NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 14/02/2012 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
	MOTIFS & FORMES
Débutants Général	NOMBRES UNIFORMES ou REPDIGITS			Glossaire Général
INDEX Motif	Repdigits	Repunits	Presque repdigit
	999 …	Division des repunits	Division de 999 …
	888 …	Produits	Persistance
		Sommaire de cette page >>> Repdigits >>> Forme générique >>> Premiers ou composés? >>> Cas des repdigits à 3 chiffres >>> Nombres périodiques >>> Repdigit en 6 et 9 >>> Carré des repdigits >>> Divisibilité par 27

NOMBRES UNIFORMES

ou

REPDIGITS

Nombres dont les chiffres sont répétés, comme 3333 ou 555 … Les nombres avec des 1 (repunits) sont ceux comme 11, 111, 1111 …

Anglais: Rep-digit ou Repdigit

Une multiplication esthétique produisant un repdigit

Voir Multiplications en puzzle

NOMBRES UNIFORMES ou REPDIGITS
Nombre formé par la répétition du seul et même chiffre (digit en anglais). Un nombre en 2 sera un nombre uniforme de la classe U2. Un nombre en k sera un nombre uniforme de la classe Uk. Un nombre de la classe U1 est aussi appelé repunit. Un nombre uniforme est noté en donnant deux des chiffres accompagnés d'un indice indiquant la quantité de chiffres répétés.	Exemples 1111 2222222222 33333333333333333 9999 Filiation Tout repdigit est un multiple d'un repunit. 333 = 111 x 3 555 = 111 x 5 Notation 111 = 113 555 555 = 556

Forme générique
Le développement des nombres uniformes dans le système décimal permet de présenter le forme générique de tout nombre uniforme. La forme générique est le produit de k par la somme des puissances de 10 successives. La notation générique est U comme uniforme, suivi de deux indices; l'un pour le nombre répété, l'autre pour la quantité de répétitions.	Exemples 111 = 1x10^2 + 1x10 + 1 222 = 2x10^2 + 2x10 + 2 kkk = kx10^2 + kx10 + k Forme générique Uk = k x 11n = k (10^n + 10^n-1 +…+ 10 + 1) Notation U1,3 = 111 U5,6 = 555 555

Premiers ou composé?
Tous les repdigits d'ordre k, k différent de 1, sont composés. Tous les repunits à trois chiffres sont divisibles par 3. La somme de leurs chiffres et un multiple de 3. Tous les repunits à n fois trois chiffres sont divisibles par 3 car la somme de leurs chiffres est un multiple de 3. Par conséquent, les repdigits à n fois trois chiffres sont aussi divisibles par 3. Un repdigit comprenant 3^n chiffres est divisible par 3^n Voir Démonstration Certains repunits sont premiers.	3333 = 1111 x 3 5555 = 1111 x 5 111 = 3 x 37 111 111 = 3 x 37 037 = 3 x 37 x 1001 111 111 111 = 3 x 37 037 037 = 3 x 37 x 1001 001 555 = 5 x 3 x 37 11 est premier Le suivant est 1119

DIVISIBILITÉ – Démonstration

Montrez qu'un repdigit

comprenant 3ⁿ chiffres

est divisible par 3ⁿ

Démonstration par induction.

Pour k = 1,

C'est vrai.

Voir Divisibilité par 3

3¹ = 3

m = aaa

La somme des chiffres est égale à 3a

m est divisible par 3.

Supposons la formule vraie pour k

L'est-elle pour k + 1?

m =	aa…a
	3^k fois

m' =	aa…a
	3^k+1 fois

Observons un exemple.

m =	aa…a	= aaa
	3^1 fois	3 fois

m' =	aa…a	= aaa aaa aaa
	3^1+1 fois	9 fois

Ce qui permet de mieux comprendre le développement suivant de 3^k+1

m' =	aa…a	=	aa…a	aa…a	aa…a
	3^k+1 fois		3^k fois	3^k fois	3^k fois

En faisant intervenir la somme.

m' =	aa…a	00…0	+	aa…a	00…0	+	aa…a
	3^k fois	2.3^K fois		3^k fois	3^K fois		3^k fois

Mise en facteur.

m' =	aa…a	(	100…0	+	100…0	1)
	3^k fois		2.3^K fois		3^K fois

M' est le produit:

de m qui par hypothèse est divisible par 3^k et

d'une expression dont la somme des chiffres est 3, qui est donc divisible par 3

m' = m (100…0 + 100…0 + 1)

= ( 3^k A) ( 3 B)

= 3^k+1 C

CQFD

3^k+1 m'

Exemples

Voir Divisibilité des formes polynomiales

Nombres périodiques et 999 …
Soit la fraction 1/p où p est un nombre premier est long. La période d'un nombre décimal (1/p) multiplié par le nombre premier générateur (p) est un repdigit en 9. Exemples 1 / 7 => 142857 x 7 = 999 999 = 96 1 / 17 => 588 235 294 117 647 x 17 = 916 1 / 19 => 52 631 578 947 368 421 x 19 = 918 Rappel 0, 999 … = 1 >>>

Voir suite en Repdigit en 999 … / Repdigit en 9

REPDIGIT en 6 et 9

Motifs

6² =	36	&	3 + 6 =	9
66² =	4356		43 + 56 =	99
666² =	443556		443 + 556 =	999
6666² =	44435556		4443 + 5556 =	9999
66666² =	4444355556		44443 + 55556 =	99999
Etc.
3333² =	11108889		1110 + 8889 =	9999
7777² =	60481729		6048 + 1729 =	7777

Règle générale

Un nombre N multiplié par un repdigit R donne un résultat dont la partie de droite ajoutée à la partie de gauche donne un repdigit.

Le nombre de chiffres de R doit être supérieur ou égal à celui de N.

R	N		R.N	&		R'
22222	x	894 =	19866468		198 + 66468 =	666666
555	x	123 =	68265		68 + 265 =	333
22	x	12 =	264		2 + 64 =	66
22	x	11 =	242		2 + 42 =	44
Etc.

Carré des REPDIGITS en 9

Exemple avec 9 De sorte que, par exemple, 999² = 998 001 Avec cette coquetterie: 999 = 998 + 001, valable pout tous les repdigits en 9. 999 999² = 999 998 000 001 Formule magique de calcul mental Pour élever au carré un nombre en 99…99, il suffit de concaténer deux nombres simples: 99… 98 et 00..01. Principe général Repdigit aa…ak et b = 10 – b Son carré (aa…ak)² = 10^2k – 2b x10^k + 1 Table des carrés des repdigits >>>

Facteurs du repdigit 999 999
Curiosité Facteurs: 999 999 = 1 x 3^3 x 7 x 11 x13 x 37 Arrangeons: 999 999 = 7 x 11 x13 x 27 x37 Sur le tableau suivant, F est le facteur, 1/F son inverse, P4 le produit des quatre autres facteurs et 1/P l'inverse de ce produit. Notez comment chacun est lié aux quatre autres. Pas si extraordinaire… prenons 7: Ce calcul montre que nous retombons sur nos pieds.

Divisibilité par 27 impliquant les repdigits

27 divise

10^n+1 – 9n – 10 3 + 33 + … + 33…3n

33…3_n est composé de n fois le chiffre 3

Voir démonstration

Suite	Repunits Repdigit et différence de carrés Repdigits avec 142857
Voir	Calcul du carrés des Repdigits Carrés des Repdigits Multiplication Nombres à motifs Nombres magiques – Index Nombres répétés Palindromes Pannumériques