NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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DIVISION

 

Débutants

Division

Divisibilité

 

Glossaire

Division

 

INDEX

Divisibilité

 

Introduction

Par 3

Critères

 

Sommaire de cette page

>>> Quotient d'une division par 3

>>> Divisibilité par 3

>>> Démonstration

>>> Trois nombres successifs

>>> Cinq nombres

>>> Nombres en    a² – b²

>>> Expressions non divisibles

>>> Progression arithmétique divisible par 3

>>> Nombres en 5n – 2n

>>> Nombres en    n (2n² + 7)

>>> Nombres en    2… + 5

>>> Démonstration utilisant la division par 3

 

 

 

En bref

 

 

DIVISIBILITÉ par 3

 

Critères de divisibilité et formes polynomiales divisibles.

 

Rappel: la Racine numérique (RN) d'un nombre est la somme de ses chiffres, répétée jusqu'à obtenir un nombre à un seul chiffre.

 

Ex: 1234 => 1 + 2 + 3 + 4 = 15 et 15 =>  1 + 5 = 6

 

Souvenez-vous: un nombre (n) divisé par trois donne un reste de 0, 1 ou 2; ou en symétrisant: –1, 0 ou +1. On note n = {3k – 1; 3k; 3k +1}. Ce qui veut dire que tout nombre peut s'écrire: 3k – 1 ou 3k ou 3k + 1. Rien d'autre!

 

 

 

 

Devinette: deux nombres divisibles par 3

 

Prenez deux nombres (a et b) au hasard, leur somme (s) et leur différence (d). Alors, l'un de ces quatre nombres (a, b, s, d), au moins, est divisible par 3.

 

3  {a, b, s = a + b, d = a – b}

La barre verticale signifie divise.

On lit: trois divise l'un des nombres a, b, s ou d.

 

Démonstration

Si l'un des deux nombres (a ou b) est divisible par 3, c'est bon. Si les deux ne sont pas divisibles par 3, alors voyons la somme et la différence de tels nombres dont le reste de la division par 3 est soit 1 soit -1:

Les cas marqués en jaune, en quinconce, prouve la divisibilité par 3 dans tous les cas.

Exemples:  7 + 5 = 12 = 3 x 4; 8 – 5 = 3; 10 + 5 = 15 = 3 x 5; etc.

 

 

 

Quotient d'une division par 3

 

*    L'entier de la division par 3 d'un nombre n est le nombre obtenu en divisant le nombre n moins son modulo 3 par 3.

 

Plancher (n/3) = (n – n mod 3) / 3

 

*    Cet entier (ou plancher) est aussi le quotient du nombre divisé par 3.

 

Note: cette propriété est valable pour toute division en adaptant l'argument du  modulo.

 

Démonstration selon la valeur de n mod 3

 

n mod 3 = 0

n mod 3 = 1

n mod 3 = 2

n = 3q

n = 3q + 1

n = 3q + 2

n/3 = q

(n – 1) / 3 = q

(n – 2) / 3 = q

Anglais pour plancher: floor

 

 

 

Critère de DIVISIBILITÉ par 3

 

 

Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

 

Voir Démonstration / Divisibilité par 9

 

 

Si un nombre est divisible par 3 toute permutation de ses chiffres est divisible par 3.

 

 

En effet, quelle que la position des chiffres, la somme reste identique.

 

 

 

123 => RN = 6 => oui, divisible par 3

124 => RN = 7 => non divisible par 3

12345 => 15 => 6 => oui

123456789 => 45 => 9 => oui

111 => 3 => oui

777 => 21 => 3 => oui

100000010000001 => 3 => oui

 

 

123 = 3 x   41

132 = 3 x   44

213 = 3 x   71

231 = 3 x   77

312 = 3 x 104

321 = 3 x 107

Voir Somme / Permutation/ Semi-pannumériques

 

 

Divisibilité par 3 – Démonstration

 

Divisibilité d'un nombre à deux chiffes

Un nombre N peut s'écrire avec ses dizaines (d) et ses unités (u), comme indiqué.

 

N = 10d + u

N = 9d + d + u

 

Par exemple:

25 = 2 x 10 + 5; ici d = 2 et u = 5.

Pour que N soit divisible par 3, il faut que N/3 soit un nombre entier K.

