772

11711

 

 

 

 

282

2882

11811

 

 

 

 

292

2992

11911

 

 

 

 

303

3003

12021

 

 

 

 

313

3113

12121

 

 

 

 

...

...

...

 

 

 

 

979

9779

99799

 

 

 

 

989

9889

99899

 

 

 

 

999

9999

99999

 

 

 

Voir Tables

 

Devinette

Quel est le palindrome suivant?

Un automobiliste constate que son compteur indique un kilométrage palindromique: 15 951 km. Coïncidence, pile poil une heure plus tard, il constate qu'il vient d'atteindre le palindrome suivant! Quelle est sa vitesse?

Pour calculer le palindrome suivant, il faut partir du centre et ajouter 1. Le 9  devient 0 et les chiffres de chaque côté sont incrémentés en 6. Soit 15 9 51 qui devient 16 0 61 km.

La différence est égale à 110 et sa vitesse est de 110 km/h.

 

 

 

 PROPRIÉTÉS ET CURIOSITÉS

 

Quelques propriétés

 Pratiquement toutes les questions intéressantes sur

les nombres premiers palindromes

sont encore sans réponse.

On n'a même pas démontré qu'il y en a une infinité...

 

Opérations palindromes

 

Somme

 38 + 83 = 121

 

Produit du nombre et son retourné

                   1089       x   9   =   9801              2178      x   4   =   8712

                   10989    x   9   =   98901           21978    x   4   =   87912

                   109989  x   9   =   989901         219978  x   4   =   879912

 

Les seuls à 4, 5, 6, etc. chiffres avec ce motif.

 

On note que 2178 est le double de 1089.

Le motif sous-jacent est le suivant, encore un coup des repunits:

1089          =    11          x 11 x 9   et    9801     =    11          x 11 x 9 x 9

10989        =    111       x 11 x 9   et    9801     =    111       x 11 x 9 x 9

109989      =    1111     x 11 x 9   et    9801     =    1111     x 11 x 9 x 9

 

Même motif avec 3 chiffres: trois cas seulement (hors triviaux)

 

510            =    015       x 34

540            =    045       x 12

810            =    018       x 45

 

Voir Nombres de Friedman / Nombres retournés

Retourné d'un nombre et palindrome

 

 

 

Quelques curiosités

 

Le plus grand nombre non palindrome connu

dont le carré est un palindrome est:

 

n =

795 559 265 009 384 106

18 chiffres

n² =

632 914 544 142 271 449

944 172 241 445 419 236

36 chiffres

 

Les cubes palindromiques dont les racines cubiques ne sont pas des palindromes sont si rares que l'on n'en connaît qu'un:

 

10 662 526 601 = 2 2013

 

Une somme avec 4 palindromes premiers à 5 chiffres

 

30 103 + 30 203 + 30 403 = 90 709

Il existe bon nombre de telles curiosités

Note: 30503 n'est pas premier.

 

Chiffre unique 

Les Repdigits (ex: 666) et Repunits (ex: 1111)  sont, bien évidemment,

des palindromes à un seul chiffre.

 

 

 

FORME GÉNÉRIQUE 

 

 Propriété

 

Tous les palindromes sont des sommes de multiples de 102k+1 +1

 

 Exemples 

                 k = 0                   101 + 1 = 11

                 k = 1                   103 + 1 = 1001

                 k = 2                   105 + 1 = 100001

                 3223 =               3 x (103 +1) + 20 x (101 +1)

 

Voir Exemple d'emploi

 

 

 

  

NOMBRES PALINDROMES COMPOSÉS 

 

 Propriété

 

Tous les palindromes à nombre pair de chiffres sont divisibles par 11.

 

 Exemples 

8 8 = 11 x 8

45 54 = 11 x 414

789 987 = 11 x 71817

987 6 6 789 = 11 x 8 978 799

Voir Démonstration

 

 

 

NOMBRES PALINDROMES PREMIERS

 

On cherche les nombres palindromes qui sont premiers.

 

Unique

 

11 est le seul nombre palindrome premier a avoir un nombre de chiffres pair.

 

Propriétés

 

Un nombre premier palindrome doit commencer et finir avec 1, 3, 7 ou 9  et avoir un nombre impair de chiffres.

 

Rappel : Avec un nombre pair, c'est multiple de 11.

 

 

Les premiers PALINDROMES PREMIERS 

 

Il y en a 15 à 3 chiffres

101        131         151         181        191

313        353         373         383         

727        757         787         797         

919        929                                        

 

Il y en a 0 à 4 chiffres

Il y en a 93 à 5 chiffres

10301 10501 10601 11311 11411 12421 12721 128 ...

Il y en a 0 à 6 chiffres 

Il y a 668 palindromes premiers de 7 chiffres

Il y a 83 duos de palindromes premiers jumeaux dont 3 sont triplés et 1 quadruplé.

Duos 

1092901 – 1093901 

1177711 – 1178711 

1242421 – 1243421

 ...

 

Triplés 

1968691 - 1969691 - 1970791

 ...

 

Quadruplé 

1878781 – 1879781 – 1880881 – 1881881

 

 

Curiosité

777 8 777

Plus petit premier palindrome de 7 chiffres

avec les chiffres 7 & 8.

