NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 13/04/2012

 

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Introduction à la Théorie des nombres

Sommaire

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PAIRS & IMPAIRS

>>>

 

Sommaire de cette page

 

>>> Clé des nombres pairs et impairs

>>> Opérations élémentaires

>>> Carrés des pairs et impairs

>>> Nombres consécutifs

>>> Nombres plus 2

>>> Notations mathématiques

 

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*       Pairs et impairs - Introduction

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*       Dualité

*       Théorie des nombres - Index

*       Nombres modulo

*       Somme des nombres impairs

*       Conjecture de Goldbach

*       Calcul

*       Logique

*       Géométrie

*       Jeux et puzzles

 

 

 

Un nombre pair ne commet jamais d'impair (?!.)

Voir Pensées & humour

 

 

 

 

PAIRS & IMPAIRS

 

*    Rien de plus simple que la division par 2

*    Et pourtant de quoi faire quelques exercices utiles pour la suite

 

EVEN & ODD

 

en anglais

*    Les animaux ont un nombre pair de pattes

*    Les végétaux sont plutôt portés sur l'impair

*    Le monde est fait de dualités

NEVER ODD OR EVEN

 

Voir Palindrome

 

 

1 + 3 +   5 = 3 2

Les 3 premiers impairs donnent le carré; les 3 suivants le cube!

Voir Impairs, carrés et cubes

7 + 9 + 11 = 3 3

 

 

 

  CLÉ DES NOMBRES PAIRS ET IMPAIRS

 

Pair

Formule

Exemple

*    Un nombre pair est un nombre divisible par 2

*    On peut dire aussi: un nombre multiple de 2

n = 2.k

6 = 2 . 3

 

 

Impair

Formule

Exemple

*    Un nombre impair est un nombre qui donne 1 pour reste lorsqu'il est divisé par 2

*    On peut dire aussi: un nombre qui succède à une nombre pair

n = 2.k + 1

7 = 2 . 3 + 1

 

 

 

*    Ces deux formules sont la clé des propriétés des nombres pairs & impairs

 

English trick

ODD

 

Bizarre

IMPAIR

EVEN

 

Régulier

PAIR

There is

a ONE in ODD

There are

two E in even

2k + 1

2k

Voir Expression en anglais

 

 

Notations

Pair

P

*    Utilisée s'il n'y a pas de confusion possible

*    En général, la lettre P est réservée pour Premier

P = 2k

 

E

*    Comme EVEN en anglais

Impair

I

*    Convient, sans confusion possible

I = 2k + 1

 

O

*    Comme ODD en anglais

 

 

 

  OPÉRATIONS ÉLÉMENTAIRES

 

ADDITION (ou soustraction)

 

+

P

I

P'

2k + 2k'

= 2 (k + k')

= 2h

PAIR

2k + 1 + 2k'

= 2 (k + k') + 1

= 2h + 1

IMPAIR

I'

2k + 2k' + 1

= 2 (k + k') + 1

= 2h + 1

IMPAIR

2k + 1 + 2k' + 1

= 2 (k + k' + 1)

= 2h

PAIR

 

Résumé

+

P

I

P

P

I

I

I

P

 

Exemples

+

2

3

4

6

7

5

7

8

 

L'addition de 2 nombres de même parité donne une somme paire

À rapprocher du OU EXCLUSIF en logique >>>

 

 

 

 

MULTIPLICATION

 

X

P

I

P'

2k . 2k'

= 4kk'

= 2h

PAIR

(2k + 1) 2k'

= 2h

PAIR

I'

2k  (2k' + 1)

= 2h

PAIR

(2k + 1) (2k' + 1)

= 4kk' + 2k + 2k' + 1

= 2h + 1

IMPAIR

 

Résumé

X

P

I

P

P

P

I

P

I

 

Exemples

X

2

3

4

8

12

5

10

15

 

Seule la multiplication de 2 nombres impairs donne un produit impair

À rapprocher du ET logique

 

 

 

CAS PARTICULIER DU CARRÉ

 

Résumé

X

P

I

P

P

 

I

 

I

 

Exemples

X

2

3

2

4

 

3

 

9

 

 

Un nombre élevé au carré

conserve sa parité

 

 

Carré des nombres pairs et impairs

Nombre

Son carré

N =

N² =

10a  + b

100a² + 20ab + b²

Place des chiffres

Les zéros entraînent le positionnement indiqué.