Seule possibilité pour que K soit entier:

d + u  divisible par 3

 

Divisibilité d'un nombre à trois chiffes

Un nombre N peut s'écrire avec ses centaines (c),  dizaines (d) et ses unités (u), comme indiqué.

 

N = 100c + 10d + u

N = 99c + 9d + c + d + u

Pour que N soit divisible par 3, il faut que N/3 soit un nombre entier K.

Seule possibilité:

c + d + u  divisible par 3

 

Divisibilité d'un nombre à n chiffres

Toutes les puissances de 10 sont divisible par 3 à un près. Comme pour deux ou trois chiffres, on retrouvera

 

 

Qui conduit à la généralisation

N est divisible par 3 si la somme des chiffres est divisible par 3.

Divisibilité par 9

Observez que l'on peut diviser par 9

Conclusion immédiate:

N est divisible par 9 si la somme des chiffres est divisible par 9.

 

 

Méthode par modulo pour trois chiffres

On indique mod pour signifier que l'on ne s'intéresse  qu'aux restes de la division par 3.

Par exemple 10   1 mod 3; le reste de la division de 10 par 3 est 1.

 

N = 99c + 9d + c + d + u

 

Un nombre est divisible par 3 si son modulo 3 est nul.

 

Qui se lit: 3 divise N si (c+d+u) est congru à 0 modulo 3.

 

Méthode générale avec les modulos

 

 

Or:

On peut écrire:

Multiple de 9 (et a fortiori de 3) si:

  mod 3

Cad.

    mod 3

Voir Divisibilité par 9

 

 

 

Client perspicace!

Ce monsieur passe à la caisse avec:

*    2 paquets de café à 6 euros;

*    3 paquets de riz dont il ne se souvient pas du prix; et

*    4 ampoules à 15 euros.

*    Le prix s'affiche à 82 euros.

Le monsieur signale poliment à la personne de la caisse qu'il doit y avoir une erreur. Comment le sait-il?

Solution

 

 

Cas de trois nombres successifs

 

3   (n – 1) n (n + 1)

3      (n3 – n)

3   n (n2 – 1)

 

La barre verticale se lit: "divise".

 

Le produit de trois nombres successifs est divisible par 3.

 

Le cube de n diminué de n est divisible par 3.

 

En fait divisible par 6 >>>

 

Explication: parmi trois nombres successifs, il en est toujours un qui est divisible par 3. De sorte que cette propriété est vraie pour trois nombres successifs ou plus.

 

Les permutations des chiffres sont également divisibles par 3.

 

Le carré de n diminué de 1 est divisible par 3 si n ne l'est pas.

 

 

 

1 x 2 x 3 = 3 x   2

2 x 3 x 4 = 3 x   6

3 x 4 x 5 = 3 x 20

4 x 5 x 6 = 3 x 40

5 x 6 x 7 = 3 x 70

 

 

33 – 3 =   27 – 3 =   24 = 3 x   8

43 – 4 =   64 – 4 =   60 = 3 x 20

53 – 5 = 125 – 5 = 120 = 3 x 40

 

 

 

11 x 12 x 13 x 14 = 3 x 8008 = 24 024

 

 

6 x 7 x 8 = 336 = 3 x 112

                   633 = 3 x 211

 

 

6 => 6² – 1 = 35

7 => 7² – 1 = 48 = 3 x 16

8 => 8² – 1 = 63 = 3 x 21

9 => 9² – 1 = 80

 

Explication:

(3k + 0)² = 9k² + 0

(3k + 1)² = 9k² + 6k + 1

(3k – 1)² = 9k² – 6k + 1

 

 

 

La concaténation des chiffres de trois nombres successifs est divisible par 3.

 

Soit un des nombres divisible par 3; ses deux voisins se compensent: l'un est divisible par 3 à -1 près et l'autre à +1 près. L'ensemble est divisible par 3.


Les permutations des chiffres sont également divisibles par 3.

 

Si le nombre central est divisible par 3, les nombres formés sont également divisibles par 9.

 

 

En effet, si n central divisible par 9; ses deux voisins s'annihilent dans la division par 9.