 

Le plus petit premier pannumérique

 

102 345 698 7 896 543 201

 

Voir Pannumérique / Diconombre  

 

 

 

NOMBRES strictement non-palindromes

 

Définition

Nombre n qui, dans toutes les bases de 2 à n – 2, n'est jamais palindrome.

 

Exemples (Voir Tableau)

Pour n = 4, la seule base à considérer est la base 2 et, en binaire, 4 vaut 100 (chiffre indiqué à l'envers sur le tableau). Ce nombre binaire n'est pas palindrome. Le nombre 4 est strictement non palindrome.

Pour n = 5, sa valeur binaire (101) est un palindrome (jaune). Le nombre 5 n'est pas strictement palindrome.

Pour n = 6, pas de palindrome en base 2, 3 et 4. Le nombre 6 est strictement non palindrome (marron).

Etc.

 

Notes

La base n est exclue de la définition, car n en base n vaut 10 (en effet 1010 = 1010). Alors, n est toujours non palindrome en base n.

La base n – 1 également, car n s'écrit alors 11 (en effet: 1010 = 119). Alors, n est toujours palindrome en base n – 1.

 

Propriétés

Après n = 6, tous ces nombres sont premiers.

Par contre, aucun premier de Mersenne et Fermat ne se trouve dans cette catégorie.

 

 

Liste des strictement non palindromes jusqu'à n = 10 000

 

0, 1, 2, 3, puis:

 

4

6

11

19

47

53

79

103

137

139

149

163

167

179

223

263

269

283

293

311

317

347

359

367

389

439

491

563

569

593

607

659

739

827

853

877

977

983

997

1019

1049

1061

1187

1213

1237

1367

1433

1439

1447

1459

1511

1553

1579

1669

1709

1753

1759

1907

1949

1993

1997

2011

2063

2087

2099

2111

2137

2179

2207

2287

2309

2339

2417

2459

 

2503

2657

2677

2683

2693

2713

2749

2897

2963

3023

3089

3119

3229

3253

3259

3323

3371

3407

3449

3547

3559

3583

3623

3643

3833

3847

4007

4073

4091

4099

4139

4157

4211

4283

4337

4339

4349

4391

 

4463

4523

4549

4643

4679

4729

4787

4871

4909

4919

4933

5011

5021

5039

5059

5099

5179

5231

5297

5303

5309

5351

5387

5417

5431

5471

5503

5527

5653

5693

5711

5791

5827

5839

5939

 

6047

6067

6079

6089

6131

6199

6229

6247

6269

6277

6311

6343

6359

6389

6551

6599

6653

6793

6871

6947

6983

6991

7019

7079

7159

7213

7247

7283

7433

7487

7691

7817

7877

7949

7963

 

8017

8069

8089

8123

8147

8221

8243

8287

8291

8293

8423

8539

8573

8669

8699

8783

8863

8941

9043

9059

9067

9173

9209

9227

9277

9337

9341

9377

9419

9421

9533

9587

9643

9689

9739

9781

9887

 

Voir Programmation de cette recherche

 

 

 

Devinette – Solution

Trouver la somme de tous les palindromes à trois chiffres divisibles par 13.

Solution – Identification des palindromes

N =  = 100a + 10b + a

Mettons en évidence le 13 avec 100 = 91 + 9 = 13 x 7 + 9

N = 13 x 7 a + 10 (a + b)

Le palindrome N est divisible par 13 si chaque terme est divisible. par 13. Or le premier l'est; le second 10 (a + b) doit l'être.

Donc: a + b = 13k avec a et b de 0 à 9; seule possibilité k = 1.

Ce qui donne les valeurs des palindromes à trois chiffres divisibles par 13: 494, 585, 676, 767, 858 et 949.

 

Calcul de la somme (avec un peu d'astuce)

S = 444 + 50 + 555 + 30 + 666 + 10

    + 767 – 10 + 888 – 30 + 999 – 50

S = 111 (4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)

   = 111 x 3 x 13 = 111 x 39 = 3900 + 390 + 39 = 4 329

 

On aurait pu tenir le raisonnement voisin pour 11

N = 100a + 10b + a = 99a + 2a + 10b  2 (a + 5b) mod 11

Ce qui impose: a + 5b = 11k ou a = 11k – 5b

Retour

 

 

 

Suite

*    Palindromes triangles

*    Palindromes carrés

*    Palintiples

Aussi

*    Nombres retournés et réversibles

*    Palindromes – mots et phrases

*    Figures de rhétorique

*    CRISP-Cas9 – Génome

Voir

*    Carrés des nombres retournés

*    Carrés palindromes

*    Cubes palindromes

*    Langue et palindromes

*    Nombres de Friedman

*    Nombres premiers - Records

*    Palindromes à retard

*    Palindromes triangulaires

*    Premiers palindromes

*    Premiers palindromes

*    Premiers -Types

*    Produits palindromes

*    Programmation et palindromes

*    Tintin

Sites

*    Pour dossier complet sur les palindromes:

  Voir site de Patrick De Geest

  Voir aussi Patrick De Geest

 

*    OEIS A016038 – Strictly non-palindromic numbers

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Formes/Palindro.htm