Pour les dizaines, ne pas oublier la retenue provenant de la dizaine du carré de l'unité.

 

Si b est impair

 

Chiffre des

unités de N

1² =

3² =

5² =

7² =

9² =

01 

09

25

49

81

Unité impaire

Chiffre des dizaines de N

20 ab

dizaine de b²

Somme

Bilan

pair

paire

paire

cf. multiplication par 20.

Constat ci-dessus.

Car pair +pair = pair 

Dizaine paire

 

Nombre impair au carré: unité impaire et dizaine paire.

 

 

Si b est pair

 

Chiffre des

unités de N

0² =

2² =

4² =

6² =

8² =

00 

04

16

36

64

Unités paires {0, 4, 6}

Chiffre des dizaines de N

 

 

Aucune conclusion

 

 

Bilan pour carrés et cubes

 

 

Nombre pair au carré ou au cube  unité paire et dizaine quelconque.

 

 

Nombre impair au carré ou au cube  unité impaire et

                                                                  dizaine toujours paire …

           sauf pour le cube d'un nombre avec dizaine impaire.

 

Voir Unités des puissances / Dizaines des puissances

 

 

 

Divisibilité des carrés

des nombres pairs et impairs

Pairs

Impairs

 

N  = 2 k

N² = 4 k²

 

Divisible par 4
Le quotient est le carré de k = N/2.

 

Exemples

10² = 100 = 4 x 5²

  8² =   64 = 4 x 4²

 

N  = 2 k + 1

N² = 4 k (k + 1) + 1

 

Division par 4, reste 1

Le terme en 4 est un produit comportant k et son successeur.

 

Exemples

   5² =  25 =    24 + 1 = 4 x 2 x 3 + 1

11² = 121 = 120 + 1 = 4 x 5 x 6 + 1

 

Voir Divisibilité des carrés et des cubes

 

 

 

 

ÉLÉVATION À LA PUISSANCE

 

an

P

I

P

(2k)n

= 2h

PAIR

 

I

 

(2k + 1)n

= 2h + 1

IMPAIR

 

Résumé

an

P

I

P

P

 

I

 

I

 

Exemples

a3

2

3

2

8

 

3

 

27

 

Un nombre élevé à une puissance

conserve sa parité

 

 

DIVISION

 

/

P

I

P'

2k / 2k'

= k / k'

?

(2k + 1) / 2k'

?

I'

2k / (2k' + 1)

?

(2k + 1) / (2k' + 1)

?

 

Exemples

X

6

15

2

3

7,5

3

2

5

 

Aucune conclusion possible

avec la division

 

 

RACINE CARRÉE

 

P

I

P

(2k)

?

 

I

 

 (2k + 1)

?

 

Exemples

4

9

4

2

 

9

 

3

 

Aucune conclusion possible

avec la racine carrée

 

 

  NOMBRES CONSÉCUTIFS

DEUX NOMBRES CONSÉCUTIFS

 

Deux nombres consécutifs n et n+1

L'un est pair l'autre est impair

que ce soit dans l'ordre ou non

Nombres

2

3

4

Parité

P

I

P

1er cas

n

n + 1

 

2e cas

 

n'

n' + 1

 

Conclusion

Avec deux nombres consécutifs n et n+1

L'un est P l'autre est I

Peu importe dans quel ordre

Avec:

 

P = 2k

I = 2k + 1

 

 

 

Opérations

 

P = 2k

I = 2k + 1

n + (n+1)

S = 2k + 2k + 1

= 4k + 1

IMPAIR

n . (n+1)

P = 2k (2k + 1)

= 4k + 2k

= 2h

PAIR

 

 

*    La somme de deux nombres consécutifs est impaire

*    Sa division par 4 donne 1 pour reste

*    Le produit de deux nombres consécutifs est divisible par 2

 

 

 

TROIS NOMBRES CONSÉCUTIFS

 

Trois nombres consécutifs n-1, n  et n+1

 

Nombres

2

3

4

5

Parité

P

I

P

I

1er cas

n - 1

n

n + 1

 

2e cas

 

n' - 1

n'

n' + 1

 

Conclusion

Avec trois nombres n-1 , n  et n+1

Il y a deux cas:

§  Deux sont P et un I

§  Deux sont I et un est P

 

 

Opérations

 