 

 

123 = 3 x   41

234 = 3 x   78

345 = 3 x 115

 

 

 

RN(n) = 3k

RN(n-1) = 3k' – 1 

RN(n+1) = 3k" + 1

RN (de tous) = 3 (k+k'+k")

 

 

232 425 = 3 x   77 475

222 345 = 3 x   74 115

543 222 = 3 x 181 074

 

997 998 999 = 3 x 332 666 333

995 996 997 = 9 x 110 666 333

 

RN(n) = 0

RN(n-1) =  – 1 

RN(n+1) = + 1

RN (de tous) = 0

 

Voir Carré / Cube / Concaténation / Divisibilité par 9 / Calcul mental

 

 

Combien de nombres divisibles par 3 ?

Avec les chiffres {0, 1, 2, 3, 4, 5} combien peut-on former de nombres à cinq chiffres divisibles par 3?

Solution

 

Cinq nombres – Somme divisible par 3

 

Parmi cinq nombres quelconques, pas nécessairement distincts, il en existe toujours trois dont la somme est divisible par 3 (S3).

 

Exemple (ici, trois sommes possibles)

 

Parmi quatre nombres, la probabilité d'obtenir S3 divisible par 3 est: 70,3%.

Et pour trois nombres, elle est de 34,4%.

 

 

Sachant que le reste de la division par 3 est 0, 1 ou 2, on déduit:

 

Cas 1

Si trois restes parmi les cinq sont égaux, leur somme est divisible par 3. Exemple avec le reste 2: 2 + 5 + 11 = 18, divisible par 3.

 

Cas 2

Dans le cas contraire, les seuls combinaisons de restes possibles sont: (0, 0, 1, 1, 2) ou (0, 0, 1, 2, 2) ou (0, 1, 1, 2, 2), sinon, il y en aurait trois égaux.

En choisissant les nombres dont les restes sont (0, 1, 2), la somme sera divisible par 3. Exemple: 3 + 4 + 5 = 12, divisible par 3.

Voir Congruence (mod)

 

 Cycle en 153

Tous les nombres divisibles par 3

ont un cycle-cube qui se termine par 153.

Le cycle-cube consiste à faire la somme des cubes des chiffres du nombre et à recommencer sur la somme obtenue.

Exemple: 93 = 729 => 73 + 23 + 93 = 1080 => 13 + 83 = 513 => 53 + 13 + 33 = 153

 

 

Différence de carrés

 

3   (A2 – B2)

si A et B non multiple de 3
ou tous deux multiples de 3

 

La différence de deux carrés est divisible par 3 quand les deux nombres ne le sont pas et quand les deux le sont.

 

 

 

 

4² – 2² = 16 –   4 = 12 = 3 x 4

4² – 3² = 16 –   9 = 7

5² – 3² = 25 –   9 = 16

6² – 3² = 36 –   9 = 27 = 3 x 9

7² – 3² = 49 –   9 = 40

7² – 4² = 49 – 16 = 33 = 3 x 11

Explication: tableau des 3 x 3 cas possibles:

Les quatre cases d'angle correspondent à deux nombres non divisibles par 3.
Celle du centre à deux nombres divisibles par 3.

 

 

 

3   AB (A2 – B2)

 

Une telle expression est toujours divisible par 3.

En multipliant A² – B² par AB, nous transformons, les 1 des cases en croix en 3, ce qui rend toutes ces cases divisibles par 3.

 

4 x 2 (16 – 4) = 8 x 12 = 96 = 3 x 32

7 x 5 (49 – 25) = 35 x 24 = 3 x 8 x 35

 

 

 

Expressions non divisibles

 

Ces expressions sont premières pour le seul cas où p = 3.

*    p  + 2                               3 + 2 = 5

*    p² + 2p – 8                      9 + 6 – 8 = 7

*    p² + 8                              9 + 8 = 17

*    p3 + 4                            27 + 4 = 31

*    2p + p2                             8 + 9 = 17

 

 

 

Progression arithmétique divisible par 3

 

Un nombre n à trois chiffres dont ceux-ci sont en progression arithmétique, alors n est divisible par 3.  

 

n = 100a + 10b + c

    = 100a + 10(a + r) + (a + 2r)

    = 111a + 12r

    = 3 (37a + 4r)

a = 4 & r = 2 => n = 468

a = 5 & r = 2 => n = 579

 

Valable même si les retenues interviennent:

a = 6 & r = 2 => n = 690

Les seuls 16 nombres à trois chiffres à progression arithmétique

[123, 234, 345, 456, 567, 678, 789]

[135, 246, 357, 468, 579]

[147, 258, 369]

[159]

Généralisation à de plus grands nombres. La relation est la même si le chiffre a est remplacé par un nombre A.

