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LOI de BERNOULLI Loi de probabilité la plus
simple qui s'applique au lancement d'une pièce ou d'un dé ou tout autre processus
dont le résultat (l'issue) ne peut prendre que deux valeurs: oui/non ou 0/1 ou succès/échec
ou etc.. On dit qu'il s'agit d'une loi discrète
(au sens binaire) |
Voir Famille
Bernoulli
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Lancement d'une pièce On
choisit "pile" comme succès ou l'inverse. On lui associe la valeur
1. X est une
variable aléatoire qui prend soit la valeur 1, soit la valeur 0. On
associe à chaque valeur de X une probabilité: ici une chance sur deux de
tomber sur pile ou face; p = ½. |
Pile = succès = 1 Face = échec = 0 X = {0, 1}
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Lancement d'un dé On
choisit, par exemple que le succès est l'arrivée d'un 6. X est une
variable aléatoire qui prend soit la valeur 1, soit la valeur 0. On associe
à chaque valeur de X une probabilité: ici une chance sur six pour obtenir un
6, et cinq chances sur 6 pour obtenir un autre nombre. |
Tirage d'un 6 = succès = 1 Tirage d'un 1, 2, 3, 4 ou 5 = échec = 0 X = {0, 1}
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Sans
autre précision les pièces ou les dés sont bien équilibrés;
même
probabilité pour chaque événement
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Épreuve de Bernoulli |
Une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire comportant deux
issues:
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Variable aléatoire (v.a.) de
Bernoulli |
Nombre réel associé à chaque issue d'une expérience aléatoire (comme le lancement de dés). |
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Loi de probabilité |
Elle définit la probabilité pour chacune des issues de l'univers E de l'ensemble de toutes les issues possibles. La loi de probabilité est souvent définie par un tableau comme vu
ci-dessus. |
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Espérance de la v.a. |
Sorte de valeur pondérée qui indique ce que l'on espérer gagner. Général: E(X) = x1 . P(X = x1)
+ x2 . P(X = x2) + … Loi de Bernoulli: E(X) = 0 . P(X = 0) + 1 .
P(X = 1) E(X) = P(X = 1) = p |
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Variance de la v.a. & Écart-type |
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Lancement d'une pièce Soit X la
variable aléatoire qui prend:
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Même
expérience, mais la probabilité d'obtenir pile est 0,55. |
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Lancement d'un dé Soit X la
variable aléatoire qui prend:
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Loi de Bernoulli Urne
contenant deux boules bleus et trois vertes.
La
variable X vaut 1 si la boule tirée est bleue et 0 si c'est une verte. |
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Répétition
6 fois. La
variable Y compte la quantité de boules bleues tirées (avec remise). |
Loi: B(6; 0,4) E(Y) = 6 x 0,4 = 2,4 On peut espérer tirer 2,4 balles bleues après avoir effectué six
tirages. |
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Voir |
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