NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 10/01/2022 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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LA BARRE MAGIQUE

des 25 premiers

NOMBRES PREMIERS

Comment facilement énumérer les nombres premiers jusqu'à 100 et même les retenir par cœur. Le truc est très simple et quasi magique!

On se souvient que les nombres premiers sont tous ces nombres qu'aucune table de multiplication ne peut atteindre (sauf la table banale du 1). Par exemple, aucune multiplication autre que 1 x 23 ne donne 23.

LA BARRE MAGIQUE en 6

Méthode Écrivons la suite des multiples de 6 (barre jaune au milieu du dessin ci-dessous) Au-dessus, les nombres qui précédent les multiples de 6. Au-dessous, les nombres qui succèdent les multiples de 6. Parmi ces voisins des multiples de 6 Éliminons les multiples de 5, Ce qui est évident car ils se terminent par 5 Ce travail élimine 6 nombres, 3 au-dessus et 3 au-dessous Éliminons les multiples de 7 L'un est hyper évident 77 = 11 x 7 Un autre facile car c'est un carré: 7 x 7 = 49 Le troisième et dernier est un peu plus "planqué": c'est 13 x 7 = 91 Voyons les nombres qui restent (marqués en rouge) Ce sont tous les nombres premiers qui se situent entre 5 et 100. Pour être complet et obtenir les 25 nombres premiers de 0 à 100, il faut ajouter les nombres 2 et 3. (on se souvient que 1 n'est pas un nombre premier).

La barre magique des nombres premiers

En rouge, tous les nombres premiers de 1 à 100, sans oublier 2 et 3 non figurés dans la barre magique. Tous les nombres de part et d'autre de la barre jaune (les multiples de 6) sont premiers, sauf ceux qui sont déportés en gris. En informatique Un programme de recherche des nombres premiers pourra se contenter d'analyser les nombres notés ici en vert. Une idée consiste à incrémenter le nombre en cours d'analyse alternativement de 2 et 4.

Voir Jumeaux, cousins et sexys / Cribles / Brève 817

Racine numérique additive

La racine numérique additive (RN) des nombres premiers ne sont pas 0, 3, 6 ou 9 (car non divisibles par 3).

RN(p) = {1, 2, 4, 5, 7, 8}.

De plus, ces RN sont réparties en deux sous-ensembles.

Pour les premiers en 6k – 1, la RN est égale à (3, 6, 9) – 1 = 2, 5, 8

Pour les premiers en 6k + 1, la RN est égale à (3, 6, 9) + 1 = 4, 7, 1

Voir Premiers et racines additives

Observations pour les premiers jusqu'à 100
Tous les multiples de 6 de ce tableau ont au moins un voisin premier. Parfois, il en a même deux: ils sont dits jumeaux: Jusqu'à 20, ils sont tous jumeaux (3 paires: 5,7 11,13 17,19) De 20 à 100, il y a 4 paires supplémentaires: 29,31 41,43 59,61 71,73 La configuration 2, 3, 5 étant très particulière et unique.

EXPLICATIONS

En prenant les multiples de 6 1 Nous sommes sûrs de ne disposer que de nombres impairs; nous avons de fait éliminé tous les nombres pairs, les divisibles par 2. Nous sommes sûrs d'avoir éliminé également les nombres divisibles par 3, car, à partir de 6 il faudrait 6 ± 3 pour atteindre ces nombres. Il suffit alors d'éliminer les divisibles par 5 et par 7 Pour poursuivre, il faudrait éliminer les nombres divisibles par 11, le nombre premier qui suit 7. Or, 11 x 11 = 121 qui dépasse 100. Le travail est donc terminé après le 7. Pour être exact, la fin est obtenue théoriquement pour 100 = 10 Or le dernier nombre premier 10 est 7

Voir explications de cette magie en Séquence en six

Pour retenir les nombres premiers jusqu'à 100
On commence par On compte de 6 en 6. Ce qui donne déjà 8 nombres premiers. On poursuit. Soit 15 nombres premiers jusqu'à 50. On attaque la deuxième partie de 50 à 100. Soit 10 nombres premiers supplémentaires jusqu'à 100.	2, 3, 5 et 7 12 => 11 et 13 18 => 17 et 19 24 => 23 et 25 30 => 29 et 31 36 => 35 et 37 42 => 41 et 43 48 => 47 et 49 54 => 53 et 55 60 => 59 et 61 66 => 65 et 67 72 => 71 et 73 78 => 77 et 79 84 => 83 et 85 90 => 89 et 91 96 => 95 et 97

Voir Mnémotechnique / Calcul mental

BARRE PROLONGÉE

Voici la barre magique en 6 prolongée jusqu'à 500. Les jumeaux sont marqués en jaune. Les multiples de 6 orphelins (aucun premier voisin) sont entourés en rouge. Jusqu'à 500, il y a: 48 nombres premiers en 6n – 1 45 nombres premiers en 6n + 1 93 nombres premiers en 6n 1 95 nombres premiers en y incluant les nombres 2 et 3. 24 couples de premiers jumeaux (avec le couple 3,5). 13 multiples de 6 orphelins (aucun premier voisin).

Spirale magique des nombres premiers de Frédéric Fichepain

Voir Image complète

Présentation en roue (ou marguerite) magqiue avec une période de 30

Avec 6, 12, 18, 24 et 30, un potentiel de 20 pétales, mais deux contiennent des multiples de 5

Voir Crible de la roue

STATISTIQUES – Quantité de nombres premiers

Plage	Qté en 6n – 1	Qté en 6n + 1	Qté totale *	Qté jumeaux **	Qté orphelin
0 - 10	1	1	4	2	0
0 - 50	7	6	15	6	0
0 – 100	12	11	25	8	0
0 – 500	48	45	95	24	13
0 – 1 000	86	80	168	35	34
0 – 10 000	616	611	1 229	205	643
0 – 100 000	4 806	4 784	9 592	1 224	8 299
0 – 1 000 000	39 265	39 231	78 498	8 169	96 338

* y compris 2 et 3; ** y compris le couple 3,5

JUMEAUX ET ORPHELINS jusqu'à 1 000
Les 35 paires de jumeaux Les deux voisins du multiple de 6 sont premiers. 3, 5 5, 7 11, 13 17, 19 29, 31 41, 43 59, 61 71, 73 101, 103 107, 109 137, 139 149, 151 179, 181 191, 193 197, 199 227, 229 239, 241 269, 271 281, 283 311, 313 347, 349 419, 421 431, 433 461, 463 521, 523 569, 571 599, 601 617, 619 641, 643 659, 661 809, 811 821, 823 827, 829 857, 859 881, 883	Les 34 orphelins Les deux voisins du multiple de 6 sont composés. 120 144 186 204 216 246 288 300 324 342 414 426 474 516 528 534 552 582 624 636 666 696 714 780 792 804 816 834 846 870 894 900 924 960
En jaune: double paire dans la dizaine (hors 0 à 10). Notez que 700 et 900 sont des centaines sans jumeaux.

Liens vers le dictionnaire des nombres

1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 34 35 37 41 43 47

53 59 61 67 71 73 79 83 89 95 97

101 103 107 109 113 120 à 150

Voir	Nombres magiques – Index Séquence en six Crible de la roue Nombres premiers jumeaux - Caractérisation Nombres premiers jumeaux – Développements Chiffres des nombres premiers et multiples de 6
Aussi	Les nombres premiers – introduction et développements Triangle des nombres
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Premier/Barmag6.htm