 

 

n = 100A + 10(A + r) + (a + 2r)

    = 3 (37A + 4r)

 

Autre façon de voir:

La somme des chiffres sera égale à:

       A+ A + r + A + 2r = 3A + 3r

Elle est divisible par 3, le nombre l'est également.

 

A = 7 & r = 3 =>

n = 100x7 + 10x10 + 13 = 813

 

A = 7 & r = 4 =>

n = 100x7 + 10x11 + 15 = 825

 

A = 45 & r = 12 =>

n = 100x45 + 10x57 + 69 = 5 139

 

 

Nombres en 5n – 2n divisibles par 3

5n – 2n est divisible par 3 pour tout nombre non-négatif

*    Pour n = 0

50 – 20 = 3  Vrai.

*    Supposons que pour les nombres k jusqu'à n  cette proposition soit vraie:

5k – 2k sont divisibles par 3.

*    Écrivons la division, sachant que selon notre hypothèse le résultat est un nombre entier.

*    Calcul

 

 

*    En remplaçant

 

 

*    Le nombre 2n-1 étant un entier, car n > 0

  est divisible par 3.

Voir Démonstration par induction

 

 

NOMBRES en: n (2n² + 7)

 

3   n (2n2 +7)

 

 

Démonstration

 

 

1 (2x  1 + 7) = 9 = 3 x 3
5 (2x25 + 7) = 5 x 57 = 285 = 3 x 94

 

 

Validation du point de départ

*    Valeur pour f(1).

 

*    Le théorème est vrai pour n = 1..

f(1)

= 2 + 7
= 9
= 3 x 3

Validation de la récurrence

*    Supposons le théorème vrai pour n.

 

f(n)

= 3 .k

*    Calculons la valeur pour n+1.

*    Sortons les puissances comme indiqué.

*    On essaie de dégager la valeur de f(n)

f(n+1)

= (n+1) ( 2(n+1)² + 7 )

= (n+1) (2n² + 4n + 9)

= n (2n² + 4n + 9)

   + (2n² + 4n + 9)

= 2n3 + 4n² + 9n

   + 2n² + 4n + 9

= 2n3 + 6n² + 13n + 9

*    Calculons la différence indiquée.

f(n+1) – f(n)

= 2n3 + 6n² + 13n + 9

 – 2n3             7n + 9

=          6n² +  6n + 9

= 3 (2n² +  2n + 3)

*    La différence est divisible par 3.
L'un des termes de la différence est divisible par 3 (notre hypothèse).

*    L'autre terme doit l'être aussi pour assurer la divisibilité de la différence.

f(n)

 

 

 

 

f(n+1)

= 3 . k

 

 

 

 

= 3 . h

Conclusion

*    Si la propriété est vraie pour une valeur (n), elle est vraie pour la valeur suivante (n + 1).
Or elle est vérifiée pour n = 1, elle est vraie pour tous les nombres suivants.

Voir Démonstration par induction

 

 

NOMBRES en: 22^n + 5

 

3  

 

avec  n> 0

 

n = 1 => 22 + 5 =  9 = 3 x 3

n = 2 => 24 + 5 =16 + 5 = 21 = 3 x 7

n = 3 => 28 + 5 = 256 + 5 = 261 = 3 x 87

n = 4 => 216 + 5 = 65 536 + 5 = 65 541 = 3 x 21 47

 

Rappel

 

             >>>

 

Calcul

Modulo 3

   >>>

Expression complète mod 3

(1  +5)   6   0 (mod 3) donc bien divisible par 3.

Généralisation

5 peut être remplacé par tout nombre de la forme 3k + 2. Notamment 2.

Voir Nombres de Fermat

 

 

 

Client perspicace!  SOLUTION

La somme de ses achats s'écrit:

2 x 6 + 3 x (?) + 4 x 15

Chacun des termes de la somme est divisible par 3; la somme doit l'être. Dans ce cas, la somme des chiffres doit aussi être divisible par 3. Or 82 euros donne 8 + 2 = 10 non divisible par 3. Donc, erreur!

Retour

 

Combien de nombres divisibles par 3 ?

Avec les chiffres {0, 1, 2, 3, 4, 5} combien peut-on former de nombres à cinq chiffres divisibles par 3?

 

Tout d'abord constatons que la somme de ces chiffres et égale à 15, nombre divisible par 3.

