NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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NOMBRES PREMIERS

 

Débutants

Général

Propriétés

 

Glossaire

Nombres

premiers

 

 

INDEX

 

Nombres premiers

 

Débutant

Introduction

Barre magique

Sur Tableur

Glossaire

Caractérisation

Un

 

Sommaire de cette page

>>>  La barre magique

>>>  Barre prolongée

>>>  Statistiques

>>>  Jumeaux & orphelins

 

 

 

 

 

 

 

LA BARRE MAGIQUE

des 25 premiers

NOMBRES PREMIERS

 

 

*    Comment facilement énumérer les nombres premiers jusqu'à 100 et même les retenir par cœur. Le truc est très simple et quasi magique!

 

*    On se souvient que les nombres premiers sont tous ces nombres qu'aucune table de multiplication ne peut atteindre (sauf la table banale du 1). Par exemple, aucune multiplication autre que 1 x 23 donne 23.

 

 

 

 

LA BARRE MAGIQUE en 6

 

Méthode

 

*    Écrivons la suite des multiples de 6 (barre jaune au milieu du dessin ci-dessous)

Au-dessus,   les nombres qui précédent les multiples de 6.

Au-dessous, les nombres qui succèdent les multiples de 6.

*    Parmi ces voisins des multiples de 6

Éliminons les multiples de 5,

Ce qui est évident car ils se terminent par 5

Ce travail élimine 6 nombres, 3 au-dessus et 3 au-dessous

Éliminons les multiples de 7

L'un est hyper évident 77 = 11 x 7

Un autre facile car c'est un carré: 7 x 7 = 49

Le troisième et dernier est un peu plus "planqué": c'est 13 x 7 = 91

*    Voyons les nombres qui restent (marqués en rouge)

Ce sont tous les nombres premiers qui se situent entre 5 et 100.

Pour être complet et obtenir les 25 nombres premiers de 0 à 100, 
il faut ajouter les nombres 2 et 3.
(on se souvient que 1 n'est pas un nombre premier).

 

 

 

La barre magique des nombres premiers

 

En rouge, tous les nombres premiers de 1 à 100,

sans oublier 2 et 3 non figurés dans la barre magique.

 

 

Tous les nombres de part et d'autre  de la barre jaune (les multiples de 6) sont premiers,  sauf ceux qui sont déportés en gris

 

Voir Jumeaux, cousins et sexys

 

 

 

Observations pour les nombres premiers jusqu'à 100

 

*    Tous les multiples de 6 de ce tableau ont au moins un voisin premier.

*    Parfois, il en a même deux: ils sont dits jumeaux:

*    Jusqu'à 20, ils sont tous jumeaux       (3 paires: 5,7  11,13   17,19)

*    De 20 à 100, il y a 4 paires supplémentaires: 29,31  41,43  59,61  71,73

*    La configuration 2, 3, 5 étant très particulière et unique.

 

 

EXPLICATIONS

 

*    En prenant les multiples de 6  1

 

Nous sommes sûrs de ne disposer que de nombres impairs; nous avons de fait éliminé tous les nombres pairs, les divisibles par 2.

 

Nous sommes sûrs d'avoir éliminé également les nombres divisibles par 3, car, à partir de 6 il faudrait 6 ± 3 pour atteindre ces nombres.

 

*    Il suffit alors d'éliminer les divisibles par 5 et par 7

 

Pour poursuivre, il faudrait éliminer les nombres divisibles par 11, le nombre premier qui suit 7.

 

Or, 11 x  11 = 121 qui dépasse 100.

 

*    Le travail est donc terminé après le 7.

 

Pour être exact, la fin est obtenue théoriquement pour 100 = 10

Or le dernier nombre premier  10 est 7

 

Voir explications de cette magie en Séquence en six

 

 

Pour retenir les nombres premiers jusqu'à 100

 

*      On commence par

 

*      On compte de 6 en 6.
Ce qui donne déjà 8 nombres premiers.

 

 

*      On poursuit.
Soit 15 nombres premiers jusqu'à 50.

 

 

 

 

*      On attaque la deuxième partie de 50 à 100.
Soit 10 nombres premiers supplémentaires jusqu'à 100.

 

2, 3, 5 et 7

 

 

12 => 11 et 13

18 => 17 et 19

 

 

24 => 23 et 25

30 => 29 et 31

36 => 35 et 37

42 => 41 et 43

48 => 47 et 49

 

 

54 => 53 et 55

60 => 59 et 61

66 => 65 et 67

72 => 71 et 73

78 => 77 et 79

84 => 83 et 85

90 => 89 et 91

96 => 95 et 97

 

Voir Mnémotechnique / Calcul mental

 

 

BARRE PROLONGÉE

 

*    Voici la barre magique en 6 prolongée jusqu'à 500.

Les jumeaux sont marqués en jaune.

Les multiples de 6 orphelins (aucun premier voisin) sont entourés en rouge.

*    Jusqu'à 500, il y a:

48 nombres premiers en 6n – 1

45 nombres premiers en 6n + 1

93 nombres premiers en 6n  1

95 nombres premiers en y incluant les nombres 2 et 3.

24 couples de premiers jumeaux (avec le couple 3,5).

13 multiples de 6 orphelins (aucun premier voisin).

 

 

 

 

 

STATISTIQUES – Quantité de nombres premiers

 

Plage

Qté en

6n – 1

Qté en

6n + 1

Qté

totale

*

Qté

jumeaux

**

Qté

orphelin

0 -        10

1

1

4

2

0

0 -        50

7

6

15

6

0

0 –       100

12

11

25

8

0

0 –       500

48

45

95

24

13

0 –     1 000

86

80

168

35

34

0 –    10 000

616

611

1 229

205

643

0 –   100 000

4 806

4 784

 9 592

1 224

8 299

0 – 1 000 000

39 265

39 231

78 498

8 169

96 338

 

* y compris 2 et 3; ** y compris le couple 3,5

 

 

 

 

JUMEAUX ET ORPHELINS jusqu'à 1 000

 

Les 35 paires de jumeaux

Les deux voisins du multiple

de 6 sont premiers.

 

3,     5

5,     7

11,   13

17,   19

29,   31

41,   43

59,   61

71,   73

101, 103

107, 109

 

137, 139

149, 151

179, 181

191, 193

197, 199

227, 229

239, 241

269, 271

281, 283

311, 313

 

347, 349

419, 421

431, 433

461, 463

521, 523

569, 571

599, 601

617, 619

641, 643

659, 661

 

809, 811

821, 823

827, 829

857, 859

881, 883

 

Les 34 orphelins

Les deux voisins du multiple

de 6 sont composés.

 

120

144

186

204

216

246

288

300

324

342

 

414

426

474

516

528

534

552

582

624

636

 

666

696

714

780

792

804

816

834

846

870

 

894

900

924

960

 

En jaune: double paire dans la dizaine (hors 0 à 10).

Notez que 700 et 900 sont des centaines sans jumeaux.

 

 

 

 

 

Liens vers le dictionnaire des nombres

 

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Voir

*    Nombres magiquesIndex

*    Séquence en six

*    Nombres premiers jumeaux - Caractérisation

*    Nombres premiers jumeaux - Développements

Aussi

*    Les nombres premiers – introduction et développements

*    Triangle des nombres

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