NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 11/04/2012 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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DIVISIBILITÉ par 3

Critères de divisibilité et formes polynomiales divisibles.

Rappel: la Racine numérique (RN) d'un nombre est la somme de ses chiffres, répétée jusqu'à obtenir un nombre à un seul chiffre.

Ex: 1234 => 1 + 2 + 3 + 4 = 15 et 15 => 1 + 5 = 6

Critère de DIVISIBILITÉ par 3
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Voir Démonstration Si un nombre est divisible par 3 toute permutation de ses chiffres est divisible par 3. En effet, quelle que la position des chiffres, la somme reste identique.	123 => RN = 6 => oui, divisible par 3 124 => RN = 7 => non divisible par 3 123456789 => 45 => 9 => oui 111 => 3 => oui 777 => 21 => 3 => oui 100000010000001 => 3 => oui 123 = 3 x 41 132 = 3 x 44 213 = 3 x 71 231 = 3 x 77 312 = 3 x 104 321 = 3 x 107

Voir Somme / Permutation

Cas de trois nombres successifs
3 (n – 1) n (n + 1) 3 (n^3 – n) 3 n (n^2 – 1) La barre verticale se lit: "divise". Le produit de trois nombres successifs est divisible par 3. Le cube de n diminué de n est divisible par 3. Explication: parmi trois nombres successifs, il en est toujours un qui est divisible par 3. De sorte que cette propriété est vraie pour trois nombres successifs ou plus. Les permutations des chiffres sont également divisibles par 3. Le carré de n diminué de 1 est divisible par 3 si n ne l'est pas.	1 x 2 x 3 = 3 x 2 2 x 3 x 4 = 3 x 6 3 x 4 x 5 = 3 x 20 4 x 5 x 6 = 3 x 40 5 x 6 x 7 = 3 x 70 3^3 – 3 = 27 – 3 = 24 = 3 x 8 4^3 – 4 = 64 – 4 = 60 = 3 x 20 5^3 – 5 = 125 – 5 = 120 = 3 x 40 11 x 12 x 13 x 14 = 3 x 8008 = 24 024 6 x 7 x 8 = 336 = 3 x 112 633 = 3 x 211 6 => 6² – 1 = 35 7 => 7² – 1 = 48 = 3 x 16 8 => 8² – 1 = 63 = 3 x 21 9 => 9² – 1 = 80
La concaténation des chiffres de trois nombres successifs est divisible par 3. Soit un des nombres divisible par 3; ses deux voisins se compensent: l'un est divisible par 3 à -1 près et l'autre à +1 près. L'ensemble est divisible par 3. Les permutations des chiffres sont également divisibles par 3. Si le nombre central est divisible par 3, les nombres formés sont également divisibles par 9. En effet, si n central divisible par 9; ses deux voisins s'annihilent dans la division par 9.	123 = 3 x 41 234 = 3 x 78 345 = 3 x 115 RN(n) = 3k RN(n-1) = 3k' – 1 RN(n+1) = 3k" + 1 RN (de tous) = 3 (k+k'+k") 232 425 = 3 x 77 475 222 345 = 3 x 74 115 543 222 = 3 x 181 074 997 998 999 = 3 x 332 666 333 995 996 997 = 9 x 110 666 333 RN(n) = 0 RN(n-1) = – 1 RN(n+1) = + 1 RN (de tous) = 0

Voir Carré / Cube / Concaténation / Divisibilité par 9 / Calcul mental

Différence de carrés
3 (A^2 – B^2) si A et B non multiple de 3 ou tous deux multiples de 3 La différence de deux carrés est divisible par 3 quand les deux nombres ne le sont pas et quand les deux les sont.	4² – 2² = 16 – 4 = 12 = 3 x 4 4² – 3² = 16 – 9 = 7 5² – 3² = 25 – 9 = 16 6² – 3² = 36 – 9 = 27 = 3 x 9 7² – 3² = 49 – 9 = 40 7² – 4² = 49 – 16 = 33 = 3 x 11
Explication: tableau des 3 x 3 cas possibles: Les quatre cases d'angle correspondent à deux nombres non divisibles par 3. Celle du centre à deux nombres divisibles par 3.
3 AB (A^2 – B^2) Une telle expression est toujours divisible par 3.	En multipliant A² – B² par AB, nous transformons, les 1 des cases en croix en 3, ce qui rend toutes ces cases divisibles par 3. 4 x 2 (16 – 4) = 8 x 12 = 96 = 3 x 32 7 x 5 (49 – 25) = 35 x 24 = 3 x 8 x 35

Expressions non divisibles
Ces expressions sont premières pour le seul cas où p = 3. p + 2 3 + 2 = 5 p² + 2p – 8 9 + 6 – 8 = 7 p² + 8 9 + 8 = 17 p^3 + 4 27 + 4 = 31 2^p + p^2 8 + 9 = 17

NOMBRES en: n (2n² + 7)
3 n (2n^2 +7) Démonstration	1 (2x 1 + 7) = 9 = 3 x 3 5 (2x25 + 7) = 5 x 57 = 285 = 3 x 94
Validation du point de départ
Valeur pour f(1). Le théorème est vrai pour n = 1..	f(1)	= 2 + 7 = 9 = 3 x 3
Validation de la récurrence
Supposons le théorème vrai pour n.	f(n)	= 3 .k
Calculons la valeur pour n+1. Sortons les puissances comme indiqué. On essaie de dégager la valeur de f(n)	f(n+1)	= (n+1) ( 2(n+1)² + 7 ) = (n+1) (2n² + 4n + 9) = n (2n² + 4n + 9) + (2n² + 4n + 9) = 2n^3 + 4n² + 9n + 2n² + 4n + 9 = 2n^3 + 6n² + 13n + 9
Calculons la différence indiquée.	f(n+1) – f(n)	= 2n^3 + 6n² + 13n + 9 – 2n^3 – 7n + 9 = 6n² + 6n + 9 = 3 (2n² + 2n + 3)
La différence est divisible par 3. L'un des termes de la différence est divisible par 3 (notre hypothèse). L'autre terme doit l'être aussi pour assurer la divisibilité de la différence.	f(n) f(n+1)	= 3 . k = 3 . h
Conclusion
Si la propriété est vraie pour une valeur (n), elle est vraie pour la valeur suivante (n + 1). Or elle est vérifiée pour n = 1, elle est vraie pour tous les nombres suivants.

Voir Démonstration par induction

NOMBRES en: 2^2^n + 5
3 avec n> 0	n = 1 => 2^2 + 5 = 9 = 3 x 3 n = 2 => 2^4 + 5 =16 + 5 = 21 = 3 x 7 n = 3 => 2^8 + 5 = 256 + 5 = 261 = 3 x 87 n = 4 => 2^16 + 5 = 65 536 + 5 = 65 541 = 3 x 21 47
Rappel	>>>
Calcul
Modulo 3	>>>
Expression complète mod 3	(1 +5) 6 0 (mod 3) donc bien divisible par 3.
Généralisation	5 peut être remplacé par tout nombre de la forme 3k + 2. Notamment 2.

Voir Nombres de Fermat

Suite	Divisibilité de formes polynomiales
Voir	Nombres parfaits  Théorie des nombres – Index Calcul mental – Index
DicoNombre	Nombre 3 Nombre 3 337
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