NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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MOTIFS & FORMES

 

Débutants

Chiffre

 

NOMBRES UNIFORMES

ou REPDIGITS

 

 

Glossaire

Chiffre

 

 

INDEX

 

MOTIFS

 

Types de nombres

 

Motif

 

Repdigits

Repunits

Presque repdigit

999 …

Division des repunits

Bi-repdigit

888 …

Produits

Division de 999 …

Racine carrée

Calcul du carré

Persistance

Nombres périodiques

Nombres Demlo

Table des carrés

(n.p) min = Repdigit

Nombre dissécable

 

Sommaire de cette page

>>> Repdigits

>>> Forme générique

>>> Premiers ou composés?

>>> Cas des repdigits à 3 chiffres

>>> Nombres périodiques

>>> Repdigit en 6 et 9

>>> Carré des repdigits

>>> Divisibilité par 27

>>> Nombres rep2digit premiers

>>> Repdigits en bases 2 à 16

>>> Repbases et Super Repdigits

>>> Somme de repdigits successifs

 

 

NOMBRES UNIFORMES

ou

REPDIGITS

 

Nombres dont les chiffres sont répétés, comme 3333 ou 555 … Les nombres avec des 1 (repunits) sont ceux comme 11, 111, 1111 … 

On dit: nombres uniformes de la classe Uk, comme par exemple 44 est un nombre uniforme de la classe U4.

 

Tous ces nombres sont palindromes et multiples d'un repunit. Le nombre de la Bête (666) est un repdigit

Un des intérêts (amusement) est de rechercher les premiers parmi de tels nombres.

Mot-valise formé avec répétition des digits (chiffres).

 

Anglais:  Rep-digit or Repdigit or Monodigit

 

Une multiplication esthétique produisant un repdigit

Voir Multiplications en puzzle

 

 

 

NOMBRES UNIFORMES ou REPDIGITS

 

Nombre formé par la répétition du seul et même chiffre (digit en anglais).

*    Un nombre en 2 sera un nombre uniforme de la classe U2.

*    Un nombre en k sera un nombre uniforme de la classe Uk.

*    Un nombre de la classe U1 est aussi appelé repunit.

 

Un nombre uniforme est noté en donnant deux des chiffres accompagnés d'un indice indiquant la quantité de chiffres répétés (à ne pas confondre avec l'indice indiquant une base de numération.

 

Exemples

1111

2222222222

33333333333333333

9999 

 

Filiation

Tout repdigit est un multiple d'un repunit.

 

333 = 111 x 3

555 = 111 x 5

 

 

 

Notation

        111 = 113
555 555 = 556

 

 

 

Numération

 

 

 

Ex:  [555]3 = 5 (3² + 3 + 1) =  65 en décimal.

 

Voir Identité remarquable / nombres brésiliens

 

 

 

Repdigits – Programmation 

 

Commentaire

Procédure nommé Rep qui répond OK = 1 si le nombre n est un repdigit et 0 sinon.

Le nombre n est converti en une liste N (effet de sa conversion en base 10). On compte la quantité de chiffres en q.

Boucle qui compare chaque chiffre au suivant et qui place le témoin OK à 0 s'ils sont différents.

Après cette moulinette, si OK = 1, c'est que le nombre n est un repdigit.

La procédure retourne la valeur de la variable OK.

 

Voir ProgrammationIndex

 

 

 

 

 

Forme générique

 

*      Le développement des nombres uniformes dans le système décimal permet de présenter le forme générique de tout nombre uniforme.

*      La forme générique est le produit de k par la somme des puissances de 10 successives.

 

*      La notation générique est U comme uniforme, suivi de deux indices; l'un pour le nombre répété, l'autre pour la quantité de répétitions.

 

Exemple

 

 

 

Exemples

111 = 1x102 + 1x10 + 1

222 = 2x102 + 2x10 + 2

kkk = kx102 + kx10 + k

 

Forme générique classique

 

Un,k = k x 11n 

     = k (10n + 10n-1 +…+ 10 + 1)

 

 

Notation

 

U1,3 = 111

U5,6 = 555 555

 

Forme générique en base B

En base 10

 

 

 

Premiers ou composé?

 

*      Tous les repdigits d'ordre k, k différent de 1, sont composés.

*      Tous les repunits à trois chiffres sont divisibles par 3. La somme de leurs chiffres et un multiple de 3.

 

 

*      Tous les repunits à n fois trois chiffres sont divisibles par 3 car la somme de leurs chiffres est un multiple de 3.
Par conséquent, les repdigits à n fois trois chiffres sont aussi divisibles par 3.

 

*      Un repdigit comprenant 3n chiffres est divisible par 3n

 

Voir Démonstration

 

 

*      Certains repunits sont premiers.

 

 

3333 = 1111 x 3

5555 = 1111 x 5

 

 

111  = 3 x 37

111 111 = 3 x 37 037

               = 3 x 37 x 1001

111 111 111

               = 3 x 37 037 037

               = 3 x 37  x 1001 001

 

555  = 5 x 3 x 37

 

11 est premier

Le suivant est 1119

 

 

 

Devinette

Avec un seul trait, rectifier cette opération

Un malin préconisait de barrer le signe égal. Il faut trouver autre chose.

