NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Théorie des Nombres

 

Débutants

Nombres

Caractérisation

des nombres

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

 

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Sommaire

Th. Fondamental

Pairs et Impairs

Premiers

p-adiques

Fonctions arithmétiques

 

Sommaire de cette page

>>> Clé des nombres pairs et impairs

>>> Additions et soustractions

>>> Multiplications

>>> Carrés des pairs et impairs

>>> Carrés et cubes

>>> Puissances

>>> Divisions

>>> Racine carrée

>>> Nombres consécutifs

>>> Nombres plus 2

>>> Notations mathématiques

 

 

 

 

 

Un nombre pair ne commet jamais d'impair (?!.)

Voir Pensées & humour / Devinette

 

 

NOMBRES PAIRS & IMPAIRS

Rien de plus simple que la division par 2.

Et pourtant de quoi faire quelques exercices utiles pour la suite.

EVEN & ODD

Pair & Impair

En Anglais

 

Les animaux ont un nombre pair de pattes.

Les végétaux sont plutôt portés sur l'impair.

Le monde est fait de dualités.

NEVER ODD OR EVEN

Jamais impair ou pair

Voir Palindrome

 

 

Voir Pépites

 

 

 

Oups! Je débute … >>>

 

 

CLÉ DES NOMBRES PAIRS ET IMPAIRS

Pair

Formule

Exemple

*    Un nombre pair est un nombre divisible par 2.

On peut dire aussi: un nombre multiple de 2.

n = 2.k

6 = 2 x 3

Impair

*    Un nombre impair est un nombre avec 1 pour reste lorsqu'il est divisé par 2.

On peut dire aussi: un nombre qui succède à un nombre pair.

n = 2.k + 1

7 = 2 x 3 + 1

 

Ces deux formules sont la clé des propriétés des nombres pairs & impairs.

 

Notations

Voir Nombres premiers

 

 

ADDITION & SOUSTRACTION

 

Calcul détaillé

 

Résumé



Exemple

 

L'addition de deux nombres de même parité donne une somme paire.

 

À rapprocher du OU EXCLUSIF en logique >>>

 

 

 

MULTIPLICATION

 

Calcul détaillé

 

Résumé

Exemple

 

Seule la multiplication de deux nombres impairs donne un produit impair.

 

À rapprocher du ET en logique >>>

 

Cas particulier des carrés

ou du produit de deux nombres de même parité

 

 

 

Un nombre élevé au carré

conserve sa parité.

 

 

 

 

 

Résumé

Exemple

 

 

 

Carré des nombres pairs et impairs

Nombre

Son carré

N =

N² =

10a  + b

100a² + 20ab + b²

Place des chiffres

Les zéros entraînent le positionnement indiqué.

Pour les dizaines, ne pas oublier la retenue provenant de la dizaine du carré de l'unité.

 

Si b est impair

 

Chiffre des

unités de N

1² =

3² =

5² =

7² =

9² =

01 

09

25

49

81

Unité impaire

Chiffre des dizaines de N

20 ab

dizaine de b²

Somme

Bilan

pair

paire

paire

cf. multiplication par 20.

Constat ci-dessus.

Car pair +pair = pair 

Dizaine paire

 

Nombre impair au carré: unité impaire et dizaine paire.

 

 

Si b est pair

 

Chiffre des

unités de N

0² =

2² =

4² =

6² =

8² =

00 

04

16

36

64

Unités paires {0, 4, 6}

Chiffre des dizaines de N

 

 

Aucune conclusion

 

 

Bilan pour carrés et cubes

Note: le A renversé indique que le chiffre des dizaines est quelconque (indéterminé).

 

Nombre pair au carré ou au cube  unité paire et dizaine quelconque.

 

 

Nombre impair au carré ou au cube  unité impaire et

                                                                  dizaine toujours paire …

           sauf pour le cube d'un nombre avec dizaine impaire.

 

Voir Unités des puissances / Dizaines des puissances

 

 

 

Divisibilité des carrés

des nombres pairs et impairs

Pairs

Impairs

 

N  = 2 k

N² = 4 k²

 

Divisible par 4
Le quotient est le carré de k = N/2.

 

 

Exemples

10² = 100 = 4 x 5²

  8² =   64 = 4 x 4²

 

N  = 2 k + 1

N² = 4 k (k + 1) + 1

 

Division par 4, reste 1

Le terme en 4 est un produit comportant k et son successeur.