Les seuls groupes de cinq nombres dont la somme est divisible par 3 sont: {1, 2, 3, 4, 5} et {0, 1, 2, 4, 5}.

En permutant les cinq chiffres de {1, 2, 3, 4, 5}, il est possible de former 5! = 120 nombres tous divisibles par 3.

Avec les cinq chiffres  {0, 1, 2, 4, 5}, il est possible de former 5! = 120 nombres tous divisibles par 3, sauf ceux commençant par 0, soit 4! = 24. (il y a effectivement 4! nombres qui commencent par chacun des cinq chiffres, ce qui donne 5 x 4! = 5! au total)

Bilan: 120 + (120 – 24) = 216 nombres divisibles par 3.

Retour

 

 

 

Démonstration utilisant la division par 3

Affirmation

Tout les nombres pairs >38 sont la somme de deux nombres composés impairs.

Exemples

40 = 1 + 39 = 15 + 25

42 = 9 + 33 = 15 + 27 = 21 + 21

Trois cas possibles

n = 2m avec m = 3k ou 3k +1 ou 3k + 2

Oui, selon que le reste de la division par 3 est 0, 1 ou 2.

Analysons ces trois cas.

 

42 = 2 x 21 = 2 x (3 x 7 + 0)

44 = 2 x 22 = 2 x (3 x 7 + 1)

46 = 2 x 23 = 2 x (3 x 7 + 2)

 

Cas m = 3k => n = 6k

On cherche à trouver une relation équivalente avec une somme de deux termes dont chacun est impair composé.

 

On montre que n = 12 ne peut pas être somme de deux composés impairs.

 

Une somme de deux termes impairs:

n = 6k = 3(2k – 1) + 3

Le premier terme est le produit de deux nombres impairs (3 et 2k – 1), il est impair et composé.

Le second est bien impair, mais il est premier.

Poursuivons la recherche:

n = 6k = 3(2k – 2) + 6

Pas de chance, 6 est pair.

n = 6k = 3(2k – 3) + 9

Cette fois 9 est composé impair, c'est bon !

Quant au premier terme, il ne doit ni être négatif (k>1), ni premier (k différent de 2). Soit k > 2 et donc n > 12.

Avec 1 qui est impair sans être premier, on aurait 12 = 1 + 11 à rejeter car 11 est premier.

 

Cas m = 3k + 1 => n = 6k + 2

On cherche à trouver une relation équivalente.

 

On montre que n = 38 ne peut pas être somme de deux composés impairs.

 

n = 6k + 2 = 3(2k – 1) + 5

On a bien deux termes mais 5 est premier.

On cherche les valeurs telles que le5  devienne un nombre composé impair. Il faut aller jusqu'à:

n = 6k + 2 = 3(2k – 11) + 35

Alors, pour éviter que le premier terme soit négatif ou premier, k > 6 et n > 38.

Avec 1 qui est impair sans être premier, on aurait 38 = 1 + 37 à rejeter car 37 est premier.

 

Cas m = 3k + 2 => n = 6k + 4

On cherche à trouver une relation équivalente.

 

On montre que n = 38 ne peut pas être somme de deux composés impairs.

 

n = 6k + 4 = 3(2k – 1) + 7

On a bien deux termes mais 7 est premier.

Les valeurs qui conviennent:

n = 6k + 4 = 3(2k – 7) + 25

Alors, pour éviter le cas du premier terme égal à 3, il faut rejeter k = 4 et n = 28.

Avec 1 qui est impair sans être premier, on aurait 28 = 1 + 27, possible car 27 est composé.

 

Bilan

Après le nombre 38, tous les nombres pairs sont somme de deux nombres composés impairs

 

Il est toujours possible de trouver une partition d'un nombre pair en deux nombres composés impairs sauf pour n > 12, 28, 38, au final n > 38.

 

Liste des nombres pairs somme de deux impairs composés jusqu'à 42

 

Anglais: What is the maximum even number that cannot be expressed as sum of two composite odd numbers?

 

 

 

 

 

Suite

*         Divisibilité de formes polynomiales

*         Suite des nombres 381, 3811, 38111 …

Voir

*         Nombres parfaits 

*         Théorie des nombresIndex

*         Calcul mentalIndex

DicoNombre

*         Nombre 3

*         Nombre 16

*         Nombre 38

*         Nombre 3 337

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