Solution

 

 

DIVISIBILITÉ – Démonstration

 

Montrez qu'un repdigit

comprenant 3n chiffres

est divisible par 3n

 

Démonstration par induction.

*    Pour k = 1,

C'est vrai.

Voir Divisibilité par 3

31 = 3

m = aaa

La somme des chiffres est égale à 3a

m est divisible par 3.

*  Supposons la formule vraie pour k

L'est-elle pour k + 1?

m =

aa…a

3k fois

 

m' =

aa…a

3k+1 fois

*    Observons un exemple.

m =

aa…a

= aaa

31 fois

3 fois

 

m' =

aa…a

= aaa aaa aaa

31+1 fois

9 fois

*  Ce qui permet de mieux comprendre le développement suivant de 3k+1

m' =

aa…a

=

aa…a

 

aa…a

 

aa…a

3k+1 fois

3k fois

 

3k fois

3k fois

*    En faisant intervenir la somme.

m' =

aa…a

 

00…0

+

aa…a

 

00…0

+

aa…a

3k fois

 

2.3K fois

 

3k fois

 

3K fois

 

3k fois

*    Mise en facteur.

m' =

aa…a

(

100…0

+

 

100…0

 

1)

3k fois

 

2.3K fois

 

 

3K fois

 

 

*    M' est le produit:

*    de m qui par hypothèse est divisible par 3k et

*    d'une expression dont la somme des chiffres est 3, qui est donc divisible par 3

m' = m (100…0 + 100…0 + 1)

     = ( 3k A) ( 3 B)

     = 3k+1 C

*    CQFD

3k+1  m'

 

Exemples

Voir Divisibilité des formes polynomiales

 

 

 

Nombres périodiques et 999 …

 

*      Soit la fraction 1/p où p est un nombre premier est long.

*      La période d'un nombre décimal (1/p) multiplié par le nombre premier générateur (p) est un repdigit en 9.

 

Exemples

1 /   7 =>  142857 x 7 = 999 999 = 96

1 / 17 => 588 235 294 117 647 x 17 = 916

1 / 19 => 52 631 578 947 368 421 x 19 = 918

 

Rappel

0, 999 … = 1 >>>

 

Voir suite en  Repdigit en 999 …

 

 

REPDIGIT en 6 et 9

 

Motifs

6² =

36

&

3 + 6 =

9

66² =

4356

43 + 56 =

99

666² =

443556

443 + 556 =

999

6666² =

44435556

4443 + 5556 =

9999

66666² =

4444355556

44443 + 55556 =

99999

Etc.

 

 

 

3333² =

11108889

1110 + 8889 =

9999

7777² =

60481729

6048 + 1729 =

7777

 

Règle générale

 

Un nombre N multiplié par

un repdigit R donne un résultat  dont la partie de droite ajoutée à la partie de gauche donne un repdigit.

Le nombre de chiffres

de R doit être supérieur ou égal à celui de N.

 

 R

N

R.N

&

 

R'

22222

x

894 =

19866468

198 + 66468 =

666666

555

x

123 =

68265

68 + 265 =

333

22

x

12 =

264

2 + 64 =

66

22

x

11 =

242

2 + 42 =

44

Etc.

 

 

 

 

 

 

 

Carré des REPDIGITS

 

D'une manière générale

n² = (10k + k = 11² k² = 121 k²

22² = 121 x 4 = 484

Le carré d'un repdigit à deux chiffres est divisible par 121.

n² = (100k + 10k + k = 111² k² = 12321 k²

n² = (… = 11…1k² 

 

Le carré d'un repdigit d'ordre k est égal au produit

du carré de son repunit associé par k².

 

Carré des repdigits en 9

 

De sorte que, par exemple,  999² = 998 001

Avec cette coquetterie:         999 = 998 + 001, valable pout tous les repdigits en 9.               999 999² = 999 998 000 001

 

Formule magique de calcul mental

 

 

Pour élever au carré un nombre en 99…99, il suffit de concaténer deux nombres simples: 99… 98 et 00..01.

 

Principe général

Repdigit    aaak   et b = 10 – b

Son carré (aaak = 102k – 2b x10k + 1

 

Table des carrés des repdigits >>>

 

 

 

 

Facteurs du repdigit 999 999

 

Curiosité

Facteurs:           999 999 = 1 x 33 x 7 x 11 x13 x 37

Arrangeons:      999 999 =               7 x 11 x13 x 27 x37

 

Sur le tableau suivant, F est le facteur, 1/F son inverse, P4 le produit des quatre autres facteurs et 1/P l'inverse de ce produit.

Notez comment chacun est lié aux quatre autres.

 

 

Pas si extraordinaire… prenons 7:

Ce calcul montre que nous retombons sur nos pieds.