 

Exemples

   5² =  25 =    24 + 1 = 4 x 2 x 3 + 1

11² = 121 = 120 + 1 = 4 x 5 x 6 + 1

 

 

 

BONUS pour les IMPAIRS

 

 

Reprenons la formule:    N² = 4 k (k + 1) + 1

Ce nombres est déjà divisible par 4. Il est aussi le produit de deux nombres successifs; donc, l'un est pair; et, le produit est divisible par 2. Si bien que:

N² – 1 est un nombre divisible par 8 (N impair).

 

 

Démonstration alternative

Avec une identité remarquable:

N² – 1 = (N – 1) (N + 1)

N étant impair, N – 1 et N + 1  sont pairs.

Et, étant consécutifs, l'un est divisible par 4.

L'un en 2k et l'autre en 4k', le produit est en 8 kk'.

 

Exemples

  5² – 1  =   25  =   3 x 8 =   4 x   6

11² – 1  = 121 = 15 x 8 = 10 x 12

 

Les trois écritures

N = 2k + 1  alors N² – 1  = 4k² + 4k = 4k (k + 1) = 2k (2k + 2)

 

Tableau pour les nombres impairs de 3 à 21

En rouge, quelques produits à noter comme: 1 + 2 x 3 x 4 = 5²

 

Voir Divisibilité des carrés et des cubes / Divisibilité par 8 / Divisibilité par 24 / Divisibilité des formes  / Pépites numériques

 

 

 

 

ÉLÉVATION À LA PUISSANCE

 

Calcul détaillé

 

Résumé

Exemple

 

Un nombre élevé à une puissance conserve sa parité.

 

 

 

 

DIVISION

 

Calcul détaillé

 

Exemple

 

Aucune conclusion possible avec la division.

 

 

 

 

 

RACINE CARRÉE

 

Calcul détaillé

 

Exemple

 

Aucune conclusion possible avec la racine carrée d'un nombre quelconque.
Si le nombre est un carré parfait, sa racine est de même parité.

 

 

 

 

NOMBRES CONSÉCUTIFS

 

Deux nombres consécutifs

 

Avec deux nombres consécutifs n et n+1, l'un est pair l'autre est impair que ce soit dans l'ordre ou non.

 

 

Opérations

 

 

La somme de deux nombres consécutifs est impaire. Sa division par 4 donne 1 pour reste. Le produit de deux nombres consécutifs est divisible par 2.

 

Trois nombres consécutifs

 

Avec trois nombres n – 1 , n  et n + 1, il y a deux cas:

*    Deux sont P et un I  ou

*    Deux sont I et un est P.

 

Opérations

 

La somme de trois nombres consécutifs est de la même parité que celle du nombre initial de parité unique. Le produit de trois nombres consécutifs est divisible par 2. Ou par 4,  si deux d'entre eux sont pairs.

 

Parmi trois nombres consécutifs, l'un d'eux est pair au moins et  l'un d'eux est divisible par 3. Conclusion:

 

Le produit de trois nombres consécutifs est divisible par 6.

 

 

Quatre nombres consécutifs

 

Parmi quatre nombres consécutifs, deux sont pairs et deux sont impairs.

 

La somme de quatre nombres consécutifs est paire.

 

Le produit de quatre nombres consécutifs est divisible par 24 = 4!.

 

 

 

 

NOMBRES PLUS 2

 

Deux nombres distants de 2 unités sont tous les deux: soit pairs, soit impairs.

 

Calcul détaillé

 

 

Conclusions

La somme de deux nombres distants de 2 est toujours paire.

*      Elle est divisible par 4, si ces 2 nombres sont pairs

*      Sinon, la division par 4 donne un reste de 2

Autrement dit: Cette somme, divisée par 4, donne 0 ou 2 comme reste.

 

Le produit de deux nombres distants de 2, divisé par 4 donne un reste de :

*      Zéro (divisible) si ces nombres sont pairs, ou

*      Un s'ils sont impairs.

 

Bilan en tableau

 

 

 

 

 

NOTATIONS mathématiques

 

Notion de module (mod): on s'intéresse à ce qui reste lorsqu'on retire des modules identiques à un nombre. C'est la division euclidienne, pour laquelle on ne retient que les restes. On note ce fait avec un signe égal comportant trois traits.

Ici, le module est égal à 2.

 



Voir Introduction au modulo / Application aux triplets de Pythagore

 

 

English corner

 

 

Voir Expression en anglais / Mnémotechnique

 

 

 

 

 

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Suite

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*         Carrés

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*         Somme des nombres impairs – Introduction

*         Somme des nombres impairs – Développements

*         Dualité, binaire, yin / yang …

*         Machines logiques et intelligence artificielle

*         Pairs, impairs et amicaux en numérologie

*         Somme de 2 nombres divisibles par 2

*         Triplets de Pythagore (exemple d'application)

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