NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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DIVISION

 

Débutants

Division

Divisibilité

 

Glossaire

Division

 

INDEX

Divisibilité

 

Introduction

Par 3

Critères

 

Sommaire de cette page

>>> Quotient d'une division par 3

>>> Divisibilité par 3

>>> Démonstration

>>> Trois nombres successifs

>>> Nombres en    a² - b²

>>> Non divisibles

>>> Nombres en 5n – 2n

>>> Nombres en    n (2n² + 7)

>>> Nombres en    2… + 5

 

 

 

En bref

 

 

DIVISIBILITÉ par 3

 

Critères de divisibilité et formes polynomiales divisibles.

 

Rappel: la Racine numérique (RN) d'un nombre est la somme de ses chiffres, répétée jusqu'à obtenir un nombre à un seul chiffre.

 

Ex: 1234 => 1 + 2 + 3 + 4 = 15 et 15 =>  1 + 5 = 6

 

Souvenez-vous: un nombre (n) divisé par trois donne un reste de 0, 1 ou 2; ou en symétrisant: –1, 0 ou +1. On note n = {3k – 1; 3k; 3k +1}. Ce qui veut dire que tout nombre peut s'écrire: 3k – 1 ou 3k ou 3k + 1. Rien d'autre!

 

 

 

 

Devinette: deux nombres divisibles par 3

 

Prenez deux nombres (a et b) au hasard, leur somme (s) et leur différence (d). Alors, l'un de ces quatre nombres (a, b, s, d), au moins, est divisible par 3.

 

3  {a, b, s = a + b, d = a – b}

La barre verticale signifie divise.

On lit: trois divise l'un des nombres a, b, s ou d.

 

Démonstration

Si l'un des deux nombres (a ou b) est divisible par 3, c'est bon. Si les deux ne sont pas divisibles par 3, alors voyons la somme et la différence de tels nombres dont le reste de la division par 3 est soit 1 soit -1:

Les cas marqués en jaune, en quinconce, prouve la divisibilité par 3 dans tous les cas.

Exemples:  7 + 5 = 12 = 3 x 4; 8 – 5 = 3; 10 + 5 = 15 = 3 x 5; etc.

 

 

 

Quotient d'une division par 3

 

*    L'entier de la division par 3 d'un nombre n est le nombre obtenu en divisant le nombre n moins son modulo 3 par 3.

 

Plancher (n/3) = (n – n mod 3) / 3

 

*    Cet entier (ou plancher) est aussi le quotient du nombre divisé par 3.

 

Note: cette propriété est valable pour toute division en adaptant l'argument du  modulo.

 

Démonstration selon la valeur de n mod 3

 

n mod 3 = 0

n mod 3 = 1

n mod 3 = 2

n = 3q

n = 3q + 1

n = 3q + 2

n/3 = q

(n – 1) / 3 = q

(n – 2) / 3 = q

Anglais pour plancher: floor

 

 

 

Critère de DIVISIBILITÉ par 3

 

 

Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

 

Voir Démonstration / Divisibilité par 9

 

 

Si un nombre est divisible par 3 toute permutation de ses chiffres est divisible par 3.

 

 

En effet, quelle que la position des chiffres, la somme reste identique.

 

 

 

123 => RN = 6 => oui, divisible par 3

124 => RN = 7 => non divisible par 3

12345 => 15 => 6 => oui

123456789 => 45 => 9 => oui

111 => 3 => oui

777 => 21 => 3 => oui

100000010000001 => 3 => oui

 

 

123 = 3 x   41

132 = 3 x   44

213 = 3 x   71

231 = 3 x   77

312 = 3 x 104

321 = 3 x 107

Voir Somme / Permutation/ Semi-pannumériques

 

 

Divisibilité par 3 – Démonstration

 

Divisibilité d'un nombre à deux chiffes

Un nombre N peut s'écrire avec ses dizaines (d) et ses unités (u), comme indiqué.