 

 

 

Divisibilité par 27 impliquant les repdigits

 

 

27 divise

10n+1 – 9n – 10

3 + 33 + … + 33…3n

 

33…3n est composé de n fois le chiffre 3

 

Voir démonstration

 

 

 

 

Nombres rep2digit premiers

 

Nombres premiers s'écrivant avec deux chiffres, l'un puis l'autre.

 

Exemples

 

 

 

 

Repdigits pour les bases de 2 à 16

 

Exemples de lecture:

3 s'écrit 11 en binaire (B = 2) et c'est un repdigit

8 en base 3 est le repdigit 22.

 



Propriétés

Constat: tous les nombres sont repunits en base n – 1.

Les repdigits avec base inférieures à n – 1 sont appelés nombres brésiliens.

Le nombre est 7 = 1112 est le plus petit.

Le nombre 15 = 11112 = 334 est le plus petit doublement brésilien.

 

 

Notez les curiosités: 1210 =1111 ou encore 18010 = 4444.

Ces cas ne sont pas rares: 1410 = 1212 , 1610 = 1313 , 1810 = 1414 , 2010 = 1515 , …

 

 

Record de présentations repdigits

(en jaune, ceux dont la base est aussi repdigit)

 

 

Nombres repbase & nombres super-repdigits

 

Nombres repbases

Ils sont tels que le nombre et la base sont égaux. Le premier non trivial est 1410 = 1212.

 

Ce tableau donne la suite des nombres repbases

Lecture 1810 = 1414

 

Nombres super-repdigits (nombre brésiliens dont les repdigits sont les mêmes que ceux de la base)

Ce sont les repdigits-double pour lesquels la base est elle-même repdigit. On y trouve par exemple: 18010 = 4444

Pour établir la liste, il suffit de calculer la valeur décimale de a...aa…a pour les valeurs de a successives. Ces nombres sont vite très grands! Le premier listé 12 = 1111 est trivial, car tous les nombres n sont égaux à 11 en base (n – 1).

 

 

 

 

Ce programme produit la table indiquée ci-dessus.

Boucle d'exploration des nombres n puis boucle de balayage des bases de 2 à n – 2.

Conversion de n en base b sous forme d'une liste de chiffres en N.

Si la quantité de chiffres identiques est 1, c'est que N est un repdigit;  alors on reconstitue le nombre N en base b et on le mémorise en nb.

Si ce nombre nb est égal à la base, le nombre n est converti en un repdigit dans la base égale à ce repdigit.

Le résultat du traitement est affiché en bleu: 46 en base 10 = 22 en base 22.  

 

Merci à Bernard Schott pour sa définition précise des super-repdigits

Les super-repdigits sont répertoriés en OEIS A287767

 

 

 

Somme de repdigits successifs

Il faut calculer la somme de ces repdigits en 6 jusqu'au énième (n > 1).

Calculs

 

Résolution

Mise en évidence de 9

Calcul du repunit

Retour à Sn

Finalement

Exemple

Généralisation pour les repdigits en k

Exemple k = 3

 

 

 

Tableau des valeurs

k + kk + kkk + …

 

Lignes pour n = quantité de termes de la somme

Colonnes pour k, le type de repdigit.

 

 

Exemple de lecture

 

6 + 66 + 666 + …

+  6666 666 666

= 7 407 407 400

 

Notez la régularité des motifs, notamment avec 9: 11100010a avec a = 10 – n.

 

 

 

 

 

Solution de la devinette

Solution / Autre du même type

 

 

 

Suite

*    Nombres brésiliens (repdigit en base b)

*    Repunits ou nombres uniformes

*    Repdigit et différence de carrés

*    Repdigits avec 142857

*    Repdigits divisibles par 37

*    Nombres à chiffres répétés

*    Repdigits sans ce chiffre dans leurs puissances

*    Repdigits partiels

*    Production de nombres répétitifs comme 148 x 3 = 444

Voir

*    Calcul du carrés des Repdigits

*    Carrés des Repdigits

*    Multiplication

*    Nombres à motifs

*    Nombres magiquesIndex

*    Nombres ondulants

*    Nombres répétés

*    Palindromes

*    Pannumériques

DicoNombre

*    Nombre   12

*    Nombre   15

*    Nombre   22

*    Nombre   40

*    Nombre   60

*    Nombre 111

*    Nombre 120

*    Nombre 180

*    Nombre 222

*    Nombre 333

*    Nombre 336

*    Nombre 360

*      Nombre 444

*    Nombre 555

*      Nombre 666 (nb de la Bête)

*    Nombre 720

*      Nombre 777

*    Nombre 888

*      Nombre 999

Sites

*    Repdigit – Wolfram MathWorld

*    OEIS A010785 – Repdigit numbers, or numbers with repeated digits.

*   OEIS A287767 – Brazilian numbers whose repdigits are the same as the repdigits of the base – Bernard Schott

*    On Repdigit Polygonal Numbers – Mike Keith

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Formes/RepDigit.htm