Cas 1

Deux sont P et un I

Cas 2

Deux sont I et un est P

(n-1) + n + (n+1)

2k + (2k+1) + (2k+2)

= 6k + 3

= 3 (2k + 1)

(produit de 2 impairs)

 

IMPAIR

2k - 1 + 2k + 2k + 1

= 6k

 

 

PAIR

DIVISIBLE par 6

2+3+4 = 9

3+4+5 = 12

(n-1) . n . (n+1)

2k . (2k+1) . (2k+2)

= 2k (4k² + 6k + 2)

=4k (2k² + 3k + 1)

 

PAIR

DIVISIBLE par 4

(2k - 1) . 2k . (2k + 1)

= 2k (4k² - 1)

 

 

 

PAIR

2.3.4 = 24

3.4.5 = 60

 

 

*    La somme de trois nombres consécutifs est de la même parité que celle du nombre initial de parité unique

*    Si deux sont impairs, la somme est divisible par 6

*    Le produit de trois nombres consécutifs est divisible par 2

*    Ou par 4,  si deux d'entre eux sont pairs

En fait, le produit de trois nombres consécutifs est toujours divisible par 6

 

 

QUATRE NOMBRES CONSÉCUTIFS

 

 

*    Parmi quatre nombres consécutifs

*    2 sont pairs, et

*    2 sont impairs

 

 

Opérations

Somme

        S => P + P + I + I

Or P + P => P & I + I = P

S= > P + P

=> P

2 + 3 + 4 + 5 = 14

Produit

M => P . P . I . I

=> 2k . 2k' . h

= 4 K

2 x 3 x 4 x 5 = 120

 

 

*    La somme de quatre nombres consécutifs est paire

*    Le produit de quatre nombres consécutifs est divisible par 4

En fait, le produit de quatre nombres consécutifs est toujours divisible par 24

 

 

 

  NOMBRES PLUS 2

DEUX NOMBRES n & n+2

 

 

*    Deux nombres distants de 2 unités sont tous les deux

*    soit pairs

*    soit impairs

 

 

Opérations

 

Cas 1

Tous les 2 sont P

Cas 2

Tous les 2 sont I

Somme

2k + (2k+2)

= 4 k + 2

= 2 (2k + 1)

PAIR

(2k-1) + (2k+1)

= 4k

DIVISIBLE par 4

2 + 4 = 6

3 + 5 = 8

Produit

2k . (2k+2)

= 4k (2k+1)

DIVISIBLE par 4

(2k-1) . (2k+1)

= 4k² - 1

=> P - I = I

=> IMPAIR

2 . 4 = 8

3 . 5 = 15

 

Conclusion

Divisibilité par 4

*    La somme de deux nombres distants de 2 est toujours paire

*    Elle est divisible par 4, si ces 2 nombres sont pairs

*    Sinon, la division par 4 donne un reste de 2

*    Autrement dit: Cette somme, divisée par 4, donne 0 ou 2 comme reste

*    Le produit de deux nombres distants de 2, divisé par 4 donne un reste de :

*    Zéro (divisible) si ces nombres sont pairs

*    Un s'ils sont impairs

 

 

Bilan

Reste

de la division

par 4

n pair

n-1 et n+1 sont impairs

n impair

n-1 et n+1 sont pairs

Somme: (n-1) + (n+1)

0

2

Produit: (n-1) . (n+1)

1

0

 

 

 

  NOTATIONS mathématiques

 

Nombre pair

Nombre impair

n = 0 mod 2

n = 1 mod 2

reste 0 lorsque divisé par 2

reste 1 lorsque divisé par 2

Deux nombres de même parité

Deux nombres de parité différente

n - m = 0 mod 2

n - m = 1 mod 2

reste 0 lorsque la différence est divisée par 2

reste 0 lorsque la différence est divisée par 2

 

Voir Introduction au modulo / Application aux triplets de Pythagore

 

À suivre …

Après ces "gammes" sur les

nombres pairs et impairs,

on imagine aisément que

les questions de divisibilité,

et même de restes de division,

sont au centre des préoccupations

Je préfère jouer et poursuivre

l'exploration de pair, impair

*      Pairs et impairs - Introduction et nombres géométriques

*      Somme des impairs

*      Dualité, binaire, yin / yang …

*      Machines logiques et intelligence artificielle

*      Pairs, impairs et amicaux en numérologie

 

 

 

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