 

N = 10d + u

N = 9d + d + u

 

Par exemple:

25 = 2 x 10 + 5; ici d = 2 et u = 5.

Pour que N soit divisible par 3, il faut que N/3 soit un nombre entier K.

Seule possibilité pour que K soit entier:

d + u  divisible par 3

 

Divisibilité d'un nombre à trois chiffes

Un nombre N peut s'écrire avec ses centaines (c),  dizaines (d) et ses unités (u), comme indiqué.

 

N = 100c + 10d + u

N = 99c + 9d + c + d + u

Pour que N soit divisible par 3, il faut que N/3 soit un nombre entier K.

Seule possibilité:

c + d + u  divisible par 3

 

Divisibilité d'un nombre à n chiffres

Toutes les puissances de 10 sont divisible par 3 à un près. Comme pour deux ou trois chiffres, on retrouvera

 

 

Qui conduit à la généralisation

N est divisible par 3 si la somme des chiffres est divisible par 3.

Divisibilité par 9

Observez que l'on peut diviser par 9

Conclusion immédiate:

N est divisible par 9 si la somme des chiffres est divisible par 9.

 

 

Méthode par modulo pour trois chiffres

On indique mod pour signifier que l'on ne s'intéresse  qu'aux restes de la division par 3.

Par exemple 10   1 mod 3; le reste de la division de 10 par 3 est 1.

 

N = 99c + 9d + c + d + u

 

Un nombre est divisible par 3 si son modulo 3 est nul.

 

Qui se lit: 3 divise N si (c+d+u) est congru à 0 modulo 3.

 

Méthode générale avec les modulos

 

 

Or:

On peut écrire:

Multiple de 9 (et a fortiori de 3) si:

  mod 3

Cad.

    mod 3

Voir Divisibilité par 9

 

 

 

Client perspicace!

Ce monsieur passe à la caisse avec:

*    2 paquets de café à 6 euros;

*    3 paquets de riz dont il ne se souvient pas du prix; et

*    4 ampoules à 15 euros.

*    Le prix s'affiche à 82 euros.

Le monsieur signale poliment à la personne de la caisse qu'il doit y avoir une erreur. Comment le sait-il?

Solution

 

 

Cas de trois nombres successifs

 

3   (n – 1) n (n + 1)

3      (n3 – n)

3   n (n2 – 1)

 

La barre verticale se lit: "divise".

 

Le produit de trois nombres successifs est divisible par 3.

 

Le cube de n diminué de n est divisible par 3.

 

En fait divisible par 6 >>>

 

Explication: parmi trois nombres successifs, il en est toujours un qui est divisible par 3. De sorte que cette propriété est vraie pour trois nombres successifs ou plus.

 

Les permutations des chiffres sont également divisibles par 3.

 

Le carré de n diminué de 1 est divisible par 3 si n ne l'est pas.

 

 

 

1 x 2 x 3 = 3 x   2

2 x 3 x 4 = 3 x   6

3 x 4 x 5 = 3 x 20

4 x 5 x 6 = 3 x 40

5 x 6 x 7 = 3 x 70

 

 

33 – 3 =   27 – 3 =   24 = 3 x   8

43 – 4 =   64 – 4 =   60 = 3 x 20

53 – 5 = 125 – 5 = 120 = 3 x 40

 

 

 

11 x 12 x 13 x 14 = 3 x 8008 = 24 024

 

 

6 x 7 x 8 = 336 = 3 x 112

                   633 = 3 x 211

 

 

6 => 6² – 1 = 35

7 => 7² – 1 = 48 = 3 x 16

8 => 8² – 1 = 63 = 3 x 21

9 => 9² – 1 = 80

 

Explication:

(3k + 0)² = 9k² + 0

(3k + 1)² = 9k² + 6k + 1

(3k – 1)² = 9k² – 6k + 1

 

 

 

La concaténation des chiffres de trois nombres successifs est divisible par 3.

 

Soit un des nombres divisible par 3; ses deux voisins se compensent: l'un est divisible par 3 à -1 près et l'autre à +1 près. L'ensemble est divisible par 3.


Les permutations des chiffres sont également divisibles par 3.

 

Si le nombre central est divisible par 3, les nombres formés sont également divisibles par 9.

 

 

En effet, si n central divisible par 9; ses deux voisins s'annihilent dans la division par 9.

 

 

123 = 3 x   41

234 = 3 x   78

345 = 3 x 115

 

 

 

RN(n) = 3k

RN(n-1) = 3k' – 1 

RN(n+1) = 3k" + 1

RN (de tous) = 3 (k+k'+k")

 

 

232 425 = 3 x   77 475

222 345 = 3 x   74 115

543 222 = 3 x 181 074

 

997 998 999 = 3 x 332 666 333

995 996 997 = 9 x 110 666 333

 

RN(n) = 0

RN(n-1) =  – 1 

RN(n+1) = + 1

RN (de tous) = 0

 

Voir Carré / Cube / Concaténation / Divisibilité par 9 / Calcul mental

 

 

Combien de nombres divisibles par 3 ?

Avec les chiffres {0, 1, 2, 3, 4, 5} combien peut-on former de nombres à cinq chiffres divisibles par 3?

Solution

 

 

Différence de carrés

 

3   (A2 – B2)

si A et B non multiple de 3
ou tous deux multiples de 3

 

La différence de deux carrés est divisible par 3 quand les deux nombres ne le sont pas et quand les deux les sont.

 

 

 

 

4² – 2² = 16 –   4 = 12 = 3 x 4

4² – 3² = 16 –   9 = 7

5² – 3² = 25 –   9 = 16

6² – 3² = 36 –   9 = 27 = 3 x 9

7² – 3² = 49 –   9 = 40

7² – 4² = 49 – 16 = 33 = 3 x 11

Explication: tableau des 3 x 3 cas possibles:

Les quatre cases d'angle correspondent à deux nombres non divisibles par 3.
Celle du centre à deux nombres divisibles par 3.

 

 

 

3   AB (A2 – B2)

 

Une telle expression est toujours divisible par 3.

En multipliant A² – B² par AB, nous transformons, les 1 des cases en croix en 3, ce qui rend toutes ces cases divisibles par 3.

 

4 x 2 (16 – 4) = 8 x 12 = 96 = 3 x 32

7 x 5 (49 – 25) = 35 x 24 = 3 x 8 x 35

 

 

 

Expressions non divisibles

 

Ces expressions sont premières pour le seul cas où p = 3.

*    p  + 2                               3 + 2 = 5

*    p² + 2p – 8                      9 + 6 – 8 = 7

*    p² + 8                              9 + 8 = 17

*    p3 + 4                            27 + 4 = 31

*    2p + p2                             8 + 9 = 17

 

 

 

Nombres en 5n – 2n divisibles par 3

5n – 2n est divisible par 3 pour tout nombre non-négatif

*    Pour n = 0

50 – 20 = 3  Vrai.

*    Supposons que pour les nombres k jusqu'à n  cette proposition soit vraie:

5k – 2k sont divisibles par 3.

*    Écrivons la division, sachant que selon notre hypothèse le résultat est un nombre entier.

*    Calcul

 

 

*    En remplaçant

 

 

*    Le nombre 2n-1 étant un entier, car n > 0

  est divisible par 3.

Voir Démonstration par induction

 

 

NOMBRES en: n (2n² + 7)

 

3   n (2n2 +7)

 

 

Démonstration

 

 

1 (2x  1 + 7) = 9 = 3 x 3
5 (2x25 + 7) = 5 x 57 = 285 = 3 x 94

 

 

Validation du point de départ

*    Valeur pour f(1).

 

*    Le théorème est vrai pour n = 1..

f(1)

= 2 + 7
= 9
= 3 x 3

Validation de la récurrence

*    Supposons le théorème vrai pour n.

 

f(n)

= 3 .k

*    Calculons la valeur pour n+1.

*    Sortons les puissances comme indiqué.

*    On essaie de dégager la valeur de f(n)

f(n+1)

= (n+1) ( 2(n+1)² + 7 )

= (n+1) (2n² + 4n + 9)

= n (2n² + 4n + 9)

   + (2n² + 4n + 9)

= 2n3 + 4n² + 9n

   + 2n² + 4n + 9

= 2n3 + 6n² + 13n + 9

*    Calculons la différence indiquée.

f(n+1) – f(n)

= 2n3 + 6n² + 13n + 9

 – 2n3             7n + 9

=          6n² +  6n + 9

= 3 (2n² +  2n + 3)

*    La différence est divisible par 3.
L'un des termes de la différence est divisible par 3 (notre hypothèse).

*    L'autre terme doit l'être aussi pour assurer la divisibilité de la différence.

f(n)

 

 

 

 

f(n+1)

= 3 . k

 

 

 

 

= 3 . h

Conclusion

*    Si la propriété est vraie pour une valeur (n), elle est vraie pour la valeur suivante (n + 1).
Or elle est vérifiée pour n = 1, elle est vraie pour tous les nombres suivants.

Voir Démonstration par induction

 

 

NOMBRES en: 22^n + 5

 

3  

 

avec  n> 0

 

n = 1 => 22 + 5 =  9 = 3 x 3

n = 2 => 24 + 5 =16 + 5 = 21 = 3 x 7

n = 3 => 28 + 5 = 256 + 5 = 261 = 3 x 87

n = 4 => 216 + 5 = 65 536 + 5 = 65 541 = 3 x 21 47

 

Rappel

 

             >>>

 

Calcul

Modulo 3

   >>>

Expression complète mod 3

(1  +5)   6   0 (mod 3) donc bien divisible par 3.

Généralisation

5 peut être remplacé par tout nombre de la forme 3k + 2. Notamment 2.

Voir Nombres de Fermat

 

 

 

Client perspicace!  SOLUTION

La somme de ses achats s'écrit:

2 x 6 + 3 x (?) + 4 x 15

Chacun des termes de la somme est divisible par 3; la somme doit l'être. Dans ce cas, la somme des chiffres doit aussi être divisible par 3. Or 82 euros donne 8 + 2 = 10 non divisible par 3. Donc, erreur!

Retour

 

Combien de nombres divisibles par 3 ?

Avec les chiffres {0, 1, 2, 3, 4, 5} combien peut-on former de nombres à cinq chiffres divisibles par 3?

 

Tout d'abord constatons que la somme de ces chiffres et égale à 15, nombre divisible par 3.

Les seuls groupes de cinq nombres dont la somme est divisible par 3 sont: {1, 2, 3, 4, 5} et {0, 1, 2, 4, 5}.

En permutant les cinq chiffres de {1, 2, 3, 4, 5}, il est possible de former 5! = 120 nombres tous divisibles par 3.

Avec les cinq chiffres  {0, 1, 2, 4, 5}, il est possible de former 5! = 120 nombres tous divisibles par 3, sauf ceux commençant par 0, soit 4! = 24. (il y a effectivement 4! nombres qui commencent par chacun des cinq chiffres, ce qui donne 5 x 4! = 5! au total)

Bilan: 120 + (120 – 24) = 216 nombres divisibles par 3.

Retour

 

 

Suite

*         Divisibilité de formes polynomiales

*         Suite des nombres 381, 3811, 38111 …

Voir

*         Nombres parfaits 

*         Théorie des nombresIndex

*         Calcul mentalIndex

DicoNombre

*         Nombre 3

*         Nombre 